經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué) 線性代數(shù)第二章習(xí)題答案.doc

1、習(xí)題二參考答案 （）1.設(shè)，求(1）；(2）若滿足，求解:(1） .（2） 由得,，所以.2。計(jì)算解：（1)。（2)。（3）。 （4).（5) 3.已知兩個(gè)線性變換,，（1)試把這兩個(gè)線性變換分別寫成矩陣形式;（2)用矩陣乘法求連續(xù)施行上述變換的結(jié)果解：(1) 寫成矩陣形式為，。(2)連續(xù)施行上述變換有.4。某企業(yè)在一月份出口到三個(gè)國家的兩種貨物的數(shù)量以及兩種貨物的單位的價(jià)格、重量、體積如下表：國區(qū)家出口量貨物美國德國法國單位價(jià)格(萬元）單位重量（噸）單位體積（米)2000 1200 8801000 1300 600 0.3 0。2 0.012 0。05 0。12 0.6利用矩陣乘法計(jì)算該企業(yè)

2、出口到三個(gè)地區(qū)的貨物總價(jià)值、總重量、總體積各為多少？解：設(shè)矩陣，,，則該企業(yè)出口到三個(gè)地區(qū)的貨物總價(jià)值為；總重量為；總體積為5。計(jì)算下列矩陣（其中為正整數(shù)）(1） ；(2) ；（3)；(4）解: 時(shí)，假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，有歸納法有 (2) 時(shí)，假設(shè)當(dāng)時(shí),成立，則當(dāng)時(shí)，,有歸納法有(3） 時(shí)， ，假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，,有歸納法有（4） ， 時(shí)，時(shí)，于是，當(dāng)(為正整數(shù))時(shí),當(dāng)（為正整數(shù))時(shí),，因此得。6。設(shè)，記，稱為方陣的次多項(xiàng)式現(xiàn)設(shè)，,求解: 。7.設(shè)矩陣、是可交換的，試證:(1） ； (2) 證明：因?yàn)榫仃?、是可交換的，所以，因此有（1) ，(2） .8.設(shè)、是同階矩陣，且，證明:的充

3、分必要條件是 證明：必要性如果 ，則，由于矩陣與是可交換的，由上式得整理得 充分性如果，則9。設(shè)矩陣 均為實(shí)數(shù))，（1）計(jì)算；(2)利用(1）的結(jié)果，求解：(1）（2）由（1）有,所以10。 證明題：(1）對于任意的矩陣，則和均為對稱矩陣(2) 對于任意的階矩陣，則為對稱矩陣；而為反對稱矩陣證明:(1) 因?yàn)?所以為對稱矩陣；又因?yàn)?所以為對稱矩陣(2） 因?yàn)?所以為對稱矩陣；又因?yàn)?，所以為反對稱矩陣11。如果、是同階對稱陣，則是對稱陣的充分必要條件是證明：必要性如果是對稱陣,則，即，由已知有，所以充分性如果，則，所以是對稱陣12。設(shè)階矩陣的伴隨矩陣為,證明(1) 若 ,則 ； (2） 證明：

4、（1）假設(shè)，則，由此得,所以，這與相矛盾，故時(shí)，有（2） 由得，若時(shí)，有，若時(shí)，由(1）知，等式也成立，故有，13.設(shè)階矩陣,，滿足,則下列各式中哪一個(gè)必定成立?簡述理由（1），（2)，(3)，（4)。解：由可改寫為，即是的逆矩陣，所以有,即(4） 必定成立類似可得(1)、（2）、(3）未必成立。14。設(shè)，均為階可逆矩陣,下列各式一定成立的有哪些？簡述理由 (1) ；(2） ；（3） (為正整數(shù)）;（4) ；（5） ;（6) 解: (1）由于,，所以,即（1）式一定成立（2) 由于,，即（)式不一定成立（3） ，（)式一定成立（4)設(shè)，,顯然、都可逆,但是不可逆，故（)式不成立（5） 由于，即

5、(）式一定成立（6) 由于但是不一定等于,故(6） 式不一定成立15.設(shè)是階矩陣，滿足是正整數(shù))，求證:可逆,并且證明:因?yàn)椋钥赡妫⑶?16。設(shè)是可逆矩陣，證明：其伴隨矩陣也可逆，且 證明：因?yàn)槭强赡婢仃嚕?由于，有，因此，伴隨矩陣也可逆由上述證明可知，又因?yàn)?，所以，?7.設(shè)、和均是可逆矩陣，試證：也可逆,并求其逆矩陣解：，由于、和均是可逆矩陣，它們的乘積也可逆，所以有18。設(shè)為三階矩陣，是矩陣的伴隨矩陣，已知，求解：因?yàn)?，所以有可逆，且有?于是，因此有19。用分塊矩陣的乘法計(jì)算。(1）；(2）解：(1) 設(shè)，則而，于是(2)設(shè),則,而，,，于是20.求分塊矩陣的逆矩陣（1) ；

6、（2)解：（1）記，則，所以都可逆，且有,，于是(2)記，,因?yàn)椋?所以、均是可逆矩陣，且有，根據(jù)例2。17的結(jié)論有,，所以21.設(shè)為三階矩陣，把按列分塊為,其中為的第列,求（1） ;(2) 解：（1) （2) 22。設(shè)為階矩陣，把按列分塊為，為的第列，試用表示解：23.設(shè)為三階可逆矩陣，若按行分塊為，按列分塊為，試判斷下列分塊矩陣是否可逆（1) ；(2） 解：(1)利用行列式的性質(zhì)計(jì)算分塊矩陣的行列式,從而可逆(2) ，從而不可逆24。設(shè)矩陣，則下列各式中哪一個(gè)必定成立？簡述理由（1)；（2）；(3)；（4)解：因?yàn)榈牡谝恍屑拥降谌?再交換的第一行和第二行，從而得得到,故用左乘，再左乘，即

7、,(3）式必定成立25。求下列矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形 (1)； (2); （3)解:（1）(2）(3）26。用初等行變換求下列矩陣的逆矩陣(1); (2)； （3)；（4)解：（1） ，所以（2），所以 （3) ,所以（4) ，所以27.解下列矩陣方程(1) ；（2) ；(3） ；（4） 設(shè)，且，求解：（1)因?yàn)?所以矩陣可逆，在方程的兩邊左乘該矩陣的逆矩陣，得（2） 因?yàn)椋跃仃嚳赡?，在方程的兩邊右乘該矩陣的逆矩?得（3） 設(shè)，則，故矩陣都可逆，在方程的兩邊左乘,右乘，得 (4）由得，,而，且，所以可逆，在兩邊左乘得，又，故28。求下列矩陣的秩(1）；(2）解：(1） ，所以該矩陣的秩是。（2

8、)，所以該矩陣的秩是。29.已知階矩陣滿足,證明：為可逆矩陣；并求解：由得，即，所以為可逆矩陣，30。已知階矩陣,滿足， (1） 證明：為可逆矩陣；(2） 已知，求矩陣證明：(1）由得,，即，整理的，因此可逆，且解：(2)由(1)得,，即(B)1。若、是階方陣，且可逆,則也可逆，且證明：，所以也可逆，且2. 設(shè)為可逆矩陣，、是同階方陣，且，證明：和都為可逆矩陣證明：由得，即，由于為可逆矩陣,所以,因而有,于是，所以和都為可逆矩陣已知實(shí)矩陣滿足(1) ，其中是的代數(shù)余子式；(2)，計(jì)算解：由得，,于是，從而或,但由于得,，因此4。設(shè)、為同階可逆矩陣,證明：證明:因?yàn)椤橥A可逆矩陣,所以有，即也可逆，而，于是5。設(shè)矩陣的伴隨矩陣，且,求解：由題有，所以，即又從而,即于是，故6。已知，且矩陣滿足，其中是的伴隨矩陣，求矩陣解：由，有,于是，所以而，于是，所以7已知、都是階矩陣，且滿足其中為階單位矩陣 (1)證明：可逆，并求；(2)若,求矩陣證明：(1) 由于,因此,于是 ,即，從而可逆，且有由(1)得，即，而，所以8.設(shè)階矩陣滿足，是階單位矩陣，證明:證明：因?yàn)椋虼?，即，從?又,所以，故9.設(shè)是階方陣的伴隨矩陣,證明:證明：（1) 因?yàn)椋钥赡?，于是而，因此也可逆，?2） 因?yàn)?，所?于是，從而，又，所以又知中至少有一個(gè)階子式不為零，所以,從而(3） 因?yàn)?，所以中的任一階