量子力學(xué)教程第九講

1、The variables in Quantum mechanics 1第九講第九講第第 二二 章章3.7 算符的對(duì)易關(guān)系算符的對(duì)易關(guān)系 兩力學(xué)量同時(shí)有兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件確定值的條件 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系Operator commute The Heisenberg Uncertainty PrincipleThe variables in Quantum mechanics 21 1在什么情況下力學(xué)量具有確定值；力學(xué)在什么情況下力學(xué)量具有確定值；力學(xué)量可能值、概率、量可能值、概率、 平均值的計(jì)算方法，兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)具平均值的計(jì)算方法，兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)具有確定值的條件；有確定值的條件；2

2、 2不確定關(guān)系及其應(yīng)用；不確定關(guān)系及其應(yīng)用； 。學(xué) 習(xí) 內(nèi) 容學(xué) 習(xí) 內(nèi) 容重點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)The variables in Quantum mechanics 3 3.7 算符對(duì)易關(guān)系、兩力學(xué)量同時(shí)可測(cè)的條件、算符對(duì)易關(guān)系、兩力學(xué)量同時(shí)可測(cè)的條件、 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系1 1算符的對(duì)易關(guān)系算符的對(duì)易關(guān)系設(shè)設(shè) 和和 為兩個(gè)算符為兩個(gè)算符FG若若 ，F(xiàn)GGF則稱則稱 與與 對(duì)易對(duì)易GF若若 ，F(xiàn)GGF則稱則稱 與與 不對(duì)易不對(duì)易GF引入對(duì)易子：引入對(duì)易子：FGGFGF,若若 ，0,GF 則則 與與 對(duì)易對(duì)易GF若若 ，0,GF 則則 與與 不對(duì)易不對(duì)易GF（1 1）力學(xué)量算符的基本對(duì)易關(guān)系）力學(xué)量算

3、符的基本對(duì)易關(guān)系The variables in Quantum mechanics 4,0,0,0 x yy zz x, 0, 0, 0 xyyzzxpppppp , 0 xx,1, 2, 3 ,0pp 123,xx xy xz1,2,3()xyzpppppp,1, 2, 3 ,0,0,0,yzxyxzxyzx px px piy piy py pz pz pz pi,( ,1, 2, 3)xpi The variables in Quantum mechanics 5證明對(duì)易關(guān)系式證明對(duì)易關(guān)系式 xxUipxUx)(),(ExProve設(shè)設(shè) 為任一可微函數(shù)為任一可微函數(shù), ,f x y z

4、 ,xxxxxU xPfUPPUfUP fPUf ,xUU x Pix Uffi UixxUUi fifxx特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) 代入上對(duì)易式，即證得代入上對(duì)易式，即證得 U xx,xx Pi同理可證：同理可證：,yy Pi,zz PifUfi Ui fi UxxxThe variables in Quantum mechanics 6 ,0AA , ,A BBA ,CABACBA,CBCACBA,CABCBACBA,CBABCACBA , , , , , , 0AB CBC ACA Bprove:（2 2）對(duì)易恒等式）對(duì)易恒等式雅可比恒等式雅可比恒等式雙線性雙線性 BACBACABCBCA,

5、CABCBA ,A BC ABCBCAThe variables in Quantum mechanics 7,LLiL LLi L,xyzyzxzxyLLi LLLi LLLi L（3 3）角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系）角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系110is an odd permutation of xyzis an even permutation of xyzotherwise222,0,0,0 xyzLLLLLL2,0LL,xyzThe variables in Quantum mechanics 8,yyzyxLpzpyLL, , ,zyyzyyyyy p Ly L pz p Lz L p, ,z

6、xzxzyy p zpxpz zpxp p, ,zzxzxyzyp xpzy p zpypz xpp pz, , ,zzxxzyzyp pzy p z pyzp px zxp pxyi ypi xpzLiProve:Prove: ,0yy L,0yypL等于零等于零()yxixpyp 等于零等于零The variables in Quantum mechanics 9定 理定 理prove:prove:2 2力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件設(shè)設(shè) 是是 和和 的共同本征函數(shù)完全系，則的共同本征函數(shù)完全系，則 nFG,nnnnnnFG 0nnnnnnFG GF 設(shè)設(shè) 是任一狀態(tài)波函

7、數(shù)，是任一狀態(tài)波函數(shù)，1n nna0nnnFG GFa FG GF,0FG GFF G 若算符若算符 和和 具有共同的本征函數(shù)完全具有共同的本征函數(shù)完全系，則系，則 和和 必對(duì)易。必對(duì)易。FGGFThe variables in Quantum mechanics 10逆 定 理逆 定 理prove:prove:設(shè)設(shè) 是是 的本征函數(shù)完全系，則的本征函數(shù)完全系，則 nF若算符若算符 與與 對(duì)易，則對(duì)易，則FGFGGFnnnF （1 1）nnnnFGGFG（2 2） 為簡(jiǎn)單起見，先考慮非簡(jiǎn)并情況。由（為簡(jiǎn)單起見，先考慮非簡(jiǎn)并情況。由（1 1）、（）、（2 2）式知，式知， 和和 都是都是 屬于本

8、征值屬于本征值 的本征函數(shù)，它的本征函數(shù)，它們最多相差一個(gè)常數(shù)因子們最多相差一個(gè)常數(shù)因子 ，即，即nnGFnnnnnG 可見，可見， 也是也是 的本征方程的解。因此，的本征方程的解。因此， 是是 的本征函數(shù)完全系的本征函數(shù)完全系nG nG若算符若算符 與與 對(duì)易，則它們具有共同的本對(duì)易，則它們具有共同的本征函數(shù)完全系征函數(shù)完全系FG3.7 算符對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)算符對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)可測(cè)的條件量同時(shí)可測(cè)的條件 測(cè)不準(zhǔn)測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系關(guān)系（續(xù)7）The variables in Quantum mechanics 11 若兩個(gè)力學(xué)量算符彼此不對(duì)易，則一般說來這兩若兩個(gè)力學(xué)量算符彼此不對(duì)易，則一般說來這兩

9、個(gè)算符表示的兩個(gè)力學(xué)量不能同時(shí)具有確定性，或個(gè)算符表示的兩個(gè)力學(xué)量不能同時(shí)具有確定性，或者說不能同時(shí)測(cè)定。者說不能同時(shí)測(cè)定。 兩個(gè)算符有共同本征函數(shù)系的充要條件是這兩個(gè)兩個(gè)算符有共同本征函數(shù)系的充要條件是這兩個(gè)算符彼此對(duì)易；在兩個(gè)力學(xué)量算符的共同本征函數(shù)算符彼此對(duì)易；在兩個(gè)力學(xué)量算符的共同本征函數(shù)所描寫的狀態(tài)中，這兩個(gè)算符所表示的力學(xué)量同時(shí)所描寫的狀態(tài)中，這兩個(gè)算符所表示的力學(xué)量同時(shí)有確定值?；蛘哒f有確定值?；蛘哒f兩個(gè)力學(xué)量算符所表示的力學(xué)量?jī)蓚€(gè)力學(xué)量算符所表示的力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件是這兩個(gè)力學(xué)量算符相互對(duì)易。同時(shí)有確定值的條件是這兩個(gè)力學(xué)量算符相互對(duì)易。注注 為簡(jiǎn)單起見，以上定理和逆定理

10、的證明是在非簡(jiǎn)為簡(jiǎn)單起見，以上定理和逆定理的證明是在非簡(jiǎn)并情況下證明的；在簡(jiǎn)并的情況下，結(jié)論仍成立并情況下證明的；在簡(jiǎn)并的情況下，結(jié)論仍成立（這里就不再證明了（這里就不再證明了）The variables in Quantum mechanics 12Ex.2Ex.2 角動(dòng)量算符角動(dòng)量算符 和和 對(duì)易，即對(duì)易，即 因此它們有共同的本征函數(shù)完備系因此它們有共同的本征函數(shù)完備系 。0,2LLz( , ) l mY zL2L22(1)zLl lLm，3.7 算符對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)可測(cè)的條件算符對(duì)易關(guān)系兩力學(xué)量同時(shí)可測(cè)的條件 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系（續(xù)9）( )pr同時(shí)有確定值。同時(shí)有確定值。,xyz

11、ppp在在 描述的狀態(tài)中，描述的狀態(tài)中，在在 描述的狀態(tài)中，描述的狀態(tài)中，,lmY 和和 可同時(shí)有確定值可同時(shí)有確定值: :2LzLEx.1Ex.1動(dòng)量算符動(dòng)量算符 彼此對(duì)易，它們有共同的彼此對(duì)易，它們有共同的本征函數(shù)完備系本征函數(shù)完備系 ,xyzp p prpiper23)2()(The variables in Quantum mechanics 13Ex.5Ex.5 彼此不對(duì)易，故彼此不對(duì)易，故 一般不一般不可能同時(shí)有確定值?？赡芡瑫r(shí)有確定值。zyxLLL,zyxLLL, Ex.4 坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符不對(duì)易坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符不對(duì)易 ，故故 一般不可同時(shí)具有確定值。一般不可同時(shí)具有確定值。

12、 iPxx,xPx,42222,(1),2snzeELl lLmn Ex.3 氫原子的算符氫原子的算符 彼此對(duì)易：彼此對(duì)易：2zHL L、 、0,2LH0,zLH0,2zLL它們有共同的本征函數(shù)完備系它們有共同的本征函數(shù)完備系 ( , , ) nlmr 故故 可可同時(shí)有確定值同時(shí)有確定值: :zLLH,2在在 狀態(tài)中，狀態(tài)中，, ,nlmr The variables in Quantum mechanics 14（1 1）定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對(duì)易的）定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對(duì)易的最?。〝?shù)目）力學(xué)量算符的集合稱為力學(xué)量完全集。最?。〝?shù)目）力學(xué)量算符的集合稱為力學(xué)量完

13、全集。三維空間中自由粒子，完全確三維空間中自由粒子，完全確定其狀態(tài)需要三個(gè)兩兩對(duì)易的定其狀態(tài)需要三個(gè)兩兩對(duì)易的力學(xué)量：力學(xué)量：.,zyxpppEx.2Ex.2氫原子，完全確定其狀態(tài)也需氫原子，完全確定其狀態(tài)也需要三個(gè)兩兩對(duì)易的力學(xué)量：要三個(gè)兩兩對(duì)易的力學(xué)量：.,2zLLH一維諧振子，只需要一個(gè)力學(xué)一維諧振子，只需要一個(gè)力學(xué)量就可完全確定其狀態(tài)：量就可完全確定其狀態(tài)：H（2 2）力學(xué)量完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般與體系自由度）力學(xué)量完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般與體系自由度數(shù)相同。數(shù)相同。（3 3）由力學(xué)量完全集所確定的本征函數(shù)系，構(gòu)成該體）由力學(xué)量完全集所確定的本征函數(shù)系，構(gòu)成該體系態(tài)空間的一組完備的本

14、征函數(shù)，即體系的任何狀態(tài)系態(tài)空間的一組完備的本征函數(shù)，即體系的任何狀態(tài)均可用它展開。均可用它展開。3 .3 . 力 學(xué) 量 完 全 集 合力 學(xué) 量 完 全 集 合Ex.3Ex.3Ex.1Ex.1The variables in Quantum mechanics 154 4測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo) 坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 角動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系角動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系引 言引 言由前面討論表明，兩對(duì)易力學(xué)量算符則同由前面討論表明，兩對(duì)易力學(xué)量算符則同時(shí)有確定值；不對(duì)易兩力學(xué)量算符，一般時(shí)有確定值；不對(duì)易兩力學(xué)量算符，一般來說，不存在共同本征函

15、數(shù)，不同時(shí)具有來說，不存在共同本征函數(shù)，不同時(shí)具有確定值。確定值。問 題問 題兩個(gè)不對(duì)易算符所對(duì)應(yīng)的力學(xué)量在某一狀兩個(gè)不對(duì)易算符所對(duì)應(yīng)的力學(xué)量在某一狀態(tài)中究竟不確定到什么程度？即不確定度態(tài)中究竟不確定到什么程度？即不確定度是多少？是多少？不確定度：不確定度：測(cè)量值測(cè)量值 F Fn n 與平均值與平均值 F 的偏差的的偏差的大小。大小。The variables in Quantum mechanics 16GGGFFF,)()(FFGGGGFFFGGF() ()FG FG FG FGGF GF GF GFk iFGGF 設(shè)設(shè) 和和 的對(duì)易關(guān)系為的對(duì)易關(guān)系為GFk iGF,k iFGGF考慮積分

16、：考慮積分：2( )()IFi Gd dGiFGiF)()(*dFGGFidFF)()()()()(*2dGG)()(*（再利用力學(xué)量算符的厄米性）（再利用力學(xué)量算符的厄米性） 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo) The variables in Quantum mechanics 170)()(222GkF由代數(shù)中二次定理知，這個(gè)不等式成立的條件由代數(shù)中二次定理知，這個(gè)不等式成立的條件是系數(shù)必須滿足下列關(guān)系：是系數(shù)必須滿足下列關(guān)系： 4)()(222kGF（稱為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系）（稱為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系） 如果如果 不等于零，則不等于零，則 和和 的均方偏差不會(huì)同時(shí)為的均方偏差不會(huì)同時(shí)為零，它們的乘

17、積要大于一正數(shù)，這意味著零，它們的乘積要大于一正數(shù)，這意味著 和和 不能不能同時(shí)測(cè)定。同時(shí)測(cè)定。kFGFG222*()()FdiF GG FdGd The variables in Quantum mechanics 18 由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系由測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 看出：若兩個(gè)力學(xué)量看出：若兩個(gè)力學(xué)量算符算符 和和 不對(duì)易，則一般說來不對(duì)易，則一般說來 與與 不能同不能同時(shí)為零，即時(shí)為零，即 和和 不能同時(shí)測(cè)定（但注意不能同時(shí)測(cè)定（但注意 的特殊態(tài)可能是例外），或者說它們不能有共同本征的特殊態(tài)可能是例外），或者說它們不能有共同本征態(tài)。反之，若兩個(gè)厄米算符態(tài)。反之，若兩個(gè)厄米算符 和和 對(duì)易，則可以找對(duì)易，則可

18、以找出這樣的態(tài)，使出這樣的態(tài)，使 和和 同時(shí)滿足，即可同時(shí)滿足，即可以找出它們的共同本征態(tài)。以找出它們的共同本征態(tài)。 222() ()4FGkFGFG , 0F G FG0F0GFG4)()(222xpx故有故有 坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系坐標(biāo)和動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 22)2xxp （或?qū)懗苫驅(qū)懗? ipxxThe variables in Quantum mechanics 192xpx簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 表明：表明： 和和 不能同時(shí)為零，坐標(biāo)不能同時(shí)為零，坐標(biāo) 的均方差越的均方差越小，則與它共軛的動(dòng)量小，則與它共軛的動(dòng)量 的均方偏差越大，亦就是說，的均方偏差越大，亦就是說，坐標(biāo)愈測(cè)量準(zhǔn)，動(dòng)量就愈測(cè)不準(zhǔn)。

19、坐標(biāo)愈測(cè)量準(zhǔn)，動(dòng)量就愈測(cè)不準(zhǔn)。xxpxPx 角動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系角動(dòng)量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系22224)zyxzyxLLLLiLL（，當(dāng)粒子處在當(dāng)粒子處在 的本征態(tài)時(shí)的本征態(tài)時(shí)zL42222241)(4)mmLLyx（The variables in Quantum mechanics 20測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的應(yīng)用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的應(yīng)用 Ex. 1 利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估算線性諧振子的零點(diǎn)能利用測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系估算線性諧振子的零點(diǎn)能0ESolve：諧振子的能量諧振子的能量 21nEn222( )()xnnnxN eHx222212xpH平均能量：平均能量： 2222121xpHEdxxPxPnn)()(*dxxdxdxinn)()

20、(dxxxdxdixxinnnn)()()()(The variables in Quantum mechanics 210)(2dxxxxn222222222()()()() ()4PPPPxxxxPx2224Px22222221112228EHpxxx0P ( )nnpx dxPThe variables in Quantum mechanics 22222221280ExxdEdxmin012EE 故所謂零點(diǎn)能即為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系要求的最小能量，故所謂零點(diǎn)能即為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系要求的最小能量，零點(diǎn)能在舊量子理論是沒有的。零點(diǎn)能在舊量子理論是沒有的。22x（零點(diǎn)能）（零點(diǎn)能）The variables in Quantum mechanics 23Prove:22224)xzyxzyLLLLiLL （，則測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：則測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系：222224040)xxyLLL （平均值的平方平均值的平方為非負(fù)數(shù)為非負(fù)數(shù)欲保證不等式成立，必有：欲保證不等式成立，必有：0 xL同 理同 理0 yL由于在由于在 本征態(tài)本征態(tài) 中，測(cè)量力學(xué)量中，測(cè)量力學(xué)量 有確定值，有確定值，所以所以 均方偏差必為零，即均方偏差必為零，即zLlmYzLzLEx.2 利用測(cè)不