2012上數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)班高等代數(shù)A答案

1、2012年春季學(xué)期20111251D.若存在正交矩陣T,使得TAT B,則B A題號一-二二三四五六七總分得分咼等代數(shù)期末考試試卷（A卷）注意：1、本試卷共 3 頁；2、考試時(shí)間120分鐘3、姓名、學(xué)號必須寫在指定地方閱卷負(fù)責(zé)人簽名：閱卷人得分1.若向量組1、填空題（共5小題，每小題3分，共15 分）1, 2, 3線性相關(guān)，則向量組 1 2 2, 2 2 3,22 1線性相關(guān)7閱卷人得分、單項(xiàng)選擇題（共5小題，每小題3分，共15分）1、 六元齊次線性方程組x1 2x2 3x3 4x4 5x5 0的解空間的維數(shù)是( A ).A.5B.1C.3D.42、=(X1,X2,X3) R3,下列變換是線性

2、變換的是(D )A.()=(X12,0,0)B.()=(X1,X2)C.()=(0,X3,x2)D.()=(O,X2,X1)X13、設(shè)i Pn(i 1,2, ,s,s 1),則下列命題為真的是(D ).dim (W1 +W2)=dimWdim W2 dim(W W2).3、若L（V）且有唯一的特征值,則2的特征值是2,若 2=E,2W1與W2都是線性空間 V的子空間，則則的特征值是1或者-1.4、 兩個(gè)n n型數(shù)字矩陣A與B相似的充要條件是E A與E B 等價(jià)5、 R2中定義 （1, 2）,（b1,b2）的內(nèi)積為1 2(、55A.如果整個(gè)向量組1, 2, i1, i, i1, S的線性相關(guān)，則

3、該向量組的任意部分向量組一定也線性相關(guān)B.如果有一個(gè)向量j （1 i S）不是其余向量的線性組合，那么該向量組線性無關(guān)C.如果向量組1, 2, S線性相關(guān)，那么其中有零向量D.如果1, 2成比例，貝U 1, 2線性相關(guān)4.在 Rx4,定義(f (X), g(x)f(x)g(x)dx ,則 f(x)1,g（x） X的夾角為（D).閱卷人得分A.B.C.D.24365、A是n階實(shí)對稱矩陣，下列命題不成立的是（D ）.A. A的特征值都是實(shí)數(shù)B. 存在正交矩陣T,使得TAT為對角形C. n元實(shí)二次型XAX正定的充要條件是A的特征根都大于零 三、判斷題，正確的打 錯(cuò)誤的打×（共5小題，每小題

4、2 分，共10分）1、 相似矩陣有相同的最小多項(xiàng)式，最小多項(xiàng)式相同的矩陣相似（×）2、 如果存在Xi P,（i 1,2, S）使得X1 1 X2 2 XS S 0,那么向量組線性相關(guān).（×）3、秩相等的兩個(gè)矩陣相似.（×）4、 實(shí)對稱矩陣在實(shí)數(shù)域R上一定有n個(gè)特征根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）.（）5、對稱變換的乘積也是對稱變換.（×）閱卷人得分計(jì)算（共3小題，共26 分）1, 2, 3是它的一組基，f是V上一個(gè)線性函數(shù)，已知f（ If(22 3)1 , f( 12)3,求 f(X1 1 X2 2 X3 3)解由假設(shè)得1 f( 13) f( 1) f( 3)1 f

5、(22 3) f( 2) 2f (3),3 f(12) f( 1) f( 2)1、（6分）V是數(shù)域P上一個(gè)3維線性空間,由此可以解得f（ 1）4， f（ 2）7 ， f( 3)3，f (XIIx2 2x3 3)Xl f( 1) X2 f( 2) X3f( 3) 4X7x2 3x3 .2、（ 10分）用正交線性替換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形:2X12 x22 3x32 4x1x24 x2 x3 ；解設(shè)原二次型（均記為f ）對應(yīng)矩陣為A ,則120A222 .E A(023相應(yīng)特征向量為1 (2,1,2),2它們已兩兩正交，單位化:11(2,3T 1Q221令X TY ,其中122 ,3212特征值為1

6、2，21，35 ；2)(1)(5)，(2,2,1)， 3 (1, 2,2).111, 2)， 1 -(2,2,1), 1 (1,2,2).33' 2 2 2貝 U f XAX 2y1y25y31 0 00 0 0解A0 1 00 0 0E + S,設(shè)B0 0 13 11AB =BA,(E + S)B=B(E +S), 得 SB = BS.00 0abC0SB000a1b1Cl0311 a2b2C23a a1a2 3bab C 00 03c CCBSa1b1C100 03 G cc1 ,a2b2C231 13 C2C2C2C-C 0由對應(yīng)兀1素相等，得3aa1 a23c23bb1 b2C

7、23cC1C2C2整理得3c2 3a aa2C2 3bbb2方程組（1）的系數(shù)矩陣秩為2,解空間可維數(shù)為令b1 ,其余為0,得 C23 :I a 3;令a11 ,其余為0,得C20,a13 ；令b11,其余為0,得C21,a 1 ;令a?1,其余為0,得C20,a13;令b21,其余為0,得C21,a 1 ;a5.00 bia1 a23)1，與A可交換的矩陣為aB a1a2bb1b00 ,其中,C23、（10 分）設(shè) A100010,求P33中全體與A可交換的矩陣所成的子空間的維數(shù)和一組基312一組基由上面得到:bb1b2b2C1C23c與A可交換，即00 ；CC2(1)C2可經(jīng) b, a1,

8、 bi, a2, b2表示，其31013000，100301301閱卷人得分五、（8分）證明證1）由于0 V ,所以V1非空。再證V1對兩種運(yùn)算封閉。X1,X2V1,即（X1,）（X2,） 0 ,那么（X1X2,）（X1,）（X2,） 0,從而X1X2V1.另外（kx1,）（kx2,）0,所以kX1V1.從而V是V的一個(gè)子空間。2）由于0是線性無關(guān)的，將它擴(kuò)充成V的一組正交基為，2丄，n ,這時(shí)，因?yàn)椋ǎ? （ i 2,3,L In ）,所以 i V1 （ i 2,3,L I n ）.只要證明i2相似,其中i1i2L in是 1,2,L,n的一個(gè)排列n)(1,n)任意V1 ,都可由2,L In

9、線性表出，那么V1的維數(shù)就是n 1.實(shí)際上，k1k22 Lkn n ,(1)那么（，)K(,)k2(2,) Lkn(n,),但是（，)0 (i，),(i 2,3,L ,n ),(1,2,L In ),故所以&（,)0 ,由于0,所以k10 ,代入式（1）,即有k1k22 Lkn n ,由的任意性，得證。i2,L ,in)(il i2 丄i2所以相似。in閱卷人得分閱卷人得分六、（16分）n維歐式空間,0是V中一固定向量120020221解令其原矩陣為A ,那么111120r3g(1 2),2E A020r1r30 202211 20七、（10分）求下列復(fù)系數(shù)矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形:1）證明：V1x（x, ） 0,x V是V的一子空間2）證明：V1的維數(shù)等于n 1in X.1 XSi n QX0,0,0, 02Br3 r2