空間解析幾何第四講--平面及其方程

1、朱立永朱立永北京航空航天大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院答疑時間：星期二下午19:0020:30 (收發(fā)作業(yè)） 星期四下午19:0020:30 答疑地點：J4-105公共郵箱：linear_密 碼：beihang20151 向量及其線性運算2 向量的內(nèi)積、外積、混合積3 曲面及其方程4 空間曲線及其方程5 平面及其方程 解析幾何的主要內(nèi)容解析幾何的主要內(nèi)容6 空間直線方程 前面內(nèi)容小結(jié)前面內(nèi)容小結(jié)設(shè)1. 向量運算加減:數(shù)乘:點積(數(shù)量):),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積(向量):k

2、jixayazaxbybzbba混合積:2. 向量關(guān)系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba0ba第五節(jié)一、平面的點法式方程平面的點法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角平面及其方程 zyxo0Mn一、平面的點法式方程一、平面的點法式方程),(0000zyxM設(shè)一平面通過已知點且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM稱式為平面的點法式方程點法式方程,求該平面的方程.,),(zyxM任取點),(000

3、zzyyxx法向量.量, ),(CBAn nMM000nMMMM0則有 故的為平面稱n*kji例例1 1 求過三點,1M又) 1,9,14(0)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解: 取該平面 的法向量為),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程. 利用點法式得平面 的方程346231nn3121MMMM此平面的三點式方程三點式方程也可寫成 0132643412zyx0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx一般情況一般情況 : 過三點)3,2, 1(),(kzyxMkkkk的平面方程為說明說明:*特別特

4、別, ,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點分別為此式稱為平面的截距式方程截距式方程. *), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax時,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程為 PozyxRQ分析:利用三點式 按第一行展開得 即0ax yzab0a0c用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx將三點坐標(biāo)代入得將三點坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解設(shè)平面為設(shè)平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面與已知平面平

5、行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要條件）（向量平行的充要條件）解解,61161cba 化簡得化簡得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入體積式代入體積式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程為所求平面方程為二、平面的一般方程二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx則0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA顯然方程與此點法式方程等價, )0(222CBA

6、*),(CBAn 的平面, 因此方程的圖形是法向量為 方程方程.特殊情形特殊情形* 當(dāng) D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示 通過原點通過原點的平面; 當(dāng) A = 0 時, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,), 0(iCBn

7、例例4 求通過 x 軸和點( 4, 3, 1) 的平面方程.解解: 因平面通過 x 軸 ,0 DA故設(shè)所求平面方程為0zCyB代入已知點) 1,3,4(得BC3化簡,得所求平面方程03 zy三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角設(shè)平面1的法向量為 平面2的法向量為則兩平面夾角 的余弦為 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn *2平面的位置關(guān)系：平面的位置關(guān)系：*21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),

8、(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n例例5 5 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos )2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行但不重合兩平面

9、平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合. .因此有例例6 一平面通過兩點垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .解解: 設(shè)所求平面的法向量為,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC約去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和則所求平面故, ),(CBAn方程為 n21MMn且,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法

10、向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx由平面過原點知由平面過原點知, 0 D0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解外一點,求),(0000zyxP0DzCyBxA例例9 設(shè)222101010)()()(CBAzzCyyBxxA222000CBADzCyBxAd0111DzCyBxA解解: :設(shè)平面法向量為),(1111zyxP在平面上取一點是平面到平面的距離d .0P,則P0

11、到平面的距離為01PrjPPdnnnPP010P1Pnd, ),(CBAn (點到平面的距離公式)空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影M 已知向量已知向量 r, ,OMr 的終點的終點 M在軸在軸u上的投影為上的投影為M , ,那那么向量么向量 M O 稱為向量稱為向量 r 在軸在軸u上的上的分向量分向量.設(shè)設(shè) eOM , ,則數(shù)則數(shù) 稱為向量稱為向量 r在軸在軸u上的投影上的投影, ,記作記作rjuPr 或或ur)(. . uoMe即即三條坐標(biāo)軸上的投影，三條坐標(biāo)軸上的投影，在在就是就是、中的坐標(biāo)中的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系在直角坐標(biāo)系向量向量aaaaOxyzazyxajaajaajazzyyxxPr,Pr,Pr 或記作.)(,)(,)(zzyyxxaaaaaa 向量的投影性質(zhì)：.(*),cos|Pr(cos|)()1(軸的夾角軸的夾角與與為向量為向量其中其中即即uaaajaauu (2) ()( ) (Pr()PrPr).uuuuuaaj abj aj b即內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.平面平面基本方程:一般式點法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點式0131313121212111zzyyxxzz