三角形四心問(wèn)題

1、1 七、三角形四心問(wèn)題一、四心的概念介紹（1）重心中線的交點(diǎn)：重心將中線長(zhǎng)度分成2：1；（2）垂心高線的交點(diǎn)：高線與對(duì)應(yīng)邊垂直；（3） 內(nèi)心角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心） ： 角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；（4）外心中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。二、四心與向量的結(jié)合（1）0ocoboao是abc的重心 . 證法 1：設(shè)),(),(),(),(332211yxcyxbyxayxo0ocoboa0)()()(0)()()(321321yyyyyyxxxxxx33321321yyyyxxxxo是abc的重心 . 證法 2：如圖ocoboa02odoaodao2d

2、oa、三點(diǎn)共線，且o分ad為 2：1 o是abc的重心（2）oaococoboboao為abc的垂心 . 證明：如圖所示o 是三角形abc 的垂心， be 垂直 ac ，ad 垂直 bc， d、e 是垂足 . 0)(caobocoaobocoboboaacob同理bcoa，aboco為abc的垂心（3）設(shè)a,b,c是三角形的三條邊長(zhǎng)，o是abc的內(nèi)心ooccobboaa0為abc的內(nèi)心 . 證明：baccab、分別為acab 、方向上的單位向量，baccab平分bac, (aobaccab) ，令cbabcoabcdeoabcde2 cbabcao（baccab) 化簡(jiǎn)得0)(accabboa

3、cba0occobboaa（4）ocoboao為abc的外心。三、例題分析例1：o是平面上一定點(diǎn)，cba、是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足)(acaboaop，,0，則點(diǎn)p的軌跡一定通過(guò)abc的例 2：o是平面上一定點(diǎn)，cba、是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足)(acacababoaop，, 0，則點(diǎn)p的軌跡一定通過(guò)abc的例3：o是平面上一定點(diǎn)，cba、是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)p滿足)co sco s(cacacbababoaop，, 0，則點(diǎn)p的軌跡一定通過(guò)abc的3 四、鞏固練習(xí)1已知abc三個(gè)頂點(diǎn)cba、及平面內(nèi)一點(diǎn)p，滿足0pcpbpa，若實(shí)數(shù)滿足：apacab，則的值為2若abc的外接圓的圓心為o，半徑為1，0ocoboa，則oboa3點(diǎn)o在abc內(nèi)部且滿足022ocoboa，則abc面積與凹四邊形aboc面積之比是4abc的外接圓的圓心為o，若ocoboaoh，則h是abc的5o是平面上一定點(diǎn)，cba、是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，若222obbcoa222abocca，則o是abc的6abc的外接圓的圓心為o， 兩條邊上的高的交點(diǎn)為h，)(ocoboamoh，則實(shí)數(shù) m = 7已知非零向量ab與ac滿足 (ab|ab|+ac|ac|) bc=0 且a