關(guān)于圓的初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題選

1、關(guān)于圓的問題圓的有關(guān)問題是與直線型緊密結(jié)合在一起的，因而綜合性強(qiáng)，富于變化. 圓的有關(guān)計(jì)算與證明例 1 圓內(nèi)接八邊形的四條邊長(zhǎng)為1，另四條邊長(zhǎng)為2.求此八邊形的面積. 例 2 在邊長(zhǎng)為 1cm 的正五邊形 ,去掉所有與五邊形各頂點(diǎn)距離都小于1cm 的點(diǎn) ,求余下部分的面積 . 例 3 三個(gè)全等的圓有一個(gè)公共點(diǎn)o， 并且都在一個(gè)已知abc 內(nèi).每個(gè)圓與 abc 的兩邊相切 .求證： abc 的內(nèi)心、外心和o 點(diǎn)共線 . 例 4 如圖 35-4，在 abc 中， bd 、ce 為高， f、g 分別為 ed、 bc 的中點(diǎn)， o 為外心，求證： ao fg. 例 5 已知在凸五邊形abcde 中，b

2、ae=3a,bc=cd=de ，且 bco= cde=180-2a，求證： bac= cad= dae. 例 6 如圖 35-6，ab 為定圓 o 中的定弦，作o 的弦 c1d1，c2d2，, c1988d1988，對(duì)其中每一 i（i=1， 2，, ,1988） ，cidi都被弦 ab 平分于 mi.過 ci、di分別作 o 的切線，兩切線交于pi.求證：點(diǎn)p1，p2，, ，p1988與某定點(diǎn)等距離，并指出這定點(diǎn)是什么點(diǎn). 例 7 若凸四邊形兩對(duì)角線的乘積等于它的兩組對(duì)邊乘積之和，則此四邊形內(nèi)接于圓. 托勒密逆定理例 8 如圖 35-8，已知 ad 、bc 是 o 的兩條相交的弦，且b 在劣弧

3、 ad 上， o的半徑為5，bc=6 ，ad 被 bc 平分； 又設(shè)從 a 出發(fā)的弦只有ad 能被 bc 等分，這樣可以知道ab劣弧對(duì)應(yīng)的圓心角的正弦是一個(gè)有理數(shù).如果把這個(gè)有理數(shù)化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)nm，求 mn. 例 9(1962 年北京中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)任意剪六個(gè)圓形紙片放在桌面上,使得沒有一個(gè)紙片的中心落在另一紙片上或被另一紙片蓋住,然后用一枚針去世扎這一堆紙片.證明 :不論針尖落在哪一點(diǎn),總是不能一次把六個(gè)紙片全部扎中 . 例 10（第 21 屆國(guó)際中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）如圖35-10，平面上兩圓相交，其中一交點(diǎn)為a.兩動(dòng)點(diǎn)各以勻速自a 點(diǎn)出發(fā)在不同的圓周上同向移動(dòng)，這兩點(diǎn)移動(dòng)一周后同時(shí)返回到a

4、 點(diǎn).求證平面上有一定點(diǎn)p，它不論在何時(shí)皆和兩動(dòng)點(diǎn)等距離. 關(guān)于圓的問題例 1 （第 3 屆全國(guó)部分省市初中數(shù)學(xué)通訊賽試題）圓內(nèi)接八邊形的四條邊長(zhǎng)為1，另四條邊長(zhǎng)為2.求此八邊形的面積 . 解由弓形面積公式知所求的八邊形的面積與八邊形各邊排列的順序無關(guān). 不妨設(shè)八邊形abcdefgh如圖 35-1，且有ab=cd=ef=gh=2 ，bc=de=fg=ha=1. 雙向延長(zhǎng)ah 、bc、de、fg 得正方形klmn. 故 s八邊形abcdefgh=s正方形klmn-4sabk=.245)2(214)122(22例 2 （第 19 屆全蘇中學(xué)生競(jìng)賽題）在邊長(zhǎng)為1cm 的正五邊形 ,去掉所有與五邊形各

5、頂點(diǎn)距離都小于1cm 的點(diǎn) ,求余下部分的面積. 解 以 a 為圓心 ,1cm 長(zhǎng)為半徑的扇形abe 內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)a的距離都小于1cm.分別以正五邊形的各頂點(diǎn)為圓心,1cm 長(zhǎng)為半徑作弧,以五段圓弧為邊界的“曲邊五邊形” mnpqr 內(nèi)的點(diǎn)到正五邊形abcde 各頂點(diǎn)的距離小于 1cm.五邊形內(nèi)余下的部分是五個(gè)等積的“曲邊三角形” bmc 、cnd 、dpe、eqa 、arb （如圖 35-2）. 考察“曲邊三角形”bmc 與以 bam 為圓心角 (等于60 )的扇形 bam 的面積之和 ,恰等于等邊三角形abm與以 cbm 為圓心角（等于108-60=48）的扇形cbm 的面積之和 . 所以，

6、所要求的面積為：5s曲邊bmc=5(sabm+s扇形cbm-s扇形bam) =5)615243(=).(64352cm例 3 （第 22 屆國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）三個(gè)全等的圓有一個(gè)公共點(diǎn) o，并且都在一個(gè)已知abc 內(nèi).每個(gè)圓與abc 的兩邊相切 .求證： abc 的內(nèi)心、 外心和 o 點(diǎn)共線. 證明如圖 35-3,設(shè)三等圓為 a、 b和 c.故ab ab ，bc bc，ca ca.于是 abc abc. 由于三等圓分別與abc 的兩邊相切， 故 aa 、 bb、cc相交于 abc 內(nèi)心 i.顯然， i 也是 ab c的內(nèi)心 .因此， abc 的外心 e，abc的外心e與 i 三點(diǎn)共線 . 又 o

7、是三等圓的公共點(diǎn)，oa =ob=oc，因此o即是 a bc的外心e.故 e，o、 i 三點(diǎn)共線 . 四點(diǎn)共圓例 4 （ 1980 年哈爾濱初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）如圖35-4，在abc 中， bd、ce 為高， f、g 分別為 ed、bc 的中點(diǎn)， o 為外心，求證：ao fg. 證明過 a 作 o 的切線 at. bd 、ce 為高，b、c、d、e 四點(diǎn)共圓 . tac= abc= ade ated.又 ao at， aoed. 又 g 為 bc 中點(diǎn)， dg=21bc=eg. 而 ef=df， fged.故 ao fg. 例 5（1990 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）已知在凸五邊形abcde 中， ba

8、e=3a,bc=cd=de，且 bco= cde=180 -2a，求證： bac= cad= dae. 證明連結(jié) bd 、ce. bc=cd=de ，bcd= cde， bcd cde. 又 bcd=180 -2a, cbd= cdb =dce= dec=a, b、c、d、e 四點(diǎn)共圓，且bc=cd=de=2a. bcde=6a. 又 bae=3a ，a、b、c、d、e 共圓 . bac= cad= dae=a. 例 6 （1988 年廣州等五市數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）如圖35-6，ab為定圓 o 中的定弦，作o 的弦 c1d1，c2d2，,c1988d1988 ，對(duì)其中每一i（i=1，2，, ,1988

9、） ，cidi都被弦 ab 平分于 mi. 過 ci、di 分別作 o 的切線， 兩切線交于pi.求證：點(diǎn) p1，p2，, ，p1988 與某定點(diǎn)等距離，并指出這定點(diǎn)是什么點(diǎn). 證明連 oci、odi，對(duì)每個(gè)i（i=1，2，, 1988） ，cidi均被 ab 平分于 mi，cimidimi=amibmi. 又 pici,pidi分別切 o 于 ci、di，故知 o、ci、pi、di共圓，且opi通過 cidi的中點(diǎn) mi. cimidimi=pimiomi. 由、得omimipi=mia mib. pi和 o、a、b 共圓 . 但 o、a、b 為定點(diǎn)， pi和 oab 的圓心距離相等. 即點(diǎn)

10、 p1，p2，, ， p1988與定點(diǎn)等距離，這定點(diǎn)為oab的圓心 . 例 7若凸四邊形兩對(duì)角線的乘積等于它的兩組對(duì)邊乘積之和，則此四邊形人接于圓. 證 明 如 圖35-7 ， 在 凸 四 邊 形abcd中 ， 設(shè)ac bd=ab cd+ad bc.（）作 ecd= acb ， ebc= cad ，于是 bec adc ，acbcadbeacbcdcec由得 beac=ad bc. 由及 1=2,可得 abc dce. 3=4，.dcacdeab即deac=ab dc +即有(be+de) ac=ad bc+ab dc. 比較式與 ()式得 be+de=bd. 這說明， e 在 bd 上， 3

11、 與 bdc 重合 . bdc= bac.故 a、 b、 c、d 四點(diǎn)共圓 . 此例是托勒密逆定理. 1 雜題例 8（第 1 屆美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽題）如圖35-8，已知 ad 、bc 是 o 的兩條相交的弦，且b 在劣弧 ad 上， o的半徑為5，bc=6 ，ad 被 bc 平分；又設(shè)從a 出發(fā)的弦只有 ad 能被 bc 等分，這樣可以知道ab 劣弧對(duì)應(yīng)的圓心角的正弦是一個(gè)有理數(shù).如果把這個(gè)有理數(shù)化為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)nm，求 mn. 分析設(shè) ad 、bc 交于 m，m 為 ad 中點(diǎn)，則點(diǎn)m 的軌跡是在a 點(diǎn)與 o 內(nèi)切的半徑為25的 p，依題意bc與 p切于點(diǎn) m. 要求 mn，須求 sinaob=nm

12、，亦是求 cosaob 之值 . 作 onbc 于 n，連 ob，則bn=bc21=3，on=. 422bnob作pq on于q, 連pm, 則pqnm為 矩 形 ,故 有qn=pm=op =21ao=25,oq=on-qn=,23mn=pq=,222oqopbm=bn-mn=1 bp=.22922pmbm在 pob 中,由余弦定理 , cosaob=bopobpbopo2222=5252)2921(5)25(222=2524, sinaob=aob2cos1=.257)2524(12mn=725=175. 例 9(1962 年北京中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)任意剪六個(gè)圓形紙片放在桌面上,使得沒有一個(gè)紙

13、片的中心落在另一紙片上或被另一紙片蓋住,然后用一枚針去世扎這一堆紙片.證明 :不論針尖落在哪一點(diǎn),總是不能一次把六個(gè)紙片全部扎中 . 分析這命題等價(jià)于：平面上有六個(gè)圓，每個(gè)圓心都在其余各圓的外部，證明平面上任意一點(diǎn)都不會(huì)同時(shí)在這六個(gè)圓內(nèi)部 . 證明（反證法）如圖35-9，設(shè)平面上有一點(diǎn)m 同時(shí)在這六個(gè)圓內(nèi)部，連結(jié)六個(gè)圓心：mo1，mo2，, ， mo6. 則 o1mo2+o2mo3+,+o6mo1=360. 因此，至少有一個(gè)角不大于60，不妨設(shè)o1mo260，即 60 . 又， + +=180則 , 中必有一個(gè)不小于60.不妨設(shè) 60，則 . o1o2o1mr1(r1為圓 o1的半徑 ). 故 o2在 o1內(nèi)，這與題設(shè)矛盾，這就證明了m 點(diǎn)不可能同時(shí)在六個(gè)圓的內(nèi)部. 例 10（第 21 屆國(guó)際中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）如圖 35-10，平面上兩圓相交，其中一交點(diǎn)為a.兩動(dòng)點(diǎn)各以勻速自a點(diǎn)出發(fā)在不同的圓周上同向移動(dòng)，這兩點(diǎn)移動(dòng)一周后同時(shí)返回到a 點(diǎn).求證平面上有一定點(diǎn)p， 它不論在何時(shí)皆和兩動(dòng)點(diǎn)等距離. 解設(shè) o1與 o2相交于 a 和 a并設(shè)兩動(dòng)點(diǎn)q1和 q2分別在 o1和 o2上，使 ao1q1=ao2q2.連 q1aq2a.因?yàn)閳A周角等于同弧所對(duì)