節(jié)矩陣的初等變換

1、1.6 矩陣的初等變矩陣的初等變換換 三種初等變換對(duì)應(yīng)于三種初等矩陣三種初等變換對(duì)應(yīng)于三種初等矩陣.一般地，對(duì)一般地，對(duì)于于 n 階單位矩陣階單位矩陣 E，有，有 交換交換 E 的第的第 i、j 行行(列列) ( i j )，得到的初等，得到的初等矩陣記作矩陣記作 P ( i , j ): 10.1111.01),(jiP)()(行行行行ji)()(列列列列ji 11.0110.11I)()(行行行行ji)()(列列列列ji 用非零常數(shù)用非零常數(shù) k 乘以乘以 E 的第的第 i 行行(列列)，得到的，得到的矩陣記作矩陣記作 P( i(k) ), 1111)(kkiP行行i列列i 將將 E 的第

2、的第 j 行的行的 k 倍加到第倍加到第 i 行行(或或第第 i 列的列的k 倍加到第倍加到第 j 列列) ( i j )，得到的初等矩陣記，得到的初等矩陣記作作P( i，j(k) ), 11.011.11)(,kkjiP)()(行行行行ji)()(列列列列ji可以直接驗(yàn)證，初等矩陣具有以下性質(zhì)：可以直接驗(yàn)證，初等矩陣具有以下性質(zhì)： ),(),(1jiPjiP kiPkiP1)(1)(,()(,(1kjiPkjiP 矩陣的初等變換和初等矩陣有著非常密切的關(guān)系矩陣的初等變換和初等矩陣有著非常密切的關(guān)系.由下面的定理給出由下面的定理給出. 左行右列左行右列BAji行行交交換換第第 ,BAji列列交

3、換第交換第 ,AjiP),( ),(jiAP BAik 行行乘第乘第0BAik 列列乘乘第第0AkiP)( )( kiAP BAikj行行倍倍加加到到第第行行的的第第BAikj列列倍倍加加到到第第列列的的第第AkjiP)(,( )(,(kijAP 設(shè)設(shè) 654321A分別將分別將 A 的第一、二行互換和將的第一、二行互換和將 A 的第一列的第一列的的 2倍加到第二列，求出對(duì)應(yīng)的初等矩陣，倍加到第二列，求出對(duì)應(yīng)的初等矩陣，并用矩陣乘法將這兩種變換表示出來(lái)并用矩陣乘法將這兩種變換表示出來(lái).的乘法的乘法的初等變換轉(zhuǎn)化為矩陣的初等變換轉(zhuǎn)化為矩陣通過(guò)它將矩陣通過(guò)它將矩陣初等矩陣的主要作用是初等矩陣的主要

4、作用是TTPAPCDAPPCCPAPCBAPPCAPCBBAA .,100010011,211,12,3211則則記記列得列得倍加到第倍加到第列的列的的第的第再將再將行得行得行加到第行加到第的第的第將將階矩陣階矩陣為為設(shè)設(shè)例例*.,)2(3BADBACBABBAABAnnA 矩陣矩陣的第一行與第二行得到的第一行與第二行得到交換交換矩陣矩陣的第一列與第二列得到的第一列與第二列得到交換交換矩陣矩陣的第一行與第二行得到的第一行與第二行得到交換交換矩陣矩陣的第一列與第二列得到的第一列與第二列得到交換交換則則矩陣矩陣的第一行與第二行得到的第一行與第二行得到交換交換可逆矩陣可逆矩陣階階為為設(shè)設(shè)例例 OOO

5、Er行行r 列列r 0.0.000.0.000.1.000.0.100.0.01D )()()()(rnrmrrmrnrrOOOI mnmmnnaaaaaaaaaA.212222111211 mnmnnaaaaaaa.0.0.222211211 mnmnaaaa.0.00.012222 mnmnaaaa.0.00.012222D 求下列矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形求下列矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形 153541132)1 523012101)2 OOOEQQAQPPPrts2112 OOOEPAQr 證明證明證明證明A 可逆的充分必要條件是存在可逆的充分必要條件是存在 n 階初等階初等矩陣矩陣P1, P2, , Ps

6、和和 Q1, Q2, , Qt, 使得使得PsP2 P1A Q1Q2Qt= E,而而初等矩陣的逆矩陣仍為初等矩陣，從而有初等矩陣的逆矩陣仍為初等矩陣，從而有A = P1-1P2-1Ps-1E Qt-1Q2-1Q1-1= P1-1P2-1Ps-1Qt-1Q2-1Q1-1 .證畢證畢證畢證畢A A可逆可逆kGGGA.21 階初等矩陣。階初等矩陣。均為均為其中其中nGGGk,.,21kGGGA.211 AGGGAAk.211 1, AEEA初等行變換初等行變換AGGGEk.21 EGGGAk.211 求下列矩陣的逆矩陣求下列矩陣的逆矩陣323513123)25231)A）行初等變換法求逆矩陣的計(jì)算形式，還可行初等變換法求逆矩陣的計(jì)算形式，還可以用于以用于求解形如求解形如AX = B的矩陣方程的矩陣方程. A 為已知的為已知的 n 階可逆矩陣，階可逆矩陣，B 為為已知的已知的 n m 矩陣，矩陣，X 為未知的為未知的 n m 矩陣矩陣. 求解矩陣方程求解矩陣方程 AX = A + 2X , 其中其中 321011324A直接求逆矩陣直接求逆矩陣解法一解法一.9122692683 X行初等變換法行初等