關(guān)于自然數(shù)平方和公式的十種證明方法

1、關(guān)于自然數(shù)平方和公式的十種證明方法潮陽區(qū)谷饒中學(xué)張澤鋒摘要：在數(shù)列的教學(xué)過程中，大家都能夠熟練掌握前n個(gè)自然數(shù)的平方和公式：5/? = 12 +22 +32 + + h2 = -/?(/? +1)7 +1),但涉及到如何進(jìn)行推導(dǎo)證明，很多學(xué)生卻無 6從下手。為了讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握數(shù)學(xué)公式，特收集整理了如下關(guān)于自然數(shù)平方和 公式的十種證明方法，一方面解決學(xué)生的疑惑，另一方面以期學(xué)生能夠舉一反三，并有所 創(chuàng)新。關(guān)鍵詞：自然數(shù)，平方和公式，十種證法，組合數(shù)性質(zhì)，數(shù)學(xué)歸納法方法一：觀察、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于自然數(shù)平方和公式的證明，通過觀察、分析，得出猜想：= 12 + 22 +32 + +

2、/22應(yīng)該是一個(gè)與斤有關(guān)的一個(gè)多項(xiàng)式，不妨設(shè)=a /i3+b /i24-c /7 + z),分別取a+b+c+d=l歸,2,3,4時(shí)，得到:8a + 4b + 2c + £> = 527a + 9b + 3c+£> = 1464a + 16b + 4c+d = 30£> = 0sn = /i3 + h2 + m =丄 n(n + l)(2z? +1)"3266下面利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：證明：(1)當(dāng)"=1時(shí)，左邊=12=1,右邊=-xlx(l + l)x(2xl + l) = l,左邊二右邊 6當(dāng)川=1時(shí)，原式成立.(2)假

3、設(shè)當(dāng) n = k(kw n+)時(shí)，f+ 2?+3?+ + /=丄£伙+ 1)(2£ + 1)成立, 6則當(dāng)n-k + 時(shí)，左邊+ 2+32+ + /+伙+ 1尸 二丄心+ 1)(221) +伙+ 1尸6二伙+1)(丄疋+?比+1)361 9=(p +1)( 2 匕 + 7£ + 6)6二丄伙+ 1)伙+ 2)0+ 3)6二丄伙 + 1)伙 + 1)4-1 2 仗 + 1) + 16左邊=右邊 化當(dāng)n = k +1時(shí)，原式也成立.由(1)、(2)可知，5, = 12 +22 +32 +42 + + /z2 =-/?(/? +1)(2/?+ 1)對(duì)任意 6方法二：觀察

4、規(guī)律法記 s|(m) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + n,(斤)=1 + 2 + 3 + 4 4-5" + + /?*n12345 ns|(h)1361015 如+ 1)2s2(n)15143055 ?發(fā)現(xiàn)規(guī)律n12345 ns2(n) s©)3353739311t 2n+l3c / 、2/7 + 1 . / 、2/2 + 1 n(n + l) /?(/! +1)(2/?+ 1)/. 59 (h) =5 (/?)=-31326接著用數(shù)學(xué)歸納法很容易證明等式的正確性(同方法一)，這樣就輕而易舉地推出了前個(gè) 自然數(shù)的平方和公式。這個(gè)妙不可言的推導(dǎo)過程是數(shù)學(xué)家波利亞的

5、杰作，關(guān)鍵之處是他運(yùn)用了“猜想一證明的思路。方法三：恒等式法這種方法借助于這個(gè)恒等式：(£ + 1)3-疋三3/+3r + 1,分別將2, 2, 3, -n-1, n代入這個(gè)恒等式中的k,就得到一系列式子:23-13 =3xl2+3xl + l33 -23 =3x2?+3x2 + l43 -33 =3x32+3x3 + 1/?3 _(/? 1尸=3(一i)? +3_1) + 1(77 +1)3 -n3, = 3n2 +3/7 + 1將所得到的斤個(gè)等式的左右兩邊分別相加，可得到5 + 1)3 _卩=3(1? +2? + 3? + + 川2)+ 3(1 + 2 + 3 + + 斤)+ 川

6、即 h3+3h2+3/23(l2 + 22 4-32 +»- + /z2) + 3-n(1n)4-/i加以整理，易得1? + 2? + 3? + ,二丄+1)(2 +1)6方法四：巧用“1”法皿+ 1) = 15 + 1)冷葉2)-葉1)皿+ 1)冷皿+ 1如2)十-1)巾+ 1) an = ix2 + 2x3 + 3x4 + nx( + 1)=lx2x3 0x1x2 +丄2x3x4 1x2x3 +丄3x4x5 2x3x4 +333 + 1 nn + l)(n + 2) - (- 1)t?(h +1)= -1x2x3-0x1x2 + 2x3x4-1x2x34-3x4x5-2x3x4

7、+ n(n +1)(/1 + 2)-(h-+ 1) =-n(n +1)(/? + 2)-0x1x2 = nn +1)(/7 + 2)p +2 +3? + + =1x2 + 2x3 + 3x4 + z7x( + 1) (1 + 2 + 3 + + m)=-nn +1)( + 2)- "" + d = /?(/? +1)(2/? +1)326方法五：組合數(shù)性質(zhì)法（利用組合數(shù)公式c： +c：j = c；：,）v n矩形的寬即“，矩形的長(zhǎng)：1 + 2 + 3 +斤="（刃+ »=匚乜2 2 = n(n +1) - n = 2c+1 - ci? +2?+32 +

8、+ /?= (2c；c：) + (2cfc；) + (2cfc；) +(2cc：) =2(c； +c； + cj + c；) - (c； + c； + c； + c：)=2(c；+u+u+c：+j-(c；+c；+©+©)= 2(c：+cj+c：+j-(c( + c；+c：)-c2 n+矩形面積:2n +nn2= 2-(/? + 2)( + 1)/2(/? + 1)h3x2x12x1 =n(n + l)(2n + l)6此種證法是一次公開課中，由李愛廷老師提出的一種證法。此種證法很簡(jiǎn)潔，關(guān)鍵在于對(duì) 進(jìn)行了適當(dāng)?shù)姆纸猓瑥亩鴳?yīng)用組合數(shù)性質(zhì)，對(duì)公式進(jìn)行了證明。方法六：面積法1234

9、5圖中有門個(gè)正方形（邊長(zhǎng)每次加1）（我只畫出5個(gè)），都置于圖中最大的矩形中。左下部空余部分（矩形與全部正方形的差）可以分為ml條，每條寬度均為1。從上向下數(shù)第條長(zhǎng)度=1+2+3+*響=£則第i條面積也為i2+i所有條的總面積:12為便于書寫，設(shè)t = l2 + 22 +32 +- + n2顯然，大矩形面積二全部正方形面積+空余部分面積，則2n +3 .2tn + n7=t +2 29rr + n + 122 +2 32 +311 2 2 212 + 22+32+ + (斤一1)2 + 1 + 2 + 3 + + (一1)2(12+22+32+ + 2)一/?2+ + 2 + 3 +

10、. + 5一1)2(12 +22 +32 +. +刊 “2+巴匸1222(12 + 22 +32 +-« + 7?2)-21un -4 3av* v*n *43 2心v*s么二：y 321此三角數(shù)陣中各項(xiàng)和為:12 + 22 +32 +42 +- + /72將這3個(gè)三角數(shù)陣對(duì)應(yīng)相加，得：2 + 12/? + 1 2n +12 + 12/2 + 12/i +12h + 1 2zi + 12/1 + 1 2n +12n + l2/? + l這個(gè)三角數(shù)陣有巴凹項(xiàng)，則這三個(gè)三角數(shù)陣的和為："（"+ 1）（2" + 1）2 2/2(h +1)(271 + 1)6又

11、因?yàn)榍叭齻€(gè)三角數(shù)陣中各項(xiàng)的和相等，則每個(gè)三角數(shù)陣中各項(xiàng)和為："g + g + d即 12 +22 +32 +42 +-« + /z2方法八：正方形數(shù)陣法上述正方形數(shù)陣中的直線上面的數(shù)字之和等于12+22 + 3? + + , 即 i2 +22 +32 + + /?=/?(1+ 2 + 34- + h)-1 + (1+ 2) + (1 + 2 + 3)+ !+ 2 + 3 + + (/?-!)/?n(n + l)<1222 -232 -3比)+ +2 2 2(i2 +2, +3? + 2)+ 一(1 + 2+ 3+ + )2 2 2評(píng)+22+32+. + 刊=w3 +

12、n21 /?(1 + ,?)122 2冷（2宀3宀“）即 i2 +22 +32 + + /? =-(2n3 +3n2 + n) = -n(n + l)(2n +1) 6 6方法九：圖表法圖1-a是一個(gè)分為nxn個(gè)小方格的表，每一行的小方格里均依序?qū)懮蠌?到n這n個(gè)自然數(shù)。很明顯，表中所有數(shù)字總和為:川(1 + 2 + 3 + n)=irffl圖if.341 12 |3441 2 |34cm再用剪刀把這個(gè)表如圖lb那樣從小到大地剪成幾塊，那么，第k塊的數(shù)字和為:1 + 2 + 3 + £ + £x /r個(gè)2 2也就是說，每一塊的數(shù)字和分別為:-x12 -1x1 ,2 23 &

13、amp; 1 c-x2-x2 ,22-x32 -丄x3 ,223 2171n2 2它們的總和等于(i2 + 22 + 32 +-(1 + 2 + 3 + + /:) = -(12 + 22 + 32 + + 川)_ ns + d2224這個(gè)又應(yīng)等于表中所有數(shù)字的總和，即丄(12+22+羅+心一空凹=也也242經(jīng)整理，易t#l2 +22 +32 +- + 滬=丄川 + 1)(2 + 1)6方法十：堆垛法 我們先用5 +1)2塊邊長(zhǎng)為1的立方體排成一個(gè)邊長(zhǎng)為n +1的正方垛，在它的上面，再用n2塊立方體排成邊長(zhǎng)為的正方垛，以后向上逐層每邊減少一塊，也都排成正方垛，到最上 面一層只有一塊立方體為止，

14、一共排了斤+ 1層，如圖2a所示，這+ 1層立方體的總數(shù)是:12 + 22 +32 + + 7r+（/t + l）2現(xiàn)在我們?cè)趫D2-a的最上面一層添上22-12 =3塊立方體，就使得最上面兩層都成為邊長(zhǎng)為2的正方垛（如圖2b）接著，我們?cè)僭谧钌厦鎯蓪痈魈砩?2-2? =5塊立方體，就使得最上面三層都成為邊長(zhǎng)為3的正方垛（如圖2c）隨后，在最上面三層各添上軍-32 =7塊立方體如此繼續(xù)下去，直到在層上面各添上+ 1）22 =2/? + 1塊立方體為止，就得到一個(gè)每邊長(zhǎng)斤+ 1的正方體（如圖2d）這時(shí)，大正方體中所含的小立方體的塊數(shù)為（n + 1）3.圖2d在整個(gè)過程中，添加的小立方體塊數(shù)為ix3

15、 + 2x5 + 3x7 + n(2/? +1)=1x(2x1 + 1) + 2x(2x2 + 1) + 3x(2x3 + 1) + + /7(2a? + 1)=2(12+22 +3?+ + /?)+(1 + 2 + 3 + + ) 因此有12 + 22 + 32 + + n2 +(h + 1)2+2(12 + 22 +32 + + n2) + (l + 2 + 3 + - + 7?) = (/? + l)3即 3(12+22 +3?+ + ")= a + l)3 ( + 1)2 "(" + d 化簡(jiǎn)即得 12+22 +3? + + n2 =-n(n + l)(2n + l).6堆垛求和法是我國(guó)北宋科學(xué)家沈括創(chuàng)立的一種獨(dú)特的方法它是通過巧妙的幾何代數(shù)變換 來研究數(shù)列求和問題的這種方法在級(jí)數(shù)理論的發(fā)展史上有十分重要的地位，并產(chǎn)生了深遠(yuǎn) 的影響.【參考文獻(xiàn)】朱月祥自然數(shù)平方和公式的推導(dǎo)方法j中學(xué)生數(shù)學(xué)(高中版)，2014,11(501)2杜春輝導(dǎo)出12 +22 +32 +42 + + h2公式的三種方法j 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2009,11 (80)3查道慶.組合數(shù)公