2022年軸對稱圖形典型例題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載軸對稱圖形精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載軸對稱圖形典型例題例 1 如下圖，已知，pbab， pcac，且 pbpc，d 是 ap 上一點求證： bdp cdp證明：pbab，pcac，且 pbpc，p ab pac（到角兩邊距離相等的點在這個角平分線上），apb pab90， apc pac90，apb apc，在 pdb 和 pdc 中，pd pdapcapbpcpb.，pdb pdc（sas） ，bdp cdp（圖形具有明顯的軸對稱性，可以通

2、過利用軸對稱的性質(zhì)而不用三角形的全等）注利用角平分線定理的逆定理，可以通過距離相等直接得到角相等，而不用再證明兩個三角形全等例 2 已知如下圖（ 1） ，在四邊形abcd 中， bcba，adcd，bd 平分 abc求證：a c180（1）證法一：過d 作 de ab 交 ba 的延長線于e，df bc 于 f，bd 平分 abc，dedf ，在 rtead 和 rtfcd 中，.dfdedcad，（角平分線是常見的對稱軸，因此可以用軸對稱的性質(zhì)或全等三角形的性質(zhì)來證明）rteadrtfcd （hl） ，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

3、 2 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載c ead，ead bad180，a c180證法二：如下圖（2） ，在 bc 上截取 beab，連結(jié) de ，證明 abd ebd 可得（2）證法三：如下圖（3） ，延長 ba 到 e，使 bebc，連結(jié) ed，以下同證法二（3）注本題考察一個角平分線上的任意一點到角的兩邊距離相等的定理來證明線段相等，關(guān)鍵是掌握遇到角的平分線的輔助線的不同的添加方法例 3 已知，如下圖，ad 為 abc 的中線，且de 平分 bda 交 ab 于 e，df 平分 adc交 ac 于 f求證： becfef證法一：在da 截取 dndb

4、，連結(jié) ne、nf ，則 dndc，在 bde 和 nde 中，.dedendebdendbd，（遇到角平分線可以考慮利用軸對稱的性質(zhì)或全等三角形的性質(zhì)來解題）bde nde（sas） ，bene（全等三角形對應(yīng)邊相等），同理可證：cfnf，在 efn 中， enfn ef（三角形兩邊之和大于第三邊），becfef精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載證法二：延長ed 至 m，使 dm ed，連結(jié) cm、mf ，在 bde 和 cdm 中，.dmdecdmbdecdbd

5、，（從另一個角度作輔助線）bde nde（sas） ，cmbe（全等三角形對應(yīng)邊相等），又bde=ade， adf cdf ，而 bde ade adf cdf 180，ade+adf 90，即 edf 90，fdm edf90，在 edf 和 mdf 中，.dfdfmdfedfmded，edf mdf （sas） ，efmf （全等三角形對應(yīng)邊相等），在 cmf 中，cfcm ef，becf ef注本題綜合考察角平分線、中線的意義，關(guān)鍵是如何使題中的分散的條件集中例 4 已知，如下圖， p、q 是 abc 邊 bc 上的兩點，且bppqqcapaq求：bac 的度數(shù)解：appqaq（已知），

6、精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載apq aqp paq60（等邊三角形三個角都是60） ，apbp（已知）， （注意觀察圖形和條件）pba pab（等邊對等角） ，apq pba pab60（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角和），pba pab30，同理 qac 30，bac bap paq qac30 60 30 120注本題考察等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握求角的步驟：（1）利用等邊對等角得到相等的角； （2）利用三角形的一個外角等于和它不相

7、鄰的兩個內(nèi)角和得各角之間的關(guān)系； （3）利用三角形內(nèi)角和定理列方程例 5 已知，如下圖，在abc 中， abac，e 是 ab 的中點，以點e 為圓心， eb 為半徑畫弧，交 bc 于點 d，連結(jié) ed，并延長 ed 到點 f，使 df de，連結(jié) fc求證： f a證明：abac，b acb（等邊對等角） ，ebed，b edb，acb edb（等量代換） ，edac（同位角相等，兩直線平行），在 bde 和 aed 中， beae=ed ，連結(jié) ad 可得， ead eda， ebd edb，eda edb90，即 adbc，eda edb 90，即 adbc，（用什么定理判定三角形全等的

8、？）d 為 bc 的中點，bde cdf ，bed f，而 bed a，f a例 6 已知，如下圖，abc 中， abac， e 在 ca 的延長線上，aef afe求證： efbc證法一：作bc 邊上的高ad， d 為垂足，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載abac，adbc，bad cad（等腰三角形三線合一），又bac e afe， aef afe，cad e，adef，adbc，efbc證法二：過a 作 agef 于 g，aef afe，agag， age

9、agf 90，age agf（asa ） ，abac，b c，又 eaf b c， （請對比多種證法的優(yōu)劣）eag gaf b c，eag c，agbc，agef，efbc證法三：過e 作 ehbc 交 ba 的延長線于h，abac，b c，h b c aeh，aef afe， h afe feh180，h aeh aef afe180，aef aeh 90，即 feh 90，efeh，又 eh bc，efbc證法四：延長ef 交 bc 于 k，abac，b c，b21（180 bac） ，aef afe，afe21（180 eaf） ，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - -

10、- - - - - - - - 第 6 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載bfk afe，bfk21（ 180 eaf） ，b bfk21（ 180 bac）21（180 eaf） 21 360 （eaf bac） ，eaf bac180 ，b bfk90 ，即fkb90 ，efbc注本題考察等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過添加輔助線，建立ef 與 bc 的聯(lián)系，仔細(xì)體會以上各種不同的添加輔助線的方法例 7 如下圖， ab ac，dbdc， p 是 ad 上一點求證： abp acp證明：連結(jié)bc，abac（已知），abc acb（等邊對等角） ，又點

11、a、d 在線段 bc 的垂直平分線上（與線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上），而兩點確定一條直線，ad 就是線段bc 的垂直平分線，pbpc（線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等），pbc pcb（等邊對等角） ， （線段垂直平分線的性質(zhì)）abcpbc acb pcb（等式性質(zhì)） ，即 abp acp注本題若用三角形全等，至少需要證兩次，現(xiàn)用線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，就顯得比較簡潔例 8 如下圖， ab ac，de 垂直平分ab 交 ab 于 d，交 ac 于 e，若 abc 的周長為28，bc8，求 bce 的周長精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - -

12、- - - - - - - - - 第 7 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載解：等腰 abc 的周長 28， bc8，2acbc28，ac10，（理由是什么？）de 垂直平分ab，aebe，bce 的周長 beecbcaeec bcacbc 10818注本題考察線段垂直平分線的性質(zhì)定理的運用，關(guān)鍵是運用線段垂直平分線的性質(zhì)得到線段的等量關(guān)系例 9 已知，如下圖，abc 中， abac， bac120， ef 為 ab 的垂直平分線，ef交 bc 于 f，交 ab 于 e，求證：fcbf21證法一：連結(jié)af，則 afbf，b fab（等邊對等角） ，abac，

13、b c（等邊對等角） ，bac120，b c302180bac（三角形內(nèi)角和定理） ，fab30，fac bac fab 120 30 90，又c30， （線段的垂直平分線是常見的對稱軸之一）fcaf21（直角三角形中30角所對的直角邊等于斜邊的一半），fcbf21精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載證法二：連結(jié)af，過 a 作 ag ef 交 fc 于 g，ef 為 ab 的垂直平分線，afbf，又b30，afg60，bag90，agb60， afg 為等邊三角形，

14、又c30，gac30，aggc， （構(gòu)造等邊三角形是證明線段相等的一種好方法）bffggcfc21例 10 已知，如下圖，abbc，cdbc， amb75， dmc45， am md求證： abbc思路分析從結(jié)論分析，要證abbc，可連結(jié) ac，使 bc 與 ab 能落在一個三角形內(nèi)，再看bac 與bca 能否相等？證明：連結(jié)ac，交 dm 于 h，amb75， dmc 45（已知）， amd60（平角定義）又ammd，amd 為等邊三角形（有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形），amad（等邊三角形三邊相等），cdbc，dcm 90，dmc45，mdc 45（三角形內(nèi)角和定理），cdcm（

15、等角對等邊） ，ac 是 dm 的垂直平分線（和線段兩端點等距離的點，在線段的垂直平分線上），mhc90，hcm 45，b 90，bac45，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載abbc（等角對等邊） 【典型熱點考題】例 1 如圖 7 15，等腰 abc的對稱軸與底邊bc相交于點d，請回答下列問題：(1)ad 是哪個角的平分線；(2)ad 是哪條線段的垂直平分線；(3) 有哪幾條相等的邊；(4) 有哪幾對相等的角點悟：本題主要考查等腰三角形的所有特征所以應(yīng)該根據(jù)等腰三

16、角形是軸對稱圖形的性質(zhì)來解答問題解：等腰三角形是軸對稱圖形，直線ad是它的對稱軸(1)ad 是頂角bac的平分線(2)ad 是線段 bc的垂直平分線(3)ab ac ， bd dc (4) bad cad ， abc acb ， adb adc 例 2 如圖 7 16，已知 pb ab ，pc ac ，且 pb pc ，d是 ap上一點求證： bdp cdp 點悟： 利用三角形全等證明兩個角相等最直觀，但因為圖形具有明顯的軸對稱性，可以通過利用軸對稱的性質(zhì)而不用三角形全等同樣可以，證明： pb ab，pc ac ，且 pb pc ， pab pac(到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上) a

17、pb pab 90 ，apc pac 90 ， apb apc 在 pdb和 pdc中，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載pdpdapcapbpcpb pdb pdc(sas) bdp cdp 例 3 如圖 7 17，先找出下列各圖形中的軸對稱圖形，再畫出它們的對稱軸( 有幾條，畫幾條) 點悟：先確定是否是軸對稱圖形，如果是軸對稱圖形，就將它們的對稱軸全部畫出來解： (1) 是，它有3 條對稱軸(2) 是，它有2 條對稱軸(3) 是，它有2 條對稱軸(4) 是，它

18、只有一條對稱軸(5) 它不是軸對稱圖形，故沒有對稱軸(6) 它是軸對稱圖形，有一條對稱軸圖均略例 4 如圖 7 18， abc中， ab ac ，d在 bc上，且 bd ad ，dc ac ，將圖中的等腰三角形全部寫出來，并求出b的度數(shù)點悟：圖中共有三個等腰三角形，要將它們一一寫出來，不能遺漏在計算b 的度數(shù)時，要充分利用三角形的一個外角等于它的兩個不相鄰的兩個內(nèi)角的和解：圖中共有三個等腰三角形，它們分別是： abc ， abd ， cad 設(shè) bx，則cx bad ， adc dac 2x b cbac b cbad dac xxx 2x5x180365180 xb例 5 如圖 7 19，在

19、金水河的同一側(cè)居住兩個村莊a、 b要從河邊同一點修兩條水渠到a、精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載b兩村澆灌蔬菜，問抽水站應(yīng)修在金水河mn何處兩條水渠最短? 點悟： 先將具體問題抽象成數(shù)學(xué)模型河流為直線mn ，在直線 mn的同一側(cè)有a 、b兩點 在直線 mn上找一點p，使 p點到 a、b兩點的距離之和為最小這里就要充分運用軸對稱圖形的性質(zhì)加以解決解：如圖7 19 所示作b點關(guān)于直線mn的對稱點b ，連結(jié) ab ，與 mn相交于 p，則 p點即為所求事實上，如果不是

20、p點而是p點時，則連結(jié)bp、pa和bp由軸對稱性知道，bppbbpbp,，所以p到 a、b的距離之和，bppabppa，而 p到 a、b的距離之和babpappbap在pba中，三角形兩邊之和大于第三邊，babppa所以 p點即為所求的點例 6 如圖 7 20，已知， ad為 abc的中線，且de平分bda交 ab于 e，df平分adc交 ac于 f求證： be cfef點悟：遇到角平分線就可以考慮利用軸對稱的性質(zhì)或全等三角形的性質(zhì)來解決問題證法一：在da上截取 dn db 連結(jié) ne 、nf則 dn dc 在 bde和 nde中，,dedendebdendbd bde nde 精品學(xué)習(xí)資料

21、可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載 be ne同理可得， cfnf在 efn中， enfnef(三角形兩邊之和大于第三邊) be cfef證法二：如圖7 21，延長 de至 m ，使 dm ed ，連結(jié) cm 、mf 在 bde和 cdm 中，,dmdecdmbdecdbd bde cdm(sas) cmbe(全等三角形對應(yīng)邊相等) 又 bde ade ，adf cdf ，而 bde ade adf cdf 180 ade adf 90 ，即edf 90 fdm edf 90 在