茂茂的實(shí)驗(yàn)二：時(shí)域采樣和頻域采樣

1、時(shí)域采樣與頻域采樣實(shí)驗(yàn)報(bào)告姓名： 學(xué)號(hào)：一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康臅r(shí)域采樣理論與頻域采樣理論是數(shù)字信號(hào)處理中的重要理論。要求掌握模擬信號(hào)采樣前后頻譜的變化，以及如何選擇采樣頻率才能使采樣后的信號(hào)不丟失信息；要求掌握頻率域采樣會(huì)引起時(shí)域周期化的概念，以及頻率域采樣定理及其對(duì)頻域采樣點(diǎn)數(shù)選擇的指導(dǎo)作用。二、實(shí)驗(yàn)原理及方法1、時(shí)域采樣定理的要點(diǎn)：對(duì)模擬信號(hào)Xa(t)以間隔T進(jìn)行時(shí)域等間隔理想采樣，形成的采樣信號(hào)的頻譜會(huì)以采樣角頻率s（s=2/T）為周期進(jìn)行周期延拓。公式為： 采樣頻率s必須大于等于模擬信號(hào)最高頻率的兩倍以上，才能使采樣信號(hào)的頻譜不產(chǎn)生頻譜混疊。利用計(jì)算機(jī)計(jì)算上式并不方便，下面我們導(dǎo)出另外一個(gè)公式，

2、以便用計(jì)算機(jī)上進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。 理想采樣信號(hào)和模擬信號(hào)xa(t)之間的關(guān)系為： 對(duì)上式進(jìn)行傅立葉變換，得到：在上式的積分號(hào)內(nèi)只有當(dāng)時(shí)，才有非零值，因此：上式中，在數(shù)值上x(chóng)a(nT)x(n)，再將=T代入，得到： 上式的右邊就是序列的傅立葉變換，即 上式說(shuō)明理想采樣信號(hào)的傅立葉變換可用相應(yīng)的采樣序列的傅立葉變換得到，只要將自變量用T代替即可。2、頻域采樣定理的要點(diǎn)：對(duì)信號(hào)x(n)的頻譜函數(shù)X(ej)在0，2上等間隔采樣N點(diǎn)，得到則N點(diǎn)IDFTXN(k)得到的序列就是原序列x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓后的主值區(qū)序列，公式為： 由上式可知，頻域采樣點(diǎn)數(shù)N必須大于等于時(shí)域離散信號(hào)的長(zhǎng)度M(即NM)，才能使

3、時(shí)域不產(chǎn)生混疊，則N點(diǎn)IDFTXN(k)得到的序列xN(n)就是原序列x(n),即xN(n)=x(n)。如果N>M，xN(n)比原序列尾部多N-M個(gè)零點(diǎn)；如果N<M，z則xN(n)=IDFTXN(k)發(fā)生了時(shí)域混疊失真，而且xN(n)的長(zhǎng)度N也比x(n)的長(zhǎng)度M短，因此。xN(n)與x(n)不相同。 在數(shù)字信號(hào)處理的應(yīng)用中，只要涉及時(shí)域或者頻域采樣，都必須服從這兩個(gè)采樣理論的要點(diǎn)。 對(duì)比上面敘述的時(shí)域采樣原理和頻域采樣原理，得到一個(gè)有用的結(jié)論，這兩個(gè)采樣理論具有對(duì)偶性：“時(shí)域采樣頻譜周期延拓，頻域采樣時(shí)域信號(hào)周期延拓”。因此放在一起進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容及步驟1、時(shí)域采樣理論的驗(yàn)證

4、給定模擬信號(hào)， 式中A=444.128，=50，0=50rad/s?，F(xiàn)用DFT(FFT)求該模擬信號(hào)的幅頻特性，以驗(yàn)證時(shí)域采樣理論。按照xa(t)的幅頻特性曲線，選取三種采樣頻率，即Fs=1kHz，300Hz，200Hz。觀測(cè)時(shí)間選Tp=64ms。 為使用DFT，首先用下面公式產(chǎn)生時(shí)域離散信號(hào)，對(duì)三種采樣頻率，采樣序列按順序用x1(n)，x2(n)，x3(n)表示。 因?yàn)椴蓸宇l率不同，得到的x1(n)，x2(n)，x3(n)的長(zhǎng)度不同， 長(zhǎng)度（點(diǎn)數(shù)）用公式N=Tp×Fs計(jì)算。選FFT的變換點(diǎn)數(shù)為M=64，序列長(zhǎng)度不夠64的尾部加零。X(k)=FFTx(n) ， k=0,1,2,3,-

5、,M-1式中k代表的頻率為 。要求： 編寫(xiě)實(shí)驗(yàn)程序，計(jì)算x1(n)、x2(n)和x3(n)的幅度特性，并繪圖顯示析頻譜混疊失真。程序：A=444.128;a=50*sqrt(2)*pi;w0=50*sqrt(2)*pi;Tp=64/1000;F1=1000;F2=300;F3=200;T1=1/F1;T2=1/F2;T3=1/F3; n1=0:Tp*F1-1;n2=0:Tp*F2-1;n3=0:Tp*F3-1;x1=A*exp(-a*n1*T1).*sin(w0*n1*T1);x2=A*exp(-a*n2*T2).*sin(w0*n2*T2);x3=A*exp(-a*n3*T3).*sin(w

6、0*n3*T3);f1=fft(x1,length(n1);f2=fft(x2,length(n2);f3=fft(x3,length(n3);k1=0:length(f1)-1;fk1=k1/Tp; k2=0:length(f2)-1;fk2=k2/Tp; k3=0:length(f3)-1;fk3=k3/Tp; subplot(3,2,1)stem(n1,x1,'.')title('(a)Fs=1000Hz');xlabel('n');ylabel('x1(n)');subplot(3,2,3)stem(n2,x2,'

7、.')title('(b)Fs=300Hz');xlabel('n');ylabel('x2(n)');subplot(3,2,5)stem(n3,x3,'.')title('(c)Fs=200Hz');xlabel('n');ylabel('x3(n)');subplot(3,2,2)plot(fk1,abs(f1)title('(a) FTxa(nT),Fs=1000Hz');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度&#

8、39;)subplot(3,2,4)plot(fk2,abs(f2)title('(b) FTxa(nT),Fs=300Hz');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度')subplot(3,2,6)plot(fk3,abs(f3)title('(c) FTxa(nT),Fs=200Hz');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度') 實(shí)驗(yàn)圖像：(1)采樣頻率Fs=1KHZ，圖（a1）的橫坐標(biāo)是n，縱坐標(biāo)是采樣序列，圖（a2）的橫坐標(biāo)是頻率，縱坐標(biāo)是幅度 (2)采樣頻率F

9、s=300HZ，圖（b1）的橫坐標(biāo)是n，縱坐標(biāo)是采樣序列，圖（b2）的橫坐標(biāo)是頻率，縱坐標(biāo)是幅度 (3)采樣頻率Fs=200HZ，圖（c1）的橫坐標(biāo)是n，縱坐標(biāo)是采樣序列，圖（c2）的橫坐標(biāo)是頻率，縱坐標(biāo)是幅度結(jié)果分析：由圖可見(jiàn)，采樣序列的頻譜的確是以采樣頻率為周期對(duì)模擬信號(hào)頻譜的周期延拓。當(dāng)采樣頻率為1000Hz時(shí)頻譜混疊很?。划?dāng)采樣頻率為300Hz時(shí)，在折疊頻率150Hz附近頻譜混疊很?chē)?yán)重；當(dāng)采樣頻率為200Hz時(shí)，在折疊頻率110Hz附近頻譜混疊更很?chē)?yán)重。由實(shí)驗(yàn)圖像可以看出，時(shí)域非周期對(duì)應(yīng)著頻域連續(xù)。對(duì)連續(xù)時(shí)間函數(shù)對(duì)采樣使其離散化處理時(shí)，必須滿足時(shí)域采樣定理的要求，否則，必將引起頻域的混

10、疊。要滿足要求信號(hào)的最高頻率Fc不能采樣頻率的一半（Fs/2），不滿足時(shí)域采樣定理，頻率將會(huì)在=附近，或者f=Fs/2混疊而且混疊得最嚴(yán)重。2、頻域采樣理論的驗(yàn)證給定信號(hào)如下： 編寫(xiě)程序分別對(duì)頻譜函數(shù)在區(qū)間2,2上等間隔采樣32點(diǎn)和16點(diǎn)，得到X32(k)和X16（k）：再分別對(duì)X32(k)和X16（k）進(jìn)行32點(diǎn)和16點(diǎn)IFFT，得到x32(n)和x16(n）：分別畫(huà)出、X32(k)和X16(k）的幅度譜，并繪圖顯示x(n)、x32(n)和x16(n）的波形，進(jìn)行對(duì)比和分析，驗(yàn)證總結(jié)頻域采樣理論。提示：頻域采樣用以下方法容易變程序?qū)崿F(xiàn)。（1）直接調(diào)用MATLAB函數(shù)fft計(jì)算X32(k)=F

11、FTx(n)32就得到在0,2的32點(diǎn)頻率域采樣(2)抽取X32(k)的偶數(shù)點(diǎn)即可得到在0,2的16點(diǎn)頻率域采樣X(jué)16(k)，即X16(k)= X32(k),k=0,1,2,3,.15。(3) 當(dāng)然也可以按照頻域采樣理論，先將信號(hào)x(n)以16為周期進(jìn)行周期延拓，取其主值區(qū)（16點(diǎn)），再對(duì)其進(jìn)行16點(diǎn)DFT(FFT),得到的就是在0,2的16點(diǎn)頻率域采樣X(jué)16(k)。程序：M=27;N=32;n=0:M;xa=0:floor(M/2); xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=xa,xb;Xk=fft(xn,1024);X32k=fft(xn,32); x32n=ifft(X32k)

12、;X16k=X32k(1:2:N);x16n=ifft(X16k,N/2);subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.');box ontitle('(b) 三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis(0,32,0,20)k=0:1023;wk=2*k/1024;subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk);title('(a)FTx(n)');xlabel('omega/pi');ylabel('|X(ejomega)

13、|');axis(0,1,0,200)k=0:N/2-1;subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),'.');box ontitle('(c) 16點(diǎn)頻域采樣');xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');axis(0,8,0,200)n1=0:N/2-1;subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,'.');box ontitle('(d) 16點(diǎn)IDFTX_1_6(k)');xlabel('n');ylabel(&

14、#39;x_1_6(n)');axis(0,32,0,20)k=0:N-1;subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),'.');box ontitle('(e) 32點(diǎn)頻域采樣');xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');axis(0,16,0,200)n1=0:N-1;subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,'.');box ontitle('(f) 32點(diǎn)IDFTX_3_2(k)');xlabel('n');

15、ylabel('x_3_2(n)');axis(0,32,0,20)實(shí)驗(yàn)圖像(1) x(n)及其采樣波形(2) 16點(diǎn)的頻域采樣及其IDFT(3) 32點(diǎn)的頻域采樣及其IDFT結(jié)果分析：該圖驗(yàn)證了頻域采樣理論和頻域采樣定理。對(duì)信號(hào)x(n)的頻譜函數(shù)X(ej)在0，2上等間隔采樣N=16時(shí)， N點(diǎn)IDFTXN(k)得到的序列正是原序列x(n)以16為周期進(jìn)行周期延拓后的主值區(qū)序列：由于N<M，所以發(fā)生了時(shí)域混疊失真，因此，xN(n)與x(n)不相同，如圖圖3.3(c)和(d)所示。當(dāng)N=32時(shí)，如圖圖3.3(c)和(d)所示，由于N>M，頻域采樣定理，所以不存在時(shí)域混

16、疊失真，因此，xN(n)與x(n)相同。由實(shí)驗(yàn)內(nèi)容2的結(jié)果可知，對(duì)一個(gè)信號(hào)的頻譜進(jìn)行采樣處理時(shí)，必須嚴(yán)格遵守頻域采樣定理，否則，用采樣的離散頻譜恢復(fù)原序列信號(hào)時(shí)，所得的時(shí)域離散序列是混疊失真，得不到原序列四、實(shí)驗(yàn)思考及解答如果序列x(n)的長(zhǎng)度為M，希望得到其頻譜在0，2上的N點(diǎn)等間隔采樣，當(dāng)N<M時(shí)，如何用一次最少點(diǎn)數(shù)的DFT得到該頻譜采樣？答：由實(shí)驗(yàn)內(nèi)容2的結(jié)果可得：對(duì)于求頻域采樣點(diǎn)數(shù)N小于原時(shí)域序列長(zhǎng)度M的N點(diǎn)離散頻譜時(shí)，可先對(duì)原序列x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓后取主值區(qū)序列再計(jì)算N點(diǎn)DFT則得到N點(diǎn)頻域采樣：但是，所求的N點(diǎn)離散頻譜對(duì)應(yīng)的時(shí)域離散序列是原序列x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓后取主值區(qū)序列，而不是原序列x(n)五、實(shí)驗(yàn)小結(jié)通過(guò)此次實(shí)驗(yàn)，對(duì)時(shí)域采樣和頻域采樣的理論、定理的理解更加深入。采樣是模/數(shù)中最重要的一步，采樣方法的正確與否，關(guān)系到信號(hào)處理