海淀區(qū)高三數(shù)學(xué)查漏補(bǔ)缺題(最全面)

1、第一部分海淀區(qū)高三數(shù)學(xué)查漏補(bǔ)缺題2010年5月一、函數(shù)部分：lnx + afm =(«g r)1. 已知函數(shù)兀(i) 求/(無(wú))的極值；2(ii) 若函數(shù)/(x)的圖彖與函數(shù)= 1的圖象在區(qū)間(。疋上有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的 取值范圍.2 3 c=x -2xm(i) 求/(對(duì)的單調(diào)區(qū)間與極值；(ii) 求方程/(q二°的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).(ii)若仇+=陽(yáng)+仇5二1，2)且久=一3,求數(shù)列仏的前斤項(xiàng)和7l.2. 數(shù)列匕滿足=2衛(wèi)“+1 =仇-3）%+2",（tz = 1,2,3）（i ）當(dāng)偽=一1時(shí)，求2及色；（ii）是否存在實(shí)數(shù)乂，使得數(shù)列%為等差數(shù)列或等比數(shù)列？若存在

2、，求出其通項(xiàng)公式, 若不存在，說明理市；三、統(tǒng)計(jì)與概率部分：1. （理科學(xué)生做）某班級(jí)舉行一次知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，活動(dòng)分為初賽和決賽兩個(gè)階段、現(xiàn)將初賽答卷成績(jī)（得分均 為整數(shù)，滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，制成如下頻率分布表.分?jǐn)?shù)（分?jǐn)?shù)段）頻數(shù)（人數(shù)）頻率60, 70)0.1670, 80)2280, 90)140.2890, 100合計(jì)501（i）填充頻率分布表中的空格（在解答屮直接寫出對(duì)應(yīng)空格序號(hào)的答案）；（ii）決賽規(guī)則如下：參加決賽的每位同學(xué)依次口答4道小題，答對(duì)2道題就終止答題，并 獲得一等獎(jiǎng).如果前三道題都答錯(cuò)，就不再答第四題.某同學(xué)進(jìn)入決賽，每道題答對(duì)的概率戶 的值恰好與頻率分布表屮不少于

3、80分的頻率的值相同.求該同學(xué)恰好答滿4道題而獲得一等獎(jiǎng)的概率； 記該同學(xué)決賽屮答題個(gè)數(shù)為x ,求x的分布列及數(shù)學(xué)期望.2. （理科學(xué)生做）袋子里有大小相同的3個(gè)紅球和4個(gè)黑球，今從袋子里隨機(jī)取球.（i）若有放回地取3次，每次取2個(gè)球，求取出1個(gè)紅球2個(gè)黑球的概率;（ii）若無(wú)放回地取3次，每次取1個(gè)球， 求在前2次都取出紅球的條件下，第3次取出黑球的概率； 求取出的紅球數(shù)x的分布列和數(shù)學(xué)期望.3. （文科、理科學(xué)生做）己知 a = （l,-2）,b = （x, y） 9（i） 若兀是從一兒2四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，歹是從一三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求 '丄乙的概率.（ii）若兀是從區(qū)間一1

4、2中任取的一個(gè)數(shù)，y是從區(qū)間一 1中任取的一個(gè)數(shù)，求的 夾角是銳角的概率.4. （文科學(xué)生做）一個(gè)袋屮裝有大小相同的黑球和紅球，已知袋屮共有5個(gè)球，從屮任意摸岀1個(gè)球，得到黑2球的概率是現(xiàn)將黑球和紅球分別從數(shù)字1開始順次編號(hào).（i）若從袋中有放回地取出兩個(gè)球，每次只取出一個(gè)球，求取出的兩個(gè)球上編號(hào)為相同數(shù) 字的概率.（ii）若從袋中取出兩個(gè)球，每次只取出一個(gè)球，并且取出的球不放回.求取出的兩個(gè)球上 編號(hào)之積為奇數(shù)的概率.5.（文科學(xué)生做）據(jù)統(tǒng)計(jì)，從5月1日到5月7號(hào)參觀上海世聘會(huì)的人數(shù)如下表所示:日期1 fi2 fi3 f14日5 fi6 fi7日人數(shù)（萬(wàn)）2123131591214其中，5月

5、1 tl到5月3日為指定參觀日，5月4日到5月7日為非指定參觀日.（i）把這7天的參觀人數(shù)看成一個(gè)總體，求該總體的平均數(shù)（精確到0.1）；（ii）用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從非指定參觀口中抽取2天，它們的參觀人數(shù)組成一個(gè)樣本求 該樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過2萬(wàn)的概率.四、解析兒何部分ch11. 如圖，橢圓36 20的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為人尸，直線/的方程為x = 9 , n為i上一點(diǎn),且在軸的上方，人“與橢圓交于m點(diǎn)（1）若m是an的中點(diǎn)，求證：丄（2）過三點(diǎn)的圓與y軸交于p，2兩點(diǎn),求ip0的范圍.2. (理科學(xué)生做)已知圓f：*+(y-l) t,動(dòng)圓p與定圓f在x軸的同側(cè)且與x軸相切

6、，與定圓f相外切.(i )求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡c的方程；(ii)己知"(°，2),是否存在垂直于歹軸的直線加，使得加被以pm為直徑的圓截得的 弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出加的方程；若不存在，說明理由.3. (理科學(xué)生做)71己知人是拋物線%2=4>'±兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線的傾斜角之和為4 ,試證 明直線a3過定點(diǎn).4. 已知橢圓c的屮心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在兀軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊 形是一個(gè)面積為8的正方形.（i ）求橢圓c的方程；（ii）設(shè)過點(diǎn)p的直線/與橢圓c相交于兩點(diǎn)，當(dāng)線段mn的屮點(diǎn)落在正方形內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線/的斜率的取值范圍

7、.參考答案廣的定義域?yàn)椋╫,+oo）j（x）=1. 解：（i）兀令廣（%） = 0得兀=幺j當(dāng)xe（o,嚴(yán)）時(shí)j3 > o, f（x）是增函數(shù)當(dāng)兀w （嚴(yán),+8）時(shí),f（x） < 0,/（x）是減函數(shù).丿在兀=廠處取得極大值/極大值=/（嚴(yán)）=嚴(yán)（ii） （i）當(dāng)小"時(shí)，d>-咐,由（i ）知/（兀）在（°3“）上是增函數(shù)，在（勺上是減函數(shù)./（兀）二/_又當(dāng) x =廠時(shí),/（x） = 0,當(dāng)"（0,廠時(shí)/（兀）v0 當(dāng)兀 w （ea,e2時(shí)，f（x）e （0,嚴(yán)所以,/（兀）與圖象g（兀）"的圖象在（°，冋上有公共點(diǎn),等價(jià)于

8、m解得 a » 1, 乂d > 一1,所以a > 1（ii）當(dāng)穴力即*-1時(shí)，/在（0,，上是增函數(shù)，/在（0,護(hù)上的最大值為f（e2） = ¥ “，mni,解得淪才一2.所以原問題等價(jià)于曠又°51.無(wú)解說明：此題主要考查學(xué)生研究函數(shù)方法的運(yùn)用：給函數(shù)解析式之后，能否通過研究函數(shù)的工 具導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的變化趨勢(shì)，通過研究函數(shù)在區(qū)間的端點(diǎn)處的函數(shù)值或符號(hào)進(jìn)一步了解函數(shù) 的準(zhǔn)確的變化狀態(tài).此題也可以做如下引屮：“若函數(shù)/（兀）的圖象與函數(shù)= 1的圖象在區(qū)間（°，_上有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”2. 解：（i）廣（力=2十一2,由 f（x） =

9、 2x2-2 = 0 得兀=_1 或兀=1x(yo,-1)-1(t, 1)1(1,+°°)f(x)+0 0+單增極大值單減極小值單增所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（一°°，一 1）和（1，+°°）,單調(diào)遞減區(qū)間為（一 1j）；極大值為3，極小值為3（ii）由于m =當(dāng)_ 43時(shí),即% = -1是方程（兀）=°的一個(gè)解./(1)= -1-1 = -<0, /(3) = -x27-6- = 12->0又因?yàn)? 33333所以，方程f （兀）=°在a可內(nèi)至少有一個(gè)解.根據(jù)函數(shù)/（x）單調(diào)性可知,方程/=

10、76;有 兩個(gè)不同的解.4 4m = -/（l） = m- = of（ a _ 0當(dāng) 3時(shí)，3,即無(wú)=1是方程 u的一個(gè)解.4 4 84/（-1） = - + - = ->0,/（-3） = -12 + -<0又因?yàn)?333,所以方程/（x）= °在（一 $-1）內(nèi)至少有一個(gè)解.根據(jù)函數(shù)/（對(duì)單調(diào)性可知，方程/=° 有兩個(gè)不同的解.4444 當(dāng)33時(shí)，3,3，所以方程"q u在（t，l）內(nèi)至少有一個(gè)解.又由/（一3）=加一12<0,知方程f（x） = °在（3, 1）內(nèi)至少有一個(gè)解; 由/（3） = 12 +加> 0 ,知方程/（

11、%） = °在（1, 3）內(nèi)至少有一個(gè)解.根據(jù)函數(shù)/（對(duì)單調(diào)性可 知，方程/（兀）=。有三個(gè)不同的解.說明：通過本題考查學(xué)生幾個(gè)方面的能力：（1）能否將“求方程/（"）=°的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)”問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)/（兀）的零點(diǎn)問題；（2）對(duì)于函數(shù)問題，是否能夠主動(dòng)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)這一工具來研究函數(shù)整體的狀態(tài)、性質(zhì).兀w （0 3_血）3. 解:由圖，設(shè)a點(diǎn)坐標(biāo)為g長(zhǎng)）:* ' 2 則bq 長(zhǎng),長(zhǎng)）,由圖可得-長(zhǎng)", 記矩形 abcd 的面積為 s,易得s = ab ad = （l-y/x-x）y/x = -（vx）3 -血15 t x 由上表可知，當(dāng) 3,即 9時(shí)

12、，s取得最大值為27,所以矩形abcd面積的最大 _5_ 值為27說明：本題主要是幫助學(xué)生經(jīng)歷根據(jù)問題的條件和要求建立函數(shù)的解析式及確定定義域再研 究函數(shù)的變化狀態(tài)的思維過程.二、數(shù)列部分：1. （ i ）證：因?yàn)閟” =3%-2 5 = 1,2,），sn- = 3% - 2（m = 2,3,）,_ 3 所以當(dāng)n>2時(shí)，色二=3匕整理得色2a".由s”=3a”一2,令” =1,得4=3坷一2,解得a =1 所以是首項(xiàng)為1,公比是空的等比數(shù)列. + 4xt = yx,te (0,得s = j-尸+/所以 s = 一3/2 - 2r +1 = -1)(/ +1),令 s'

13、= 0 ,得/ 3 我(】 因?yàn)?#169;呼,所以隨t的變化情況如下表:t礙）13俗）+0-s5 極大值方(ii)解：rtl仇+i =色+乞 5 = 1，2,)，得“祇 - by 5 = 1,2,)所以b2 一b、=q,x b2 =a2,f 3 y11-2bn-bn_x=an_x1-從而» =b +u +e + + 色一1 = 一3 + 1 1 37；,=214- + (-)24-+ (yr1-5m = 4x(-r-5n-4說明：數(shù)列的勺與'問題是數(shù)列的基本問題，通過兩者之間的轉(zhuǎn)化達(dá)到解決問題的目 的是學(xué)生應(yīng)該落實(shí)的.本題的第一問也可以改為“求數(shù)列%的通項(xiàng)”或“求數(shù)列色的前

14、 n項(xiàng)和”，提高思維的強(qiáng)度.2 解:():a =2，a2 =-l,a2 =(a-3>j +2,(n = l,2,3-).?332h.a cix a°+2* =2, 故2，所以 2 .(ii)5 =2,% =(q-3)q“ + 2",逅=(2 3)q + 2 = 2/1 49鳥=(久3)+4 = 2/_1(u + 169若數(shù)列匕為等差數(shù)列，則a+a3=2a2才-72+13 = 0va = 49-4x13<0/.程沒有實(shí)根,故不存在兒 使得數(shù)列“訃為等差數(shù)列.若數(shù)列仏訃為等比數(shù)列，則絢力3=&,即2(2?12 -102 +16) = (2 a - 4)2 解

15、得：2 = 4.5+1二色+ 2" a2 -a = 2a3 -a2 = 22a. - a. = th-l將幾i個(gè)式子相加,勺廠州=2 + 2?+ 22（1 _2心）12-=2"（n >2,ne n）又 z2 = l,d|=2符合條件,an - 2w （ne n ）ci+1.q”+i 2 t ,故數(shù)列色為等比數(shù)列.通項(xiàng)公式為 說明：本題給岀的是數(shù)列色，與兩項(xiàng)之間的遞推形式.在第二問中，通過特殊方法，得 到幾的值，要注意引導(dǎo)學(xué)生理解結(jié)果并非充要條件，而是必耍不充分條件，所以需要進(jìn)一步 的驗(yàn)證，而且在驗(yàn)證過程中，使用了疊加法，町以為學(xué)生說明其結(jié)構(gòu)形式和解題策略要讓學(xué) 生掌握

16、歸納的思想，學(xué)會(huì)從特殊到一般的思考數(shù)學(xué)問題的思維過程.三、統(tǒng)計(jì)與概率部分：1. （理科學(xué)生做）解：（i ）80.4460.12（ii ）由（i ）得，p = 0.4該同學(xué)恰好答對(duì)4道題而獲得一等獎(jiǎng)，即前3道題中剛好答對(duì)1道題.第4道也能夠答對(duì)才獲得一等獎(jiǎng)，則有c3x0.4x0.62x0.4 = 0.1728答對(duì)2道題就終止答題，并獲得一等獎(jiǎng)，所以該同學(xué)答題個(gè)數(shù)為2、3、4. 即 x=2> 3、4 p（x = 2） = 0.42=0.16,p（x =3） = £0.4x0.6x0.4 + 0.63 = 0.40& p（x = 4） = cj0.4x0.62 = 0.432

17、.分布列為：x234p0.160.4080.432ex =2x0.16 + 3x0.408 + 4x0.432 = 3.272.說明：本題考查統(tǒng)計(jì)問題：用樣本估計(jì)總體，考查概率問題：滿足特殊條件的概率的事件如 何求其概率，要求同學(xué)把條件真正弄清楚之后，再動(dòng)手進(jìn)行計(jì)算.同時(shí)還要求同學(xué)們分清一 些典型的分布問題.2. （理科學(xué)生做）解：（i ）記“取出1個(gè)紅球2個(gè)黑球?yàn)槭录,根據(jù)題意有p(a) = c(|)x()2 =144343 .144答：取出1個(gè)紅球2個(gè)黑球的概率是343.（ii ）方法一：記“在前2次都取出紅球”為事件b, “第3次取出黑球”為事件c,則p(b) =3x27x6£

18、;7,p(bc)3x2x47x6x5p(bc)p(b)3517方法二:p(c | b)=n(bc)n(b)3x2x43x2x54 答：在前2次都取出紅球的條件下，第3次取岀黑球的概率是°.隨機(jī)變量x的所有取值為0, 1, 2, 3.p(x=0) =cm =4憶 35p(x=1) =1235p(x=3) =cm350123p43518351235135宓亠電+ lx蘭+ 2xz + 3x丄/所以35353535357說明：首先讓學(xué)生清楚有放冋與無(wú)放冋這兩種模型的區(qū)別，應(yīng)該清楚每種情況對(duì)應(yīng)的基本事 件空間是誰(shuí)，同吋要弄清楚序的問題，一個(gè)總的問題：分子和分母同吋有序或無(wú)序還要注 意條件概率

19、問題中的相關(guān)定義，誰(shuí)是條件.3. （文科、理科學(xué)生做）解：（）設(shè)丄為事件人，由q丄匕，得兀_2y = 0q = (-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),(2)共包含12個(gè)基本事件；其屮人二（0,0）,（2,1）,包含2個(gè)基本事件.p（a） = n = l則126（ii）設(shè)“的夾角是銳角”為事件3 ,由"的夾角是銳角，可得q 4 0 ,即兀- 2y > 0,且歹工-2兀q = (x,y)-<x< 2,-1 < y < 1b = (x, y)|-l &l

20、t;x<2,-< y<,x-2y >0, y h -2xp(b)則川§ + 2)x3“q 3x21> >答：（i） d丄厶的概率是6； （ii）。"的夾角是銳角的概率是說明：對(duì)于文科學(xué)生來講，占典概型和兒何概型是兩種重要的概率模型.要注意分清兩種概 率模型的基本特征，并注意解題的規(guī)范性.4. （文科學(xué)生做）n _2解：設(shè)袋中有斤個(gè)黑球，則由已知可得§5 ,即n = 2所以，袋中有兩個(gè)黑球，編號(hào)分別為1, 2；袋中有3個(gè)紅球，編號(hào)分別為1, 2, 3.（i ）設(shè)“取出的兩個(gè)球上編號(hào)為相同數(shù)字”為事件4q = （黑 1,黑 1）,（

21、黑 1,黑2）,（黑 1,紅d,（黑 1,紅2）,（黑 1,紅3）, （黑2,黑1）,（黑2,黑2）,（黑2,紅1）,（黑2,紅2）,（黑2,紅3）, （紅3,黑1）,（紅2,黑2）,（紅3,紅1）,（紅3,紅2）,（紅3,紅3） 共包含25個(gè)基本事件； 其屮4= （黑1,黑1）,（黑2,黑2）,（紅1,紅1）,（紅2,紅2）,（紅3,紅3）,（黑1,紅1）,（黑2,紅2）,（紅1,黑1）,（紅2,黑2 ）,包含9個(gè)基本事件.（ii）設(shè)“取出的兩個(gè)球上編號(hào)之積為奇數(shù)”為事件q = （黑 1,黑2）,（黑 1,紅d,（黑 1,紅2）,（黑 1,紅3）, （黑2,黑1）,（黑2,紅1）,（黑2,紅

22、2）,（黑z紅3）, （紅3,黑1）,（紅2,黑2）,（紅3,紅1）,（紅3,紅2）共包含20個(gè)基本事件；其中b = （黑1,紅1）,（黑1,紅3）,（紅1,黑1）,（紅1,紅3）,（紅3,黑1）,（紅3,紅1）,包含6 個(gè)基本事件則陀）嗆舞2答：（i ）取出的兩個(gè)球上編號(hào)為相同數(shù)字的概率是25.2（n）取出的兩個(gè)球上編號(hào)之積為奇數(shù)的概率是io.命題意圖：兩個(gè)問題分別為有放回的事件和無(wú)放回的事件，在這兩種不同的情況下，基本事 件空間是不同的.建議對(duì)于兩次収球或兩次擲骰子等問題，在列舉基本事件的時(shí)候，最好考 慮有順序的列舉，不容易出錯(cuò).5. （文科學(xué)生做）-（21 + 23 + 13 + 15

23、+ 9 + 12 + 14） = 15.3解：（i ）總體平均數(shù)為7（ii）設(shè)a表示事件“樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值不超過2萬(wàn)”從非指定參觀日中抽取2天全部可能的基本結(jié)果有:（15,9）, （15,12）, （15,14）, （9,12）, （9,14）,（12,14）,共有6個(gè)基本結(jié)果；事件a包含的基本結(jié)果有：（15,12）, （15,14）,共有2個(gè)基本結(jié)p（a） = - =-果.所以，所求的概率為63說明：此題將概率問題與統(tǒng)計(jì)問題簡(jiǎn)單綜合，既考查了概率的計(jì)算，又體現(xiàn)了用樣本估計(jì)總 體的重要的統(tǒng)計(jì)思想.四、解析幾何部分._ 31. 解:由題意得a（-6,0）,f（4,0）,兀廠92

24、5/3又m點(diǎn)在橢圓上，且在x軸上方，得"2.而=（,_童）而示,_座）2 2 2 2 7575 :.mamf =+ 二044（2）（方法一）設(shè)n（9昇），其中/>0.圓過三點(diǎn)，圓心在線段af的中垂線上設(shè)圓心為（tq,半徑為 f,有 f = j（-1-4）2 + 戻=j（-1-9）2 +（少-/）2h = 二尹 + ：）pq = 2 jr2 -1 = 2佃 + 24/.&> jr=53t =,廠v>0,v t，當(dāng)且僅當(dāng) t即2 5u3時(shí)取“二”， |pq| - 299 = 6v11 /. pq 的取值范圍是6vtt,+oo）（方法二）解：設(shè)"（9），

25、其中/>0,.圓過a,f,n三點(diǎn)， 設(shè)該圓的方程為 + b + dx+ey + f = 0,有< 16 + 4d+f = 081 + r2 + 9d + re+f = 036 6d+f = 0d = 2,e = -t-,f = -24 解得/圓心為知半徑廣卜tv2pq = 2r = 224 +護(hù)爭(zhēng),+ >2 r= 10a/3t = ,廠1 v 1，當(dāng)且僅當(dāng)/即u5u3時(shí)取“二” |p0|，299 = 6a/h , /. |pg| 的取值范圍是6vh,+oo）說明：此題的第1問用向量方法去證明垂直問題，既體現(xiàn)了向量與解析幾何的綜合，又體現(xiàn) 了解析幾何中重要的基本思想：用代數(shù)方法

26、解決幾何問題.第2問考杳了與圓有關(guān)的基本問 題及典型方法一一如何求圓的方程及如何計(jì)算圓的弦長(zhǎng).2. （理科學(xué)生做）pf 1 4- r解：（i）設(shè)動(dòng)圓p的半徑為廠，則 -.設(shè)p（y）,根據(jù)圓卩與軸相切，以及動(dòng)圓戶與定圓尸在*軸的同側(cè)，可得r=>,>0, 所以，jn2i+化簡(jiǎn)得：%2=4v.所以，動(dòng)點(diǎn)p的軌跡c的方程為"=4）心0）.,則以pm為直徑的圓的圓心為pm半徑一 2竝+1-g 若存在滿足題意的直線，設(shè)方程為則圓心到該直線的距離為8根據(jù)勾股定理，可得：該直線被圓所截得的弦長(zhǎng)/滿足:(2丿竝+ 2-2dx； (° 1) + 8tz 4/要使/為定值，需口只需a

27、 = l.所以，存在垂直于y軸的直線加：y=l,使得加被以pm為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒 為 定值，定值為2.說明：木題通過直接法得到拋物線的軌跡方程，有助于學(xué)生進(jìn)一步梳理拋物線的概念, 要注意歹 °的發(fā)現(xiàn).第二問實(shí)際考查的是直線與圓的位置關(guān)系問題，要求學(xué)生盡量利用幾何 條件解題：弦心距、半弦長(zhǎng)、半徑構(gòu)成直角三角形，知二求一.3. （理科學(xué)生做）解：顯然，直線人與兀軸不垂直，設(shè)直線人的方程為y=/a+mf 代入宀4y,得：x2-4kx-4m = 0tfx, +x2 = 4k,設(shè)a(心yj, 3(兀2，旳)，貝|j：xx2=-4m,兀設(shè)直線4°與直線bo的傾斜角分別為0,則

28、76; + 0二a,tana = a = atan = a = 所以,1 = tan(o + 0)tan a + tan 01 一 tan a tan 04(x|+兀2)_ 16k _ 4k6-xix216 +4m 4 + /7z即 m = 4k4 9 直線ab的方程為y "+4r -4,即y+ 4 = r(兀+4),所以，直線ab恒過定點(diǎn)(-4,-4).說明：本題耍求學(xué)生能夠掌握用代數(shù)方法解決幾何問題的一般方法：研究直線過定點(diǎn)的 問題就要通過直線ab的方程歹二總+加討論問題，也就是要找到£與眈的關(guān)系.為此，直7t線ab與拋物線交于不同的兩個(gè)點(diǎn)及對(duì)于條件“直線與直線3

29、76;的傾斜角之和為4 ”進(jìn) 行必要的有效的代數(shù)化就成為解決本題的主要任務(wù).2 2 二+ 7 = 1(°>/?>0),4. 解：(i )依題意，設(shè)橢圓c的方程為曠 b焦距為2c,2 _q 人_b? = a2 =4.由題設(shè)條件知，° ='b = c,所以 2蘭+龍=1故橢圓c的方程為84(ii)顯然直線/的斜率k存在，所以可設(shè)直線/的方程為y = (x+4) 如圖，設(shè)點(diǎn)m, n的坐標(biāo)分別為(心刃)，(兀2，2) 線段mn的中點(diǎn)為g(%y。),y 二 £(%+4),< r2 v2 丄+丄=1 由i 84 得(1 + 2k2)x2 +16k2x

30、+32k2-8 = 0 _v| v|由 = (16/ )2 一 4(1 + 2/ )(32/ - 8) > 0 解得一 t<216 k2兀+兀。=7因?yàn)槲?2是方程的兩根，所以-1 + 2r ,于是xj +x2sk2 二一1+2疋=roo+4) =ak1 + 2/兀0 :一豊0因?yàn)閕+2£,所以點(diǎn)g不可能在丿軸的右邊,2又直線隔,晌方程分別為y r + 2, y二-兀- 2,所以點(diǎn)g在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為兒 如+2y（）- _兀）_ 24k1 + 2疋4k 即 11+2/itif4-2,亦即2/+2p 150, 2k2-2k-<0.的-1/ 館t5 k

31、£解得 22,此時(shí)也成立.2e v3-1 v3-1故直線/斜率的取值范圍是2 ' 2 說明：本題通過正方形的面積轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)，要求學(xué)生能通過橢圓的定義，得到橢圓的相關(guān)基 本量笫二問對(duì)于“線段mn的中點(diǎn)落在正方形內(nèi)（包括邊界）”是學(xué)生的思維難點(diǎn)，進(jìn)行有 效的代數(shù)化是解題的關(guān)鍵可以讓學(xué)生回憶數(shù)學(xué)中關(guān)于平面區(qū)域中位置的判斷方法，找到它 的充耍條件.笫二部分 2010屆高三數(shù)學(xué) 押題卷（一）21在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到直線y = x+l的距離第3題圖2.若不等式蘭二業(yè)v0成立的一個(gè)充分非必要條件是 x-2m-<xv丄，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是一 .3 2< m < 4

32、33. 如圖所示的算法流程圖，當(dāng)輸入a = 2、b = 3,c = 1時(shí)，運(yùn)行程序最后輸出的結(jié)果為4-_4. 設(shè) 0a = (1-2),亦=(。,一1), 0c = (-z?,0), a0e>0,0 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若a、b、c三點(diǎn)共線，則的最大值是丄ab85. 已知a、b > c是直線，o是平面，給出下列命題：若allb, b丄c,則d丄c；若d丄b, b丄c,則a!c 若alia, /?u”，則a/?；若。丄a, bua，則a丄b；若a與異面，則至多有一條直線與a、b都垂直.其中真命題是.(把符合條件的序號(hào)都填上)6. 已知是圓0的一條直徑，cd是一條動(dòng)弦ii與a3垂直，假設(shè)cd與

33、直徑43的交點(diǎn)在ab上是等可能的，則弦cd長(zhǎng)大于半徑的概率是27. 在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)=/(兀)的圖象與y = r的圖象關(guān)于直線y = x對(duì)稱，貝ij函數(shù)y = /(x)對(duì)應(yīng)的曲線在點(diǎn)(ej(e)處的切線方程為. y = -xe&已知點(diǎn)p (t, v3 ), 0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)q是圓0： x2+y2=i ± 一點(diǎn)，且oqpq=>則opoq=答案：v7 說明：直接法與數(shù)形結(jié)合9.三角形abc中，若24bbc + 4b =0,且b=2, 一個(gè)內(nèi)角為30°,則a abc的血積 為 1或館/ 1 1 10定義：關(guān)于兀的兩個(gè)不等式/(qvo和g(0v0的解集

34、分別為3上)和，則稱這5 a)兩個(gè)不等式為對(duì)偶不等式如果不等式/ 一4岳cos20 + 2 v0與不等式2宀52如<。為對(duì)偶不等式，且叫卽，則一11. 已知函數(shù) /(x) = x3 -ax2 -bx ( a,be r ),若 y = f(x)在區(qū)間一1,2上是單調(diào)減3函數(shù)，則a + b的最小值為 一212. 有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在兀軸上，左右焦點(diǎn)分別為件耳，且它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為p, apff2是以叭為底邊的等腰三角形.若p=10,雙曲線/的離心率的取值范圍為(1, 2),則該橢圓的離心率的取值范圍是 . i-/與y軸$nfl 8 ) j?27>14.我們知道

35、，如果定義在某區(qū)間上的函數(shù)/(兀)滿足對(duì)該區(qū)間上的任意兩個(gè)13. 圖為函數(shù)/(x) = v(o<x<l)的圖象，其在點(diǎn)m(r,于)處的切線為/, 和直線)，=1分別交于點(diǎn)p、q,點(diǎn)n (0, 1),若pqn的面積為b時(shí)的點(diǎn)m恰 好有兩個(gè)，則b的収值范圍為數(shù)旺、x"總有不等式心)；./(譏/()成立，則稱函數(shù)/(對(duì)為該區(qū)間上的向上凸函數(shù)(簡(jiǎn)稱上凸)類比上述定義，對(duì)于數(shù)列色,如果對(duì)任意正整數(shù)川，總有不等式：5 +§ 4田成立，則稱數(shù)列綣為向上凸數(shù)列(簡(jiǎn)稱上凸數(shù)列).現(xiàn)有數(shù)列色滿足如下兩個(gè)條件：(1) 數(shù)列an為上凸數(shù)列，且4=1,垢0=28；(2) 對(duì)正整數(shù) (1&

36、lt;/7< 10,ng n*),都有atl-bn<20t 其中/?n=n2-6/1 + 10. 則數(shù)列%中的第五項(xiàng)他的取值范圍為13, 25解 1:由 am+an<=a.m+i+an-im+2二n,可得:a1+a1<a2+a3把以上8個(gè)不等式相加：8al+aio<8a2+a2 /. a2>4a2+a5<a3+a432+310 83+89把以上7個(gè)不等式相加：7a2+aio<7a3+a3/. a3>7a3+a5<a1+a1a3+a6<ai+a5&3+務(wù)04+49把以上6個(gè)不等式相加：6ai+al0<6a1+a1 a

37、 a4>1081+8685+85 a4+a7<a5+a6把以上5個(gè)不等式相加：5al+al0<5a5+a5aa5>13再用條件2求上限b 尸25-30+10二5a5-5<=20a5<=25a25>=a5>13解 2:假設(shè) an=ana2+bn+c(a<0)由 al=l,alo=28 得到 b=113a,c=1oa2.所以 an=ana2+(1 l-3a)n+10a-2a5=13-20a,|a5-b5|<20 得到3/5saso,所以 13<13-20a<25. a5 的取值范圍為13,25解3：在線段(1, al) (10

38、, alo)上取橫坐標(biāo)為5的點(diǎn)有a5=13,刃a5-b5|<20得到a5的取值范圍為13,2515. 已 知向量 a = (sin a, cos a) ,/? = (6 sin cr + cos a,7 sina-2 cos a), 設(shè)函數(shù)f(oc) = a h .(1) 求函數(shù)/(q)的最大值；(2) 在銳角三角形abc中，角a、b、c的對(duì)邊分別為q、b、c, /(a) = 6,且aabc 的面積為 3, b + c = 2 + 30,求 d 的值.解答：15. (1) 42+2； (2) v10.16. 如圖，棱柱abcd-aibigd的底面abcd為菱形，平面aaqc丄平面abc

39、d.(1) 證明：bd丄aai；(2) 證明：平而abc平而dag(3) 在直線cc上是否存在點(diǎn)p,使bp/平面daici?若存在，求出點(diǎn)p的位置；若不存在，說明理由.16.證明：連bd, j面abcd為菱形,bd丄ac由于平面aa<ic丄平血abcd,則bd丄平面aaicic 故：bd丄aa】連abi，bq 由棱柱abcd-aibicidi的性質(zhì)知 ab1/dc1，ad/bk，ab】g b】c二biad q dc訐d 由面面平行的判定定理知：平面abic/平面daici 存在這樣的點(diǎn)p因?yàn)閍ibiabdc,四邊形aibicd為平行四邊形.a1d/b1c在cic的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)p,使cic

40、=cp,連接bp,因bibzccx，.bbij7cp, 四邊形bbxcp為平行四邊形 則bp/b1c,bp/adbp/平血da©17. 為了研究某種藥物，用小白鼠進(jìn)行試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)線物在血液內(nèi)的濃度與時(shí)間的關(guān)系因使用方式的不同而不同。若使用注射方式給藥，則在注射后的3小時(shí)內(nèi)，藥物在白鼠血液內(nèi)4的濃度x與時(shí)間門前足關(guān)系式：必=4-m ovqv工衛(wèi)為常數(shù)，若使用口服方式給藥，則藥物在白鼠血液內(nèi)的濃度力與時(shí)間/滿足關(guān)系式:vf(o</<i)y2= 3-|(l<r<3)3丿對(duì)小白鼠同時(shí)進(jìn)行注射和口服該種藥物，注射藥物和口服藥物的吸收與代謝互不干擾。（1）若（7 = 1 ,

41、求3小時(shí)內(nèi)，該小白鼠何時(shí)血液中藥物的濃度最高，并求出最大值（2）若使小白鼠在用藥后3小時(shí)內(nèi)血液中的藥物濃度不低于4,求正數(shù)d的取值范闈19. （本題滿分16分解：（丨）設(shè)對(duì)棊病人同時(shí)進(jìn)行注射與n服后，病人血液中的藥物總濃度為丿t + 77+4 (0 < / < 1). 2 卩-“ + 衛(wèi)(is3)*71 7 當(dāng)0<f<】時(shí).y = -/ + 7/ + 4 = -(>/-)2 +二兒.=244則當(dāng)a = i時(shí)j = ” +力=c2分）（4分） 當(dāng)is3時(shí)，=+扌22逅 兒口 =7-2 (當(dāng)【二近時(shí)取得最值)一(6分)（7分）7 > 7 -2-j2 :當(dāng) / =

42、：時(shí).g444（2）由題意：-皿 + 擊 + 4 (0</<1)27-(0/ -ry) (! £ / < 3) s +jf + 4n4n-m +n0nas運(yùn) /e(0,l)=><l22223 7-(af -4一) n 4 n af < 3 => a/ < 3 n a m p- + y(/ 6 匕 3)-79；i7令u- t 則aw-2/+3u,uw/.<7<t39（9分）（ii 分（14 分）（16 分(ne nae r,a 為常數(shù)),2a“+-a + -,z?為奇數(shù), v 218、已知數(shù)列an iw足：an = <數(shù)

43、列仇中，乞f（1）求 aa,a2,a3；（2）證明：數(shù)列仇為等差數(shù)列； 求證：數(shù)列仇中存在三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列時(shí)，q為有理數(shù)。19>解：由已知4二2坷一0 +丄，w- a- 11a. =q+_ = a 乙（2）仇=存-=22門 44hn+ -ai_ =2仙曲-a+ = 2(6z22,r +)-+= 2tz22 -6z +1 = 2(a22n_ +)-tz + l = 2.! 厶i厶3 ci 2證明：由知仇=。+斤一1,10分： b卄一“=,又 bx= a3= a , 數(shù)列億是首項(xiàng)為d，公差為1的等差數(shù)列。若三個(gè)不同的項(xiàng)a + wa + k成等比數(shù)列，八j、£為非負(fù)整數(shù)，且i<

44、 j<k,則12分14分(a + i)2 = (a + j)(a + k),得 a(i + k 2j) = j2 -ik , 若 i + k 2j = 0,則 j2-ik = 09 得 i十k ,這與 i< j<k 矛盾。j2 - ik若i + £ 2丿工0,則, v i. j、£為非負(fù)整數(shù)，a是有理數(shù)。i + k 2j19.已知圓o： x2 +y2 =, 0為坐標(biāo)原點(diǎn).axdo-1a1(1) 邊長(zhǎng)為血的正方形abcd的頂點(diǎn)&、b均在圓o上，c、d在圓o外，當(dāng)點(diǎn)人在圓 o上運(yùn)動(dòng)時(shí)，c點(diǎn)的軌跡為e. 求軌跡e的方程； 過軌跡e上一定點(diǎn)p(x0,y0)

45、作相互垂直的兩條直線厶，/2，并且使它們分別與 圓0、軌跡e相交，設(shè)厶被圓o截得的弦長(zhǎng)為g,設(shè)厶被軌跡e截得的弦長(zhǎng) b 為b ,求a + b的最人值.(2) 正方形abcd的一邊a3為圓o的一條弦，求線段oc長(zhǎng)度的 1最值.19-解：(1)連結(jié) ob, g 因?yàn)?oa二ob=, ab=y2 , vxoa2 + ob2 = ab2 ,所以 zoba=f ,所以 zobc=,在4obc 屮，oc2 = ob2 + bc1 -2ob-bc= 5 , 2 分 44所以軌跡e是以o為圓心，石為半徑的圓， 所以軌跡e的方程為f +)，=5 ； 設(shè)點(diǎn)0到直線厶，厶的距離分別為4,心， 因?yàn)?|丄厶，所以盃+

46、 dj = op2 = x02 + y02 = 5 , 則 a + b = 2i _ d j + 2yj5 d- , 則(a + 疔=46 - g 2 + d?) + 2 j(1 - df )(5 )w4 6 (材+亦)+ 2.6-亦= 412-2(2+rf22)=4(12-10) = 8,當(dāng)且僅當(dāng)+d22 =5,1-2=5-22,2時(shí)取”d=,所以a + b的最大值為2血；(2)設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,zoba = 0f 貝ijcos<9 = -, 6>g 0,-.2 l 2丿2 ' 當(dāng)a、b、c、d按順時(shí)針方向時(shí)，如圖所示，在40bc中, a2+l-2acos- + 0 = oc2,12丿即 0c = j(