23209逆向思維在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、    23209逆向思維在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用    熊和平摘要：根據(jù)思維的指向性，思維可以分為常規(guī)思維（順向思維）和逆向思維（反向思維）。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練，可以提高學(xué)生的思維品質(zhì)。逆向思維的運(yùn)用，常?？梢詣?chuàng)造性的解決問題。關(guān)鍵詞：逆向思維，數(shù)學(xué)，難題abstract: according to thinking ways, thinking can be divided into conventional thinking (toward thinking) and reverse thinking (reverse thinking).

2、 in mathematics teaching, strengthening the training of the reverse thinking can improve the students' thinking ability. the use of reverse thinking can often be creative in solving problem.key words: reverse thinking, maths, problems根據(jù)思維的指向性，思維可以分為常規(guī)思維（順向思維）和逆向思維（反向思維）。我們通常采用從已知到結(jié)論的順向思維方式，然而有些數(shù)

3、學(xué)問題若按順向思維解題會(huì)比較困難，有的甚至無法解決。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)逆向思維的訓(xùn)練，可以提高學(xué)生的思維品質(zhì)。逆向思維的運(yùn)用，常?？梢詣?chuàng)造性的解決問題。下面分幾種情形舉例加以探討。逆用法則、公式、公理、定理例1.已知xm=4,xn=3,求x3m-2n的值。該題將同底數(shù)冪除法法則逆用后得到x3m-x2n=x3m÷x2n=xm3÷xn2,再代入數(shù)值計(jì)算，得4。例2.計(jì)算（1- ）（1-）（1-）（1-）（1-）分析：直接計(jì)算很難，如逆用平方差公式就可化難為簡。解：原式=(1-)(1+)(1-)(1+)(1-)(1+)(1-)(1+)(1-)(1+)=××&#

4、215;××××××=×=例3.試判斷邊長為5、12、13的三角形是什么三角形？解：因?yàn)?52 + 122 = 132，由勾股定理的逆定理可知此三角形為直角三角形。（注：從原定理到逆定理的轉(zhuǎn)換正是逆向思維能力的體現(xiàn)。但并不是所有的定理都有逆定理。因此，探求定理的逆定理的存在性，不僅能使學(xué)到的知識(shí)更加完備，而且能激發(fā)探索新知識(shí)的興趣。例如利用勾股定理逆定理、等腰三角形“三線合一”性質(zhì)逆命題、三垂線定理逆定理、韋達(dá)定理逆定理、根的判別式的逆定理等來解題，都可以使問題變得更加清楚）。二、從問題的反面求解例4.若三個(gè)方程x2+4ax

5、-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求a的取值范圍。分析：若從正面解題，將要對(duì)多中情形進(jìn)行討論，問題很復(fù)雜。但如果考慮它的反面，再從全體實(shí)數(shù)中排除反面求得的結(jié)果就可得到本題答案。解：若三個(gè)方程均無解，則有：16a2-4(-4a+3)0且(a-1)2-4a20且4a2+8a0，解得-1.5a-1. 所以當(dāng)a-1.5或a-1時(shí)，三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根。逆用常規(guī)解題規(guī)律例5.分解因式x4+x2+2ax+1-a2分析：按常規(guī)思路，是以x為主元，則原式分解難度較大，反過來，若以a為主元，則原式可看成關(guān)于a的二次三項(xiàng)式。原式=-(a2-2a

6、x- x4-x2-1)=-(a2-2ax+x2)-（x4+2x2+1）=-(a-x)2-（x2+1）2=-（a-x+x2+1）(a-x-x2-1)=(x2+x-a+1)(x2-x+a+1)例6.化簡分析：按常規(guī)解法是進(jìn)行分母有理化，然而運(yùn)算比較繁?，F(xiàn)在反過來，將分子分母交換位置試一試。解：設(shè)x=,=+=x=四. 逆向思維在基本數(shù)學(xué)方法中的應(yīng)用基本數(shù)學(xué)方法是解決數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)和前提。而對(duì)其中的幾個(gè)重要方法分析法、反證法、待定系數(shù)法等，一般也都是通過逆向思維體現(xiàn)出來的。謀7.已知y=y1+y2,y1與x成正比例，y2于x成反比例，并且x=1時(shí)，y=4,x=2時(shí),y=5。求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。解：依題意，設(shè)y1=k1x,y2=,則y=y1+y2= k1x+。由已知條件可列方程組，解得k1=2,k2=2.因此，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+對(duì)于初中學(xué)生來說，他們都不太習(xí)慣反過來思考，即不善于運(yùn)用逆向思維。因此在教