8.4《直線與圓的位置關系》教案

1、第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關系備考方向要明了 考什么怎么考1 .能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓 的位置關系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判 斷兩圓的位置關系.2 .能用直線和圓的方程解決一些簡單的問 題.3 .初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思 想.1 .直線與圓的位置關系的判斷、兩圓位置關系的判斷是高考的?？純热?， 主要以選擇題或填空題形式考查，難度較為簡單，如 2012年重慶T3,陜西T4等.2 .由直線與圓的方程求弦長或求參數(shù)是高考熱點之一，多以選擇題或填空題形式考查，如2012年天津T8等.歸納知識整合1 .直線與圓的位置關系設直線 l: Ax+By+C = 0（A2+B2w0）,圓

2、：（xa）2+（yb）2=r2（r>o）,設d為圓心（a, b）到直線1的距離，聯(lián)立直線和圓的方 程，消元后得到的一元二次方程的判別式為A方法位置關系幾何法代數(shù)法相交d<r60相切d= rA= 0相離d>rA<0探究1.在求過一定點的圓的切線方程時，應注意什么？提示：應首先判斷定點與圓的位置關系，若點在圓上，則該點為切點，切線只有一條; 若點在圓外，切線應有兩條；若點在圓內，則切線不存在.2 .圓與圓的位置關系設圓 Oi: (x ai)2+(y bi)2=r2(ri>0), 圓 O2： (x a2)2+(yb2)2= r2(r2>0).方法位置關系幾何法：圓

3、心距d與1,2 的關系代數(shù)法：兩.圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況相離d>r1+12無解相外切d=1+ r2一組實數(shù)解相交|11一 r0<d<11+ r_2兩組不同的實數(shù)解相內切d= |門一( w 22)一組實數(shù)解內含0w d一舊”產無解探究2.若兩圓相交時，公共弦所在直線方程與兩圓的方程有何關系？提示：兩圓的方程作差，消去二次項得到關于x, y的二元一次方程，就是公共弦所在的直線方程.自測牛刀小試1 .直線l： mx y+1 m=0與圓C： x2+（y1）2= 5的位置關系是（）A.相交B.相切C.相離D.不確定解析：選A 法一：圓心（0,1）到直線的距離d=-mmL<

4、1< 5.法二：直線mx-y+1- m= 0過定點（1,1）,又因為點（1,1）在圓x2+（y1）2= 5的內部,所以直線l與圓C是相交的.2 . （2012山東高考）圓（x+2）2+y2=4與圓（x 2）2 + （丫1）2=9的位置關系為（）A.內切B.相交C.外切D.相離解析：選B 兩圓的圓心距離為 #7,兩圓的半徑之差為 1,之和為5,而1折5,所以兩圓相交.3 .已知 p： "a=42”，q： “直線 x+ y=0與圓 x2+（ya）2=1 相切"，則 p是 q 的（）A .充分不必要條件B .必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：選A a=

5、J2,則直線x+ y=0與圓x2+（ya）2= 1相切，反之，則有 a=02.因此p是q的充分不必要條件.4.已知圓x2+y2=4與圓x2+y26x+6y+14=0關于直線l對稱，則直線l的方程是A. x-2y+ 1 = 0B. 2x-y- 1 = 0D. x-y-3=0C. x y+3=033 .解析：選D 法一：圓心O(0,0), C(3, 3)的中點P 2，-在直線l上，故可排除A、B、C.法二：兩圓方程相減得，6x 6y18=0,即x y3=0.5. (2012重慶高考)設A, B為直線y=x與圓x2+y2=1的兩個交點，則|AB|=()A. 1B.72C.>/3D, 2解析：選

6、D 因為直線y = x過圓x2 + y2=1的圓心(0,0),所以所得弦長|AB|=2.*-1直線與圓、圓與圓的位置關系例1 (1)(2012安徽高考)若直線x-y+1=0與圓(xa)2+y2=2有公共點，則實數(shù) a 的取值范圍是()A. -3, - 1B. -1,3C. -3,1D.(巴3 U 1 , +8)(2)(2012江蘇高考)在平面直角坐標系 xOy中，圓C的方程為x2+y2-8x+ 15=0,若直 線y=kx2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓 C有公共點，則k的最大值是.自主解答(1)因為直線xy+1 = 0與圓(x a)2 + y2=2有公共點，所以圓心到直線的

7、 距離 d= a-0? 1|<r = J2,可得 |a+ 1|W2,即 aC 3,1. 2(2)圓C方程可化為(x-4)2+y2= 1,圓心坐標為(4,0),半徑為1,由題意，直線 y= kx 2上至少存在一點(%, kxO2),以該點為圓心，1為半徑的圓與圓 C有公共點，因為兩個 圓有公共點，故 V x- 4 2+ kx- 2 2 <2,整理得(k2+1)x2(8+4k)x+16W0,此不等式有解 44的條件是A= (8 + 4k)2-64(k2+1)>0,解之得0WkWg故最大值為-. 33-4答案(1)C (2)3 3 判斷直線與圓、圓與圓的位置關系的常用方法(1)判斷

8、直線與圓的位置關系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，則用幾何 法；若方程中含有參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數(shù)法.能用幾何法，盡 量不用代數(shù)法.(2)判斷兩圓的位置關系，可根據(jù)圓心距與兩圓半徑的和與差的絕對值之間的關系求解.II理式訓揀1 .直線l： y1 = k(x1)和圓x2+y2 2y3=0的位置關系是 .解析：將 x2+y22y3=0 化為 x2+(y1)2= 4.由于直線l過定點(1,1),且由于12+(1-1)2= 1<4,即直線過圓內一點，從而直線 l與 圓相交.答案：相交2 .設圓C與圓x2+ (y- 3)2= 1外切，與直線y= 0相切，則C的圓心

9、軌跡為()A.拋物線B.雙曲線C.橢圓D.圓解析：選A 設圓心C(x, y),則題意得.x 0 2+ y 3 2 = y+ 1(y>0),化簡得x2= 8y 一 8.有關圓的弦長問題例2 (1)(2012北京高考)直線y=x被圓x2+ (y2)2=4截得的弦長為 .(2)(2013濟南*II擬)已知圓C過點(1,0),且圓心在 x軸的正半軸上，直線 l: y=x1被 圓C所截得的弦長為2寸2,則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為 .自主解答(1)法一：幾何法：圓心到直線的距離為d = J0青 = J2,圓的半徑r=2,所以弦長為 l=2Xr2d2 = 2y4 2 = 2«2.法

10、二：代數(shù)法：聯(lián)立直線和圓的方程y=x)，,一，一如.一，一一 一.99 消去y可彳導x2-2x= 0,所以直線和圓的兩個交點坐標分別為(2,2),x2+ y2 2=4,(0,0),弦長為 也 2-0 2 =272.|a- 1|(2)由題意，設所求的直線萬程為 x+y+m=0,設圓心坐標為(a,0),則由題意知 飛丁 2+2=(a 1)2,解得2=3或2=1,又因為圓心在x軸的正半軸上，所以 a=3,故圓心坐 標為(3,0).因為圓心(3,0)在所求的直線上，所以有 3+ 0+m=0,即m=- 3,故所求的直線 方程為x+y3=0.答案(1)2也 (2)x+ y3=0 求圓的弦長的常用方法幾何法

11、：設圓的半徑為 r,弦心距為d,弦長為1,則2 2=r2-d2;2代數(shù)方法：運用韋達定理及弦長公式：|AB= 1k2 |xi X2| =(1 + k2)(Xi+ X2)2-4祕.|喳U訓練3 .若直線xy=2被圓(x a)2+y2=4所截得的弦長為2y2,則實數(shù)a的值為()A . 1 或 V3B . 1 或 3C. 2或 6D.0 或 4解析：選D圓心(a,0)到直線x- y=2的距離d =|a-2|則(72)2 +|a-2|22=22所以a= 0或a= 4.4,已知圓C的圓心與拋物線 y2=4x的焦點關于直線 y=x對稱，直線4x3y2=0與 圓C相交于A, B兩點，且|AB|=6,則圓C的

12、方程為 .解析：設所求圓的半徑是 R,依題意得，拋物線 y2=4x的焦點坐標是(1,0),則圓C的圓心坐標是(0,1),圓心到直線4x3y2 = 0的品巨離d=4><03x1一2| =1則R2 = d2+ JABJ<42+ - 3 222,因此圓C的方程是x2+(y1)2 = 10.答案：x2+(y1)2=10圓的切線問題例 3已知圓 C: x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若不過原點的直線l與圓C相切，且在x軸，y軸上的截距相等，求直線 l的方程；(2)從圓C外一點P( x, y)向圓引一條切線，切點為M, O為坐標原點，且有|PM|=|PO|,求點P的軌跡方程.自主解

13、答(1)將圓C配方得(x+ 1)2+(y2)2=2.由題意知直線在兩坐標軸上的截距不為零，設直線方程為x+ y a = 0,由'2j2,得 |a1|=2,即 a=1 或 a=3.故直線方程為x+ y+1 = 0或x+y3 = 0.(2)由于 |PC|2= |PM|2+ |CM|2 = |PM|2+ r2, . |PM|2= |PC|2r2.又. |PM|= |PO|, . |PC|2r2= |PO|2,(x+ 1)2+ (y- 2)22= x2 + y2.2x 4y+ 3= 0即為所求的方程.若將本例(1)中“不過原點”的條件去掉，求直線 l的方程.解：將圓C配方得(x+ 1)2+ (

14、y 2)2= 2.當直線在兩坐標軸上的截距為零時，設直線方程為y=kx,由直線與圓相切得y(2 班)x；當直線在兩坐標軸上的截距不為零時，設直線方程為x+y-a = 0,由直線與圓相切得+ y+1 = 0 或 x+y 3 = 0.綜上可知，直線l的方程為(2+/6)x- y=0或(2 &)x y= 0 或 x+y+1 = 0 或 x+y 3= 0. 求過一點的圓的切線方程的方法(1)若該點在圓上，由切點和圓心連線的斜率可確定切線的斜率，進而寫出切線方程; 若切線的斜率不存在，則可直接寫出切線方程x= x0.(2)若該點在圓外，則過該點的切線將有兩條.若用設斜率的方法求解時只求出一條,

15、則還有一條過該點且斜率不存在的切線.|麾式訓練5.已知點 M(3,1),直線 axy+4=0 及圓(x1)2+(y2)2=4.(1)求過M點的圓的切線方程；(2)若直線axy+4=0與圓相切，求a的值.解：(1)圓心C(1,2),半徑為r=2,當直線的斜率不存在時，方程為 x=3. 由圓心C(1,2)到直線x=3的距離d=31 = 2=r知，此時，直線與圓相切. 當直線的斜率存在時，設方程為 y-1 = k(x-3),即 kx-y+1- 3k=0.小八 |k2+13k| °由題思知1=2,Vk2+i3 解得k=".43故萬程為y- 1 =4(x-3),即 3x-4y-5=0

16、.故過M點的圓的切線方程為 x=3或3x4y5=0.(2)由題意有忸看詈 =2,解得a = 0或a = 4.通法坦納領悟2種方法一一解決直線與圓位置關系的兩種方法直線和圓的位置關系體現(xiàn)了圓的幾何性質和代數(shù)方法的結合.(1)從思路來看，代數(shù)法側重于“數(shù)”， 更多傾向于“坐標”與“方程”；而“幾何法”則側重于“形”，利用了圖形的性質.(2)從適用類型來看，代數(shù)法可以求出具體的交點坐標，而幾何法更適合定性比較和較 為簡單的運算.3個注意點一一直線與圓相切、相交的三個注意點(1)涉及圓的切線時，要考慮過切點的半徑與切線垂直；(2)當直線與圓相交時，半弦、弦心距、半徑所構成的直角三角形在解題中起到關鍵的

17、 作用，解題時要注意把它與點到直線的距離公式結合起來使用；(3)判斷直線與圓相切，特別是過圓外一點求圓的切線時，應有兩條.在解題中，若只 求得一條，則說明另一條的斜率不存在，這一點經常忽視，應注意檢驗、防止出錯.創(chuàng)新交匯一一直線與圓的綜合應用問題1 .直線與圓的綜合應用問題是高考中一類重要問題，常常以解答題的形式出現(xiàn)，并且 常常是將直線與圓和函數(shù)、三角、向量、數(shù)列及圓錐曲線等相互交匯，求解參數(shù)、函數(shù)、最 值、圓的方程等問題.2 .對于這類問題的求解， 首先要注意理解直線和圓等基礎知識及它們之間的深入聯(lián)系； 其次要對問題的條件進行全方位的審視，特別是題中各個條件之間的相互關系及隱含條件的挖掘，再

18、次要掌握解決問題常用的思想方法，如數(shù)形結合、化歸與轉化、待定系數(shù)及分類討論等思想方法.典例(2011新課標全國卷)在平面直角坐標系 xOy中，曲線y = x2-6x+ 1與坐標軸的 交點都在圓C上.(1)求圓C的方程；(2)若圓C與直線x y+a=0交于A, B兩點，且 OALOB,求a的值.解(1)曲線y=x26x+ 1與y軸的交點為(0,1),與x軸的交點為(3+22,0), (3-272, 0).故可設圓C的圓心為(3, t),則有 32+(t-1)2= (22)2+t2,解得 t= 1.則圓C的半徑為32+ t-1 2 =3.則圓C的方程為(x3)2+(y1)2=9.(2)設A(xi,

19、 yi), B(x2, y2),其坐標滿足方程組:xy+a= 0, x-3 2+ y- 1 2=9.消去 y,得到方程 2x2+(2a8)x+a22a+1 = 0.由已知可得，判別式A= 5616a 4a2>0.f .,a22a+1公從而 x1 + x2= 4 a, x1x2=2.由于 OAOB,可得 x1x2+y1y2=0,又 y1=x+a, y2=x2+a,所以 2x1x2+a(x1 + x2)+ a2=。.由得a = 1,滿足-0 ,故a = - 1.名師點評3 .本題有以下創(chuàng)新點(1)考查形式的創(chuàng)新，將軌跡問題、向量問題和圓的問題融為一體來考查.(2)考查內容的創(chuàng)新，本題摒棄以往

20、考查直線和圓的位置關系的方式，而是借助于參數(shù) 考查直線與圓的位置關系，同時也考查了轉化與化歸思想.4 .解決直線和圓的綜合問題要注意以下幾點(1)求點的軌跡，先確定點的軌跡的曲線類型，再利用條件求得相關參數(shù)；(2)存在性問題的求解，即先假設存在，再由條件求解并檢驗.變式訓練1,已知直線M2ax+by= 1(其中a, b是實數(shù))與圓x2+y2=1相交于A, B兩點，O是坐 標原點，且 AOB是直角三角形，則點 P(a, b)與點M(0,1)之間的距離的最大值為()A.V2+1B. 2C. 2D. . 2- 1解析：選A 直線42ax+by=1(其中a, b是實數(shù))與圓x2+y2=1相交于A, B

21、兩點，則依題意可知，4AOB是等腰直角三角形，坐標原點O到直線42ax+by=1的距離d=-j=2a2+b2=¥，即 2a2+b2=2, a2 = 22b2(-< b< 必 則 |PM|=(a2+ b1 2 2b+2 =配-2|, 當 b =/時，|PM|max=X |2-2| = 72+1.2.在平面直角坐標系 xOy中，已知圓x2+y2=4上有且只有四個點到直線12x5y+c=0的距離為1,則實數(shù)c的取值范圍是 .解析：因為圓的半徑為 2,且圓上有且僅有四個點到直線12x 5y+c=0的距離為1,1,圓（x1）2+（y+43）2= 1的切線方程中有一個是（）即要圓心到

22、直線的距離小于1,即,JC|不<1122+ - 5 2，A. x y= 0B. x+ y= 0C. x=0D. y=0解析：選C圓心為（1,廬），半徑為1,故x=。與圓相切.2 .已知直線l ： y= k（x1） 43與圓x2+y2= 1相切，則直線l的傾斜角為（兀A.6兀B.2c 2-5D.6兀解析：選D由題意知,|k十寸3|k2+1=1,得 k= 半故直線l的傾斜角為6兀.3 . （2012陜西高考）已知圓C: x2+y2-4x= 0, l是過點P（3,0）的直線，則（C. l與C相離D.以上三個選項均有可能解析：選A 把點（3,0）代入圓的方程的左側得32+04X3=3<0,

23、故點（3,0）在圓的內部，所以過點（3,0）的直線l與圓C相交.4 .過點（1,1）的直線與圓（*2）2+83）2=9相交于A, B兩點，則AB|的最小值為（）A, 273B. 4C. 2粥D. 5解析：選B由圓的幾何性質可知,當點（1,1）為弦AB的中點時，|AB|的值最小，此時|AB|= 2、r2_d2 = 2495 = 4.5.過點P（1,1）的直線，將圓形區(qū)域（x, y）|x2+ y2< 4分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為 （）A. x+y-2=0B. y- 1 = 0C. x y= 0D. x+3y4= 0解析：選A 兩部分面積之差最大，即弦長最短，此時

24、直線垂直于過該點的直徑.因為過點P（1,1）的直徑所在直線的斜率為1,所以所求直線的斜率為1,方程為x+y2= 0.uuuu uuur6.直線 ax+by+c=0 與圓 x2+y2=9 相交于兩點 M , N,若 c2= a2+b2,則 OM ON （O 為坐標原點）等于（）A. 7B. 14C. 7D. 14uuuu uuur解析：選A 設OM , ON的夾角為2 a依題意得，圓心（0,0）到直線ax+by+c=。的距離等于 c| = 1,cos 0= 1,cos 2 0= 2cos2o- 1 = 2X 12-1 = 一 "7，OM ON = 3X 3cosa/a2+ b23392

25、 0= - 7.二、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）7.設直線x my1 = 0與圓（x 1）2+（y2）2= 4相交于A,B兩點，且弦AB的長為2g 則實數(shù)m的值是.解析：由題意得，圓心（1,2）到直線xmy1 = 0的距離d = J43 =1,即117m二1L,1 + m2曰.31,解得 m= ±V.3答案：匹38. （2012江西高考）過直線x+ y2M2=0上點P作圓x2+y2= 1的兩條切線，若兩條切 線的夾角是60°,則點P的坐標是.解析：丁點P在直線x+y 2y2=0上，可設點 P（xo, - xo + 22）,且其中一個切點 為M；,兩條切線的

26、夾角為 60°,OPM =30°.故在RtAOPM中，有OP = 2OM = 2.由兩點 間的距離公式得 OP= x0+2V2 2 =2,解得x0 = J2.故點P的坐標是（質,V2）.答案：樞2）9. （2012天津高考）設m, nC R,若直線l： mx+ ny1 = 0與x軸相交于點 A,與y軸 相交于點B,且l與圓x2+y2=4相交所得弦的長為 2, O為坐標原點，則4 AOB面積的最 小值為.解析：由直線與圓相交所得弦長為2,知圓心到直線的距離為 <3,即 二_） = 后 所Vm2+n2以 m2+ n2= 1>2|mn|,所以 |mn|w1,又 A 1

27、, 0 , B 0 1 ,所以 AOB 的面積為-1-> 3, 36 m' n2|mn|最小值為3.答案：3三、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分）10 .求過點P（4, - 1）且與圓C： x2+y2+2x 6y+5=0切于點M（1,2）的圓的方程.解：設所求圓的圓心為 A(m, n),半徑為r,則A, M, C三點共線，且有|MA|=RP=r,因為圓 C: x2+y2+2x 6y+5=0 的圓心為 C(1,3),則n-2 23T= 77，m1 1+1m m- 1 2+ n-2 2 =，m 4 2+ n+ 1 2 = r,解得 m=3, n=1, r = y/5,所

28、以所求圓的方程為(x3)2+(y1)2=5.11 .在平面直角坐標系xOy中，已知圓x2+y212x+32 = 0的圓心為Q,過點P(0,2),且斜率為k的直線與圓Q相交于不同的兩點 A, B.求k的取值范圍；(2)是否存在常數(shù)k,使得向量OA+ Ouu與PQu共線？如果存在，求k值；如果不存在,請說明理由.解：(1)圓的方程可寫成(x6)2+y2=4,所以圓心為 Q(6,0).過P(0,2)且斜率為k的直線方程為y=kx+2,代入圓的方程得x2+(kx+2)2-12x+32 = 0,整理得(1 + k2)x2+ 4(k-3)x+ 36= 0.直線與圓交于兩個不同的點 A、B等價于A= 4(k

29、-3)2-4X 36(1 + k2)= 42( 8k2- 6k)>0 ,3 3 一解得4<k<°，即k的取值范圍為4，0 .uuu uuu(2)設 A(x1，y1), B(x2, y2)則 OA + OB = (x +x2, y1+y2),由方程得Xi + x2 =4 k 31 + k2又 y1 + y2= k(x1 + x2) + 4.uuu因 P(0,2)、Q(6,0), PQ =(6, 2),uuu uuu uuu所以OA+OB與PQ共線等價于一2(x1 + x2) = 6(y1 + y2),將代入上式，解得 k=- 34.3而由(1)知kC -4, 0 ,故

30、沒有符合題意的常數(shù)k.12.在平面直角坐標系xOy中，已知圓心在第二象限，半徑為2y2的圓C與直線y=x相切于坐標原點 O.(1)求圓C的方程；(2)試探求C上是否存在異于原點的點Q,使Q到定點F(4,0)的距離等于線段 OF的長.若存在，請求出點 Q的坐標；若不存在，請說明理由.解：（1）設圓心為C（a, b）,由OC與直線y=x垂直，知O, C兩點的斜率koc=-b= 1, a故 b= - a,則|OC|=242,即a2+b2 =2y2,a= - 2, a= 2, 可解得或b=2,b=- 2,a= - 2,結合點C（a, b）位于第二象限知b=2.故圓C的方程為（x+2）2+（y2）2=8.（2）假設存在Q（m, n）符合題意,m 4 2+ n2= 42,則 m2 + n2w0,m + 2 2+ n-2 2= 8,解得4m = ",5nT5故圓C上存在異于原點的點12“ 一g符合題意.教師備選題Ci, C2都和兩坐標軸相切，且