高中數(shù)學立體幾何題型與方法

1、高中數(shù)學立體幾何題型與方法(理科)經(jīng)典例題剖析杯已矢心c三點不共線，對平面外任-點，滿足條件丑押十問十無試判斷：點f與a.b.c是否一定共面?解析：要證明平面co6,只要證明向量屈可以用平面皿？內(nèi)的兩個不共線的向量dr 和 更線性表示.答案:證明：如圖，因沖在"上，且"抖所以jw=ijid+-dff又=所以諾頁百血-亦(抨甘禹=無十抨=爭亦抨又而與商不共線，根據(jù)共面向量定理，可知矽，cd,辰共面.由于iflf不在平面cz遅內(nèi)，所以平面cdff.點評：空間任意的兩向量都是共面的.與空間的任兩條直線不一定共面要區(qū)別開.例2、如亂在直三棱柱abc-a.b.c.中，力c=3, bc

2、=4,力力1=4,點d是力b的中點，(i) 求證：&c丄bg；(ii)求證：ac/平面cd&；解析：本小題考查直線與平而平行，直線與平面垂直，二而角等基礎知識，考查空間想象能力和 推理論證能力.答案：(1)$是qc的中點，取pd的中點則丄 a-cdmr生2,又m纟2四邊形miff為平行四邊形bm / sa, ctelau)bau平畫pad.陽平面mq(4分)(2)以為原點，以m、ad."所在直線為x軸、v軸、芬軸建立空間直角坐標系，如圖則,鞏2乂0), °0網(wǎng)，rqoz),就(iu),咖r在平面內(nèi)設"14"),跡=(770, pb = q

3、a-2；, db = 0-2.0)由wpa = -l-2r 4-2 = 0由益丄麗那是m的中點，此時矽丄平面r&d（8分）（3）設直線/v與平面所成的角為已花=（饑書,（花疋）設'r為。故直線m與平面p&d所成角的正弦為3（12 分）解法二:（1）"是兀的屮點，取pd的中點&,則 逐纟云皿又&纟云切四邊形miff為平行四邊形bit / sa, bmpadtmt / 平面mo（4分）（2）由（1）知juu個為平行四邊形m丄jchlms m丄a£,又腫丄40ab丄平61pad 同理c3丄平tlpadf mu平iqeadab ±a

4、e abme為矩形 cdme, cd丄pd,又pd _ae-me丄pq - pq丄平面abme pd u平面efiq平畫pbd丄平面mmk作mf丄砌故mf丄平面pbdf交ar于n,在矩形冊內(nèi)，ab = mi = l, ab = 2.當點撐為m的中點時，mfltepfld（8分）（3）由（2）知逝為點就到平面刊d的距離，zmpf為直線fc與平面pad所成的角,n0=- = 設為見mp 3.直線fc與平面p8q所成的角的正弦值為3點評：（1）證明線面平行只需證明直線與平面內(nèi)一條直線平行即可；（2）求斜線與平面所成 的角只需在斜線上找一點作己知平面的垂線，斜線和射影所成的角，即為所求角；（3）證明線

5、 面垂直只需證此直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直變可這些從證法中都能十分明顯地體現(xiàn)出來例3、如圖，四棱錐p-abcd中，側面po7是邊長為2的正三角形，ii與底面垂直，底面是£mx：=60t的菱形，m為旳的中點.(i )求曲與底面皿5 所成角的大??；(ii) 求證：9*一平面com；(iii) 求二面角d-mc- b的余弦值.解析：求線面角關鍵是作垂線，找射影，求異面直線所成的角采用平移法.求二面角的大小也可應用面積射影法，比較好的方法是向量法.答案：(i)取dc的中點o,山apdc是正三角形，有po丄dc.又平面pdc丄底面abcd, :. po丄平面abcd于o.連結oa,則oa是p

6、a在底面上的射影.zp&o就是pa與底面所成角.j zadc二60。，由已知氐pcd和4acd是全等的正三角形，從而求得oa=op=睪zpao=45°. :. pa與底面abcd可成角的大小為45°.6分(ii)由底面 abcd 為菱形uzadc=60°, dc=2, do=1,有 04丄 dc.建立空間直角坐標系如圖，則 mamaft-wn,由m為pb中點,3-s-o»45-»co-ok(- -o.:.pa丄dm p&丄dc.:.pa丄平面 dmc.令平面bmc的法向量*=ujl）,則 i-s>0 ,從而 x+z=0；，

7、,從而血知。由、，取x=t,則-i.可取靑r岳9.由（ii）知平而cdm的法向量可取,法二：（i ）方法同上所求二面角的余弦值為一"t.（ii）取"的中點腫，連接由（i ）知，在菱形mcd屮，由于乙mx70則的丄cd,又pio丄8,則gd丄平面血0,即仞丄m,乂在中，中位線矽（£云"，°°"22則沖嚴,則四邊形ocmn為口，所以wc"on,在屮，ao = pot 則 cw 丄 m,故 aplhc 而 m?ricd = c,則刊1_平面*d(ill)由(ii)知x丄平雹m3,則wmffl為二面角d-mc-b的平面角,

8、在鈕中，易得j曲十佃° = j品+蘭=丁幣, 0"皿=竺=務亟pb -jo 5 ,cmzma =c«(jf-zp4) = - 45故，所求二面角的余弦值為 5例4、如圖，在長方體阿血一也口耳中，d = a = iab=z點召在線段皿上(i )求異面直線m與4。所成的角；(ii)若二面角a-眈-q的大小為也5。，求點e到平面耳®7的距離.解析：木題涉及立體幾何線面關系的有關知識，木題實質(zhì)上求角度和距離，在求此類問題中，要將 這些量歸結到三角形中，最好是直角三角形，這樣有利于問題的解決，此外用向量也是一種比較好 的方法.答案：解法-：(i)連結生。由已知，是

9、正方形，有8丄.m丄平面.是w在平面內(nèi)的射影。根據(jù)三垂線定理，心丄a圧得，則異面直線與4廠所成的角為期。作莎丄»,垂足為f,連結w,則cb丄耳卩 所以zdf坷為二面角q-fic-q的平面角，zd叫= 45°于是 df = dl =的易得rt超蘭rt acm ,所以cb=cd=2，又jc=1,所以砸=擊。設點r到平面d&c的距離為h .一一 cwzf &= 即3 2 cr-dfi-h = bebcdif 即 2y/2h=/3 ,4故點占到平面的距離為4。解法二：分別以為兀軸、軸、z軸，建立空間直角坐標系.（i）由得 04 = 0-0-0設鳳1爲0）,又 a&l

10、t;p-°*d,則 a® =cl<i*"d0 q-a£ = l4-0-l = 0 a 環(huán)l麗則異面直線7與4c所成的角為90° ° (id » = (0ad為面£«7的法向量，設廉=(兒幾刃為面c昭的法向量，則r = cos 45° =i 刖iwi jf+7+?2由,得，則丄由、，可取用=(不丄石 乂 59=3向，所以點月到平面qa?的距離宀壘i圣遁|» 應 4。仮lj 5、如圖所示：邊長為2的正方形abfc和高為2的直角梯形adef所在的平面互相垂直且de=42 , ed/af

11、且z£mf=90°°(1)求3d和面bef所成的角的余弦;(2)線段ef上是否存在點p使過p、a、c三點的平而和直線db垂直，若存在，求ep與 pf的比值；若不存在，說明理由。解析：1.先假設存在，再去推理，下結論：2運用推理證明計算得出結論，或先利用條件特例得 出結論，然后再根據(jù)條件給出證明或計算。答案：(1)因為ac、ad、ab兩兩垂直，建立如圖坐標系，則 b (2, 0, 0) , d (0, 0, 2),e (1, 1, 2) , f (2, 2, 0),設平面bef的法向量= 2 = j，則可取«=(2#uj),.向量= (2ad所成角的余弦為2-24-0-2=迥"ittip即bd和面bef所成的角的余弦10。(2)假設線段ef上存在點p使過p、a、c三點的平面和直線db垂直，不