安徽工業(yè)大學量子力學復(fù)習提綱

1、2010級材料物理專業(yè)量子力學復(fù)習提綱要點之一1. 19世紀末到20世紀初，經(jīng)典物理學在解釋黑體輻射、光電效應(yīng)、原子的光譜線系和固體的低溫比熱等實驗結(jié)果時遇到了嚴重的困難，揭露經(jīng)典物理學的局限性。2. 普朗克提出“ 能量子 ”（內(nèi)容是什么？?）的假設(shè)，解決了黑體輻射問題；愛因斯坦在普朗克“ 能量子 ”假設(shè)的啟發(fā)下，提出了“光量子” （內(nèi)容是什么？?）的假設(shè)，成功解釋了光電效應(yīng)現(xiàn)象。愛因斯坦的的光量子理論1924年被康普頓效應(yīng)（內(nèi)容是什么？?）證實，被物理學界接受。3. 德布羅意在光的波粒二象性的啟示下，提出一切微觀粒子（原子、電子、質(zhì)子等）也具有波粒二象性的假說，在一定條件下，表現(xiàn)出粒子性，在

2、另一些條件下體現(xiàn)出波動性。德布羅意的假說的正確性，在1927年為戴維孫（Davission）和革末（Germer）所做的電子衍射實驗所證實。4. 描述光的粒子性的能量E和動量與描述其波動性的頻率n（或角頻率w）和波矢由 Planck- Einstein方程聯(lián)系起來，即： ； （其中的各物理量的意義？）。5. 描述微觀粒子（如原子、電子、質(zhì)子等）粒子性的物理量為能量E和動量，描述其波動性的物理量為頻率n（或角頻率w）和波長l， 它們間的關(guān)系可用德布羅意關(guān)系式表示，即： （其中的各物理量的意義？）； （其中的各物理量的意義？）。6. 微觀粒子因具有波粒二象性，其運動狀態(tài)不能用坐標、速度、加速度等物

3、理量來描述，而是用波函數(shù)來描述。描述自由粒子的波是具有確定能量和動量的平面波，即：（其中的各物理量的意義？）。7. 波函數(shù)在空間某點的強度，即波函數(shù)模的平方，與在該點找到粒子的幾率成正比例，即描寫粒子的波可認為是幾率波，反映了微觀粒子運動的統(tǒng)計規(guī)律。8. 波函數(shù)在全空間每一點應(yīng)滿足單值、有限、連續(xù)三個條件，該條件稱為波函數(shù)的標準條件。8. 通常將在無窮遠處為零的波函數(shù)所描寫的狀態(tài)稱為束縛態(tài)，屬于不同能級的束縛定態(tài)波函數(shù)彼此正交，可表示為。9. 設(shè)的對易關(guān)系為，且，則的測不準關(guān)系式為：；如果不等于零，則的均方偏差不會同時為零，它們的乘積要大于一正數(shù)，這意味著和不能同時測定。10. 當體系處于定態(tài)

4、時，則體系有：1）能量有確定值；2）粒子在空間幾率密度與時間無關(guān)；3）幾率流密度與時間無關(guān)。11. 粒子在一維無限深勢阱中的定態(tài)解可表示為：，當n為奇數(shù)時，波函數(shù)具有偶宇稱，當n為偶數(shù)時，波函數(shù)具有奇宇稱。12. 在點電荷的庫侖場中運動的電子，其處于束縛態(tài)的波函數(shù)可表示成：，其中，主量子數(shù)n=1，2，3，角量子數(shù)l=0，1，2，.，n-1，磁量子數(shù)m=0，±1，±2，.，±l。是算符、和共同本征函數(shù)，當電子處于該波函數(shù)描述的狀態(tài)時，力學量、和可以同時測得， 體系， L2=，Lz=。13. 角動量算符和對易，即，因此它們有共同的本征函數(shù)完備系。在 描述的狀態(tài)中，力學

5、量和可以同時測得，L2=，Lz=，此時總磁矩（沿z軸方向）Mz=。14. 電子在點電荷的庫侖場中運動，其處于束縛態(tài)的第n個能級 En 只與n有關(guān)，而與l、m無關(guān)，是 n2 度簡并的；若n = 2 時，對應(yīng)E2的波函數(shù)有 、和。而在非點電荷的庫侖場中運動的電子，如 Li，Na，K 等堿金屬原子中最外層價電子是在由核和內(nèi)殼層電子所產(chǎn)生的有心力場中運動，這個場不再是點電荷的庫侖場，因此價電子的能級由主量子數(shù)n和角量子數(shù)l決定，僅對m簡并。15. 兩個算符與有共同本征函數(shù)系的充要條件是這兩個算符彼此對易；在兩個力學量算符的共同本征函數(shù)所描寫的狀態(tài)中，這兩個算符所表示的力學量同時有確定值。 16. 選定

6、一個特定Q表象，就相當于在Hilbert空間中選定一個特定的坐標系，力學量算符的正交歸一完備函數(shù)系構(gòu)成Hilbert空間中的一組正交歸一完備基底。任意態(tài)矢量在Q表象中的表示是一列矩陣，矩陣元是態(tài)矢量在算符的本征矢上的投影，即：。17. 選定力學量Q表象，算符的正交歸一的本征函數(shù)完備系記為，一力學量算符在Q表象中是一個矩陣F=（Fmn），其矩陣元為：；該矩陣為厄米矩陣，對角矩陣元為實數(shù)。一力學量算符在自身表象中的矩陣是一個對角矩陣，對角元就是算符的本征值。 18. 在坐標表象中，；而在動量表象中， px 。19. 若力學量算符不顯含時間t，且與哈米頓算符對易，力學量的平均值不隨時間而變化，則稱為

7、運動積分，或在運動中守恒。20. 動量算符、 彼此對易，它們有共同的本征函數(shù)完備系：；在該本征函數(shù)描述的狀態(tài)中，、同時具有確定的值。要點之二1. 態(tài)疊加原理：若y1，y2，××× , yn 是粒子的可能狀態(tài)，則粒子也可處在它們的線性迭加態(tài)y=c1y1+c2y2+.+ cnyn；當體系處于y 態(tài)時，發(fā)現(xiàn)體系處于yk態(tài)的幾率是（k=1，2，3，×××××），并且。2. 隧道效應(yīng)：粒子能夠穿透比它動能更高的勢壘的現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)。它是粒子具有波動性的生動表現(xiàn)。只有當粒子的質(zhì)量和勢壘寬度比較小時，這種效應(yīng)才顯著。3. 厄密

8、算符：若算符滿足 ，則算符稱為厄密算符，其性質(zhì)是厄密算符的本征值必為實數(shù)，因此量子力學的力學量算符都是厄密算符。4. 偶宇稱與奇宇稱：在空間反射下，如果有，則稱波函數(shù)有確定的宇稱。當，則稱波函數(shù)具有偶宇稱；當，則稱波函數(shù)具有奇宇稱。5. Hilbert空間：以某一力學量的本征波函數(shù)為基底， 構(gòu)成的無限維的函數(shù)空間，稱為Hilbert空間。任意態(tài)矢量在該力學量表象中的表示是一列矩陣，矩陣元是態(tài)矢量在該力學量算符的本征矢上的投影。6. 測不準原理：量子力學揭示，要同時測出微觀粒子的位置和動量，其精度是有一定的限制。海森伯推得，測量一個微粒的位置時，如果不確定范圍是，那么同時測量其動量也有一個不確定

9、范圍，且位置不確定度和動量的不確定度的乘積總是大于一定的數(shù)值，即。粒子的位置和動量不能同時準確測定源于物質(zhì)具有微粒和波動二象性。測不準原理是普遍存在的；若兩個力學量不對易，則它們不可能同時被準確測定，其不確定度的乘積總是大于一定的值。7. 定態(tài)：當薛定諤方程中的勢能U與時間t無關(guān)，則薛定諤方程的解可表示成，通過分離變量求解薛定諤方程，得到薛定諤方程的解是（分離變量過程中引入的常數(shù)E為粒子的能量），當粒子處在由該波函數(shù)所描述的狀態(tài)時，粒子的能量E 有確定的值，這種狀態(tài)稱為定態(tài)。8. 零點能：也就是線性諧振子基態(tài)的能量，其中w是諧振子的角頻率。零點能不等于零是量子力學中特有的，是微觀粒子波粒二相性

10、的表現(xiàn)，能量為零的“靜止的” 波是沒有意義的，零點能是量子效應(yīng)，已被絕對零點情況下電子的晶體散射實驗所證實。要點之三：1. 請闡述力學量的算符、力學量算符的本征值、力學量測量值及力學量平均值之間的關(guān)系。答：量子力學中的所有力學量用厄米算符來表示。算符的本征函數(shù)組成正交歸一本征波函數(shù)完備系。當體系處于力學量算符的本征態(tài)fn時，表示的力學量F有確定值，該值就是在fn態(tài)中的本征值ln，此時力學量F的測得值即為ln，F(xiàn)的平均值為ln；當體系處在一般狀態(tài)Y中，表示的力學量F沒有確定值，而是具有一系列的可能值，這些可能值就是表示力學量算符的本征值ln（n=1,2,3,.），每個可能值都以確定的幾率被測得，

11、F的平均值為。2. 請闡述，在量子力學中的力學量怎樣用算符來表示的。3. 求氫原子處于基態(tài)時電子動量的幾率分布（基態(tài)波函數(shù)為）。解：基態(tài)波函數(shù)為 動量算符的本征函數(shù)： 將基態(tài)波函數(shù)用動量算符的本征函數(shù)展開： 其中， Cp 與動量的大小有關(guān)，與的方向無關(guān)，由此得到動量 的幾率分布： 4設(shè)粒子在一維無限深阱中運動，如果t=0時刻，粒子的狀態(tài)由波函數(shù) 描寫，求粒子能量的可能值和相應(yīng)的幾率。解 一給無限深勢阱式中a為勢阱寬度。粒子具有一定能量的狀態(tài)為本征態(tài)，它滿足本征方程粒子在阱內(nèi)時有 代入本征方程得 其解為 能量為 任意狀態(tài)，可視為一系列本征態(tài)的線性迭加，亦即只要求出各個，就可以求出能量的各個可能值

12、及相應(yīng)的幾率。方法一：本題的較簡單，容易化為若干正弦函數(shù)的迭加故 ，能量可能值，能量可能值方法二：一般方法因為 由于三角函數(shù)的正交性故 即得 及 討論：比較上面兩種方法可以看出，如果比較簡單，能夠較容易地把它展開為本征函數(shù)的組合時，就可以不必利用比較麻煩的積分方法求，但方法一只有在特殊情況下才能使用。5設(shè)粒子在一維無限深方勢阱中運動，方勢阱。求：（1）處于基態(tài)的粒子的動量幾率分布；（2）處于基態(tài)粒子的動量平均值。解：由于勢阱，在阱內(nèi)粒子所滿足的定態(tài)薛定諤方程為 (1)在阱外粒子滿足的定態(tài)薛定諤方程為 (2)在（2）中，根據(jù)波函數(shù)滿足的連續(xù)性和有限性條件，只有當時，（2）才能成立，所以有 (3)

13、為了方便，引入符號，則（2）式簡寫為 (4)它的解是 (5)根據(jù)的連續(xù)性，由（3）式的，代入(5)，有由此求得A和B不能同時為零，否則到處為零，在物理上無意義。因此求得歸一化的定態(tài)薛定諤方程的解為：定態(tài)能量為：基態(tài)波函數(shù)： 將基態(tài)波函數(shù)用動量本征函數(shù)展開： = (1) 動量的幾率分布為：(2) 動量的平均值：6. 在一維無限深勢阱中運動的粒子，方勢阱，如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)描寫，其中A為歸一化常數(shù)，a為勢阱寬度。求粒子能量的概率分布和能量平均值。解：由于勢阱，阱內(nèi)粒子所滿足的定態(tài)薛定諤方程為 (1)在阱外粒子滿足的定態(tài)薛定諤方程為 (2)在（2）中，根據(jù)波函數(shù)滿足的連續(xù)性和有限性條件，只有當時

14、，（2）才能成立，所以有 (3)為了方便，引入符號，則（2）式簡寫為 (4)它的解是 (5)根據(jù)的連續(xù)性，由（3）式的，代入(5)，有由此求得A和B不能同時為零，否則到處為零，在物理上無意義。因此求得歸一化的定態(tài)薛定諤方程的解為：定態(tài)能量為：對波函數(shù)進行歸一化，有用定態(tài)波函數(shù)將展開，（1）粒子能量取的幾率為：（2）7. 利用測不準關(guān)系估算線性諧振子的零點能.解： 一維線性諧振子的哈密頓算符為： 哈密頓算符的本征波函數(shù)為： 振子的平均能量： ， 所以， 因此，零點能為： 8. 請利用測不準關(guān)系，證明：在本征態(tài)下，=0，=0。9. 設(shè)t=0 時，粒子的狀態(tài)為y(x) = A sin2kx + (1/2)coskx ，求：（1）粒子的平均動量和平均動能；（2）粒子位置與動量的不確定性解： 寫成單色平面波的疊加：比較二式，因單色平面波動量有確定值：， ，（1）歸一化后，|c(pi)|2 表示粒子具有動量為 pi 的幾率，于是就可以計算動量和動能的平均值了。動量的平均值：動能的平均值：（2）粒子位置與動量的不確定性對于任一力學量A，有 ，便有 ,所以有，10. 已知空間轉(zhuǎn)子處于如下狀態(tài)，試問：1）是否是 L2 的本征態(tài)？ 2）是否是 Lz 的本征態(tài)