第7章模擬退火算法

1、2021-11-251模擬退火算法模擬退火算法第第三三講講搜索原理搜索原理2021-11-252 遺傳算法具有隱并行性，它可容易改造成為并行遺傳算法具有隱并行性，它可容易改造成為并行/分布式分布式算法，用來解決那些復(fù)雜性問題。算法，用來解決那些復(fù)雜性問題。到目前，遺傳算法的理論機制仍不是很清楚，這可到目前，遺傳算法的理論機制仍不是很清楚，這可能和生命科學(xué)的研究一樣，將是一個永恒的研究課題，能和生命科學(xué)的研究一樣，將是一個永恒的研究課題，但也是一個難題。已有很多學(xué)者對遺傳算法作了一些深但也是一個難題。已有很多學(xué)者對遺傳算法作了一些深入的研究，近幾十年來，遺傳算法的文獻已相當(dāng)多，由入的研究，近幾十

2、年來，遺傳算法的文獻已相當(dāng)多，由于本書篇幅所限，僅介紹了遺傳算法的一些基本知識。于本書篇幅所限，僅介紹了遺傳算法的一些基本知識。 2021-11-253模擬退火算法模擬退火算法模擬退火算法來源于固體退火原理，將固體加溫至充模擬退火算法來源于固體退火原理，將固體加溫至充分高，再讓其徐徐冷卻，加溫時，固體內(nèi)部粒子隨溫升分高，再讓其徐徐冷卻，加溫時，固體內(nèi)部粒子隨溫升變?yōu)闊o序狀，內(nèi)能增大，而徐徐冷卻時粒子漸趨有序，變?yōu)闊o序狀，內(nèi)能增大，而徐徐冷卻時粒子漸趨有序，在每個溫度都達到平衡態(tài)，最后在常溫時達到基態(tài)，內(nèi)在每個溫度都達到平衡態(tài)，最后在常溫時達到基態(tài)，內(nèi)能減為最小。根據(jù)能減為最小。根據(jù)Metrop

3、olis準(zhǔn)則，粒子在溫度準(zhǔn)則，粒子在溫度T時趨于時趨于平衡的概率為平衡的概率為e-E/(kT)，其中，其中E為溫度為溫度T時的內(nèi)能，時的內(nèi)能，E為為其改變量，其改變量，k為為Boltzmann常數(shù)。用固體退火模擬組合優(yōu)常數(shù)。用固體退火模擬組合優(yōu)化問題，將內(nèi)能化問題，將內(nèi)能E模擬為目標(biāo)函數(shù)值模擬為目標(biāo)函數(shù)值f，溫度，溫度T演化成控制演化成控制參數(shù)參數(shù)t，即得到解組合優(yōu)化問題的模擬退火算法：由初始，即得到解組合優(yōu)化問題的模擬退火算法：由初始解解i和控制參數(shù)初值和控制參數(shù)初值t開始，對當(dāng)前解重復(fù)開始，對當(dāng)前解重復(fù)“產(chǎn)生新解產(chǎn)生新解計計算目標(biāo)函數(shù)差算目標(biāo)函數(shù)差接受或舍棄接受或舍棄”的迭代，并逐步衰減的

4、迭代，并逐步衰減t值，值，算法終止時的當(dāng)前解即為所得近似最優(yōu)解，這是基于蒙算法終止時的當(dāng)前解即為所得近似最優(yōu)解，這是基于蒙特卡羅迭代求解法的一種啟發(fā)式隨機搜索過程。退火過特卡羅迭代求解法的一種啟發(fā)式隨機搜索過程。退火過程由冷卻進度表程由冷卻進度表(Cooling Schedule)控制，包括控制參數(shù)控制，包括控制參數(shù)的初值的初值t及其衰減因子及其衰減因子t、每個、每個t值時的迭代次數(shù)值時的迭代次數(shù)L和停止和停止條件條件S。 2021-11-2542021-11-255模擬退火算法的模型模擬退火算法的模型模擬退火算法可以分解為解空間、目標(biāo)函數(shù)和初始解模擬退火算法可以分解為解空間、目標(biāo)函數(shù)和初始解

5、三部分。三部分。模擬退火的基本思想模擬退火的基本思想:(1) 初始化：初始溫度初始化：初始溫度T(充分大充分大)，初始解狀態(tài)，初始解狀態(tài)S(是算是算法迭代的起點法迭代的起點)， 每個每個T值的迭代次數(shù)值的迭代次數(shù)L(2) 對對k=1，L做第做第(3)至第至第6步：步：(3) 產(chǎn)生新解產(chǎn)生新解S(4) 計算增量計算增量t=C(S)-C(S)，其中，其中C(S)為評價函數(shù)為評價函數(shù)(5) 若若t0，然后轉(zhuǎn)第，然后轉(zhuǎn)第2步。步。2021-11-2562021-11-2572021-11-258模擬退火算法新解的產(chǎn)生和接受可分為如下四模擬退火算法新解的產(chǎn)生和接受可分為如下四個步驟：個步驟： 第一步是由

6、一個產(chǎn)生函數(shù)從當(dāng)前解產(chǎn)生一個位于解空間第一步是由一個產(chǎn)生函數(shù)從當(dāng)前解產(chǎn)生一個位于解空間的新解；為便于后續(xù)的計算和接受，減少算法耗時，通的新解；為便于后續(xù)的計算和接受，減少算法耗時，通常選擇由當(dāng)前新解經(jīng)過簡單地變換即可產(chǎn)生新解的方法，常選擇由當(dāng)前新解經(jīng)過簡單地變換即可產(chǎn)生新解的方法，如對構(gòu)成新解的全部或部分元素進行置換、互換等，注如對構(gòu)成新解的全部或部分元素進行置換、互換等，注意到產(chǎn)生新解的變換方法決定了當(dāng)前新解的鄰域結(jié)構(gòu)，意到產(chǎn)生新解的變換方法決定了當(dāng)前新解的鄰域結(jié)構(gòu)，因而對冷卻進度表的選取有一定的影響。因而對冷卻進度表的選取有一定的影響。 第二步是計算與新解所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)差。因為目標(biāo)函第二

7、步是計算與新解所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)差。因為目標(biāo)函數(shù)差僅由變換部分產(chǎn)生，所以目標(biāo)函數(shù)差的計算最好按數(shù)差僅由變換部分產(chǎn)生，所以目標(biāo)函數(shù)差的計算最好按增量計算。事實表明，對大多數(shù)應(yīng)用而言，這是計算目增量計算。事實表明，對大多數(shù)應(yīng)用而言，這是計算目標(biāo)函數(shù)差的最快方法。標(biāo)函數(shù)差的最快方法。2021-11-259 第三步是判斷新解是否被接受第三步是判斷新解是否被接受,判斷的依據(jù)是一個接受準(zhǔn)判斷的依據(jù)是一個接受準(zhǔn)則，最常用的接受準(zhǔn)則是則，最常用的接受準(zhǔn)則是Metropo1is準(zhǔn)則準(zhǔn)則: 若若t0則接受則接受S作為新的當(dāng)前解作為新的當(dāng)前解S，否則以概率，否則以概率exp(-t/T)接受接受S作為新作為新的當(dāng)前解的

8、當(dāng)前解S。第四步是當(dāng)新解被確定接受時，用新解代替當(dāng)前解，第四步是當(dāng)新解被確定接受時，用新解代替當(dāng)前解，這只需將當(dāng)前解中對應(yīng)于產(chǎn)生新解時的變換部分予以實這只需將當(dāng)前解中對應(yīng)于產(chǎn)生新解時的變換部分予以實現(xiàn)，同時修正目標(biāo)函數(shù)值即可。此時，當(dāng)前解實現(xiàn)了一現(xiàn)，同時修正目標(biāo)函數(shù)值即可。此時，當(dāng)前解實現(xiàn)了一次迭代?？稍诖嘶A(chǔ)上開始下一輪試驗。而當(dāng)新解被判次迭代?？稍诖嘶A(chǔ)上開始下一輪試驗。而當(dāng)新解被判定為舍棄時，則在原當(dāng)前解的基礎(chǔ)上繼續(xù)下一輪試驗。定為舍棄時，則在原當(dāng)前解的基礎(chǔ)上繼續(xù)下一輪試驗。2021-11-2510 模擬退火算法與初始值無關(guān)，算法求得的解與初始解狀模擬退火算法與初始值無關(guān)，算法求得的解與

9、初始解狀態(tài)態(tài)S(是算法迭代的起點是算法迭代的起點)無關(guān)；模擬退火算法具有漸近收無關(guān)；模擬退火算法具有漸近收斂性，已在理論上被證明是一種以概率斂性，已在理論上被證明是一種以概率l 收斂于全局最優(yōu)收斂于全局最優(yōu)解的全局優(yōu)化算法；模擬退火算法具有并行性。解的全局優(yōu)化算法；模擬退火算法具有并行性。2021-11-2511模擬退火算法的簡單應(yīng)用模擬退火算法的簡單應(yīng)用 作為模擬退火算法應(yīng)用，討論貨郎擔(dān)問題作為模擬退火算法應(yīng)用，討論貨郎擔(dān)問題(Travelling Salesman Problem，簡記為，簡記為TSP)：設(shè)有：設(shè)有n個城市，用數(shù)碼個城市，用數(shù)碼1,n代表。城市代表。城市i和城市和城市j之間

10、的距離為之間的距離為d(i，j) i, j=1,nTSP問題是要找遍訪每個域市恰好一次的一條問題是要找遍訪每個域市恰好一次的一條回路，且其路徑總長度為最短回路，且其路徑總長度為最短.。2021-11-2512 解空間：解空間：它為問題的所有可能它為問題的所有可能(可行的或包括不可行的可行的或包括不可行的)解的集合，它限定了初始解選取和新解產(chǎn)生時的解的集合，它限定了初始解選取和新解產(chǎn)生時的范圍。對無約束的優(yōu)化問題，任一可能解范圍。對無約束的優(yōu)化問題，任一可能解(possible solution)即為一可行解即為一可行解(feasible solution)，因此解空間就是所有可行解的集合；而在

11、許多組因此解空間就是所有可行解的集合；而在許多組合優(yōu)化問題中，一個解除滿足目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)的要合優(yōu)化問題中，一個解除滿足目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)的要求外，還必須滿足一組約束求外，還必須滿足一組約束(constraint)，因此在，因此在解集中可能包含一些不可行解解集中可能包含一些不可行解(infeasible so1ution)。為此，可以限定解空間僅為所有可行。為此，可以限定解空間僅為所有可行解的集合，即在構(gòu)造解時就考慮到對解的約束；解的集合，即在構(gòu)造解時就考慮到對解的約束；也可允許解空間包含不可行解，而在目標(biāo)函數(shù)中也可允許解空間包含不可行解，而在目標(biāo)函數(shù)中加上所謂罰函數(shù)加上所謂罰函數(shù)(penalty fu

12、nction)以以“懲罰懲罰”不不可行解的出現(xiàn)。可行解的出現(xiàn)。2021-11-2513 目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)：它是對問題的優(yōu)化目標(biāo)的數(shù)學(xué)描述，通常表它是對問題的優(yōu)化目標(biāo)的數(shù)學(xué)描述，通常表述為若干優(yōu)化目標(biāo)的一個和式。目標(biāo)函數(shù)的選取述為若干優(yōu)化目標(biāo)的一個和式。目標(biāo)函數(shù)的選取必須正確體現(xiàn)對問題的整體優(yōu)化要求。例如，如必須正確體現(xiàn)對問題的整體優(yōu)化要求。例如，如上所述，當(dāng)解空間包含不可行解時，目標(biāo)函數(shù)中上所述，當(dāng)解空間包含不可行解時，目標(biāo)函數(shù)中應(yīng)包含對不可行解的罰函數(shù)項，借此將一個有約應(yīng)包含對不可行解的罰函數(shù)項，借此將一個有約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束的優(yōu)化問題。一般地，束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束的優(yōu)化問題。

13、一般地，目標(biāo)函數(shù)值不一定就是問題的優(yōu)化目標(biāo)值，但其目標(biāo)函數(shù)值不一定就是問題的優(yōu)化目標(biāo)值，但其對應(yīng)關(guān)系應(yīng)是顯明的。此外，目標(biāo)函數(shù)式應(yīng)當(dāng)是對應(yīng)關(guān)系應(yīng)是顯明的。此外，目標(biāo)函數(shù)式應(yīng)當(dāng)是易于計算的，這將有利于在優(yōu)化過程中簡化目標(biāo)易于計算的，這將有利于在優(yōu)化過程中簡化目標(biāo)函數(shù)差的計算以提高算法的效率。函數(shù)差的計算以提高算法的效率。2021-11-2514 初始解：初始解：是算法迭代的起點，試驗表明，模擬退火算是算法迭代的起點，試驗表明，模擬退火算法是魯棒的法是魯棒的(Robust)，即最終解的求得幾乎不依，即最終解的求得幾乎不依賴于初始解的選取。賴于初始解的選取。2021-11-2515 求解求解TSP的

14、模擬退火算法模型可描述如下：的模擬退火算法模型可描述如下：解空間解空間 解空間解空間S是遍訪每個城市恰好一次的所有回路，是遍訪每個城市恰好一次的所有回路，是是1，n的所有循環(huán)排列的集合，的所有循環(huán)排列的集合，S中的成員記為中的成員記為(w1,w2 ,，wn)，并記，并記wn+1= w1。初始解可選為。初始解可選為(1，n)目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 此時的目標(biāo)函數(shù)即為訪問所有城市的路徑此時的目標(biāo)函數(shù)即為訪問所有城市的路徑總長度或稱為代價函數(shù)：總長度或稱為代價函數(shù)： 我們要求此代價函數(shù)的最小值。我們要求此代價函數(shù)的最小值。2021-11-2516 新解的產(chǎn)生新解的產(chǎn)生 隨機產(chǎn)生隨機產(chǎn)生1和和n之間的兩相異

15、數(shù)之間的兩相異數(shù)k和和m，若，若km，則將，則將(w1, w2 ,，wk , wk+1 ,，wm ,，wn)變?yōu)椋鹤優(yōu)椋?wm, wm-1 ,，w1 , wm+1 ,，wk-1 ,wn , wn-1 ,，wk). 上述變換方法可簡單說成是上述變換方法可簡單說成是“逆轉(zhuǎn)中間或者逆轉(zhuǎn)兩端逆轉(zhuǎn)中間或者逆轉(zhuǎn)兩端”。也可以采用其他的變換方法，有些變換有獨特的優(yōu)也可以采用其他的變換方法，有些變換有獨特的優(yōu)越性，有時也將它們交替使用，得到一種更好方法。越性，有時也將它們交替使用，得到一種更好方法。 2021-11-2517 代價函數(shù)差代價函數(shù)差 設(shè)將設(shè)將(w1, w2 ,，wn)變換為變換為(u1, u2

16、,，un), 則代價函數(shù)差為：則代價函數(shù)差為： 2021-11-2518根據(jù)上述分析，可寫出用模擬退火算法求解根據(jù)上述分析，可寫出用模擬退火算法求解TSP問題的偽程序：問題的偽程序：Procedure TSPSA:begin init-of-T; T為初始溫度為初始溫度S=1，n; S為初始值為初始值termination=false;while termination=falsebegin for i=1 to L dobegingenerate(Sform S); 從當(dāng)前回路從當(dāng)前回路S產(chǎn)生新回路產(chǎn)生新回路St:=f(S)-f(S);f(S)為路徑總長為路徑總長IF(tRandom-of-

17、0,1)S=S;IF the-halt-condition-is-TRUE THEN termination=true;End;T_lower;End;End2021-11-25192021-11-25202021-11-2521 模擬退火算法的應(yīng)用很廣泛，可以較高的效率求模擬退火算法的應(yīng)用很廣泛，可以較高的效率求解最大截問題解最大截問題(Max Cut Problem)、0-1背包問題背包問題(Zero One Knapsack Problem)、圖著色問題、圖著色問題(Graph Colouring Problem)、調(diào)度問題、調(diào)度問題(Scheduling Problem)等等。等等。

18、2021-11-25223.5.3 3.5.3 模擬退火算法的參數(shù)控制問題模擬退火算法的參數(shù)控制問題 模擬退火算法的應(yīng)用很廣泛，可以求解模擬退火算法的應(yīng)用很廣泛，可以求解NP完完全問題，但其參數(shù)難以控制，其主要問題有以下全問題，但其參數(shù)難以控制，其主要問題有以下三點：三點：(1) 溫度溫度T的初始值設(shè)置問題。的初始值設(shè)置問題。溫度溫度T的初始值設(shè)置是影響模擬退火算法全的初始值設(shè)置是影響模擬退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始溫度高，則搜局搜索性能的重要因素之一、初始溫度高，則搜索到全局最優(yōu)解的可能性大，但因此要花費大量索到全局最優(yōu)解的可能性大，但因此要花費大量的計算時間；反之，則可節(jié)約計算時間，但全局的計算時間；反之，則可節(jié)約計算時間，但全局搜索性能可能受到影響。實際應(yīng)用過程中，初始搜索性能可能受到影響。實際應(yīng)用過程中，初始溫度一般需要依據(jù)實驗結(jié)果進行若干次調(diào)整。溫度一般需要依據(jù)實驗結(jié)果進行若干次調(diào)整。 2021-11-2523 (2) 退火速度問題。退火速度問題。模擬退火算法的全局搜索性能也與退火速度密切相模擬退火算法的全局搜索性能也與退火速度密切相關(guān)。一般來說，同一溫度下的關(guān)。一般來說，同一溫度下的“充分充分”搜索搜索(退火退火)是