高中數(shù)學知識點及講解

1、高中數(shù)學復習知識點一、集合與簡易邏輯1. 集合元素具有確定性、無序性和互異性. （1）設(shè) p、q 為兩個非空實數(shù)集合，定義集合p+q=|,ab ap bq ，若0,2,5p，6,2, 1q，則 p+q 中元素的有 _個。 （答： 8）（2）非空集合 5 ,4,3 ,2 ,1s，且滿足“若sa，則sa6” ，這樣的s共有 _個（答： 7）2.“極端”情況否忘記a：集合|10ax ax，2|320bx xx，且abb，則實數(shù)a_.（答：10,1,2a）3.滿足1,21,2,3, 4,5m集合 m 有 _個。（答： 7）4.運算性質(zhì)：設(shè)全集5 ,4,3 ,2, 1u，若2ba，4)(bacu，5 ,

2、 1)()(bcacuu，則 a_，b_. （答：2,3a，2,4b）5.集合的代表元素： （1）設(shè)集合|2mx yx，集合n2|,yyxxm，則mn_ （ 答 ： 4 ,)）；（ 2 ） 設(shè) 集 合|( 1 , 2 )( 3 , 4 ) ,maar，|(2,3)(4,5)na a，r，則nm_（答：)2,2(）6.補集思想： 已知函數(shù)12)2(24)(22ppxpxxf在區(qū)間1 , 1上至少存在一個實數(shù)c，使0)(cf，求實數(shù)p的取值范圍。（答：3( 3,)2）7. 復合命題真假的判斷：在下列說法中：“p且q”為真是“p或q”為真的充分不必要條件；“p且q”為假是“p或q”為真的充分不必要條

3、件；“p或q”為真是“非p”為假的必要不充分條件；“非p”為真是“p且q”為假的必要不充分條件。其中正確的是_答：）8. 充要條件：（1）給出下列命題：實數(shù)0a是直線12yax與322yax平行的充要條件；若0,abrba是baba成立的充要條件；已知ryx,， “若0 xy，則0 x或0y”的逆否命題是“若0 x或0y則0 xy” ；“若a和b都是偶數(shù)，則ba是偶數(shù)”的否命題是假命題。其中正確命題的序號是_（答：）；（2） 設(shè)命題 p：| 43|1x；命題 q:0)1() 12(2aaxax。若 p 是 q 的必要而不充分的條件，則實數(shù)a 的取值范圍是（答：10,2）9. 一元一次不等式的解

4、法：已知關(guān)于x的不等式0)32()(baxba的解集為)31,(，則關(guān)于x的不等式0)2()3(abxba的解集為 _（答：|3x x）10.一元二次不等式的解集：解關(guān)于x的不等式：01) 1(2xaax。（答：當0a時，1x；當0a時，1x或1xa；當01a時，11xa；當1a時，x；當1a時，11xa）11. 對于方程02cbxax有實數(shù)解的問題。（1）222210axax對一切rx恒成立，則a的取值范圍是_（答：(1,2）； （2）若在0,2內(nèi)有兩個不等的實根滿足等式cos23sin 21xxk，則實數(shù)k的范圍是 _. （答：0,1)）12.一元二次方程根的分布理論。（1）實系數(shù)方程22

5、0 xaxb的一根大于0 且小于 1，另一根大于1 且小于 2，則12ab的取值范圍是 _（答：（41，1） ）（2）不等式23210 xbx對 1,2x恒成立，則實數(shù)b的取值范圍是_（答：） 。二、函數(shù)1.映射f: ab的概念。（1）設(shè):fmn是集合m到n的映射，下列說法正確的是a、m中每一個元素在n中必有象b、n中每一個元素在m中必有原象c、n中每一個元素在m中的原象是唯一的d、n是m中所在元素的象的集合（答：a） ； （2）點),(ba在映射f的作用下的象是),(baba，則在f作用下點)1 ,3(的原象為點_（答：（ 2， 1） ） ； （ 3） 若4,3,2,1a，,cbab，, ,

6、a b cr，則a到b的映射有個，b到a的映射有個，a到b的函數(shù)有個（答： 81,64,81 ） ； （4） 設(shè)集合 1,0,1,1,2,3,4,5mn，映射:fmn滿足條件“對任意的xm，( )xfx是奇數(shù)”，這樣的映射f有_個（答：12）2.函數(shù)f: ab 是特殊的映射。若函數(shù)42212xxy的定義域、值域都是閉區(qū)間2,2b，則b（答： 2）3.若解析式相同，值域相同，但其定義域不同的函數(shù)，則稱這些函數(shù)為“天一函數(shù)”，那么解析式為2yx，值域為 4 ，1 的“天一函數(shù)”共有_個（答： 9）4.研究函數(shù)問題時要樹立定義域優(yōu)先的原則） ：（ 1） 函數(shù)24lg3xxyx的定義域是_( 答：(0

7、, 2)(2, 3)(3, 4) ； （ 2） 設(shè)函數(shù)2( )lg(21)f xaxx，若( )f x的定義域是r，求實數(shù)a的取值范圍；若( )f x的值域是 r，求實數(shù)a的取值范圍（答：1a；01a）（2）復合函數(shù)的定義域：（1）若函數(shù))(xfy的定義域為2,21，則)(log2xf的定義域為 _ （答：42|xx） ；（2） 若函數(shù)2(1)f x的定義域為 2,1)， 則函數(shù)( )f x的定義域為 _（答： 1,5） 5.求函數(shù)值域（最值）的方法：（1）配方法 （1）當2,0(x時，函數(shù)3) 1(4)(2xaaxxf在2x時取得最大值，則a的取值范圍是 _（答：21a） ；（ 2 ） 換

8、元 法 （ 1）22sin3cos1yxx的 值 域 為 _ （ 答 ：174,8） ； （ 2）211yxx的值域為 _（答：(3,)） （令1xt，0t。運用換元法時，要特別要注意新元t的范圍 ） ； 3）s i nc o ss i n c o syxxxx的值域為 _ （答：1 1,22） ；（4）249yxx的值域為 _（答：1,3 24） ；（3）函數(shù)有界性法求函數(shù)2sin11siny，313xxy，2sin11cosy的值域（答：1(,2、 （0,1） 、3(, 2） ；（4）單調(diào)性法 求1(19)yxxx，229sin1sinyxx的值域為 _（答：80(0,)9、11,92）

9、；（5）數(shù)形結(jié)合法已知點( ,)p x y在圓221xy上，求2yx及2yx的取值范圍（答：33,33、5,5） ；（6）不等式法 設(shè)12,x a ay成等差數(shù)列，12,x b b y成等比數(shù)列，則21221)(bbaa的取值范圍是 _.（答：(,04,)） 。（7）導數(shù)法 求函數(shù)32( )2440f xxxx， 3,3x的最小值。（答： 48）6.分段函數(shù)的概念。 （1）設(shè)函數(shù)2(1) .(1)( )41.(1)xxf xxx，則使得( )1fx的自變量x的取 值 范 圍 是 _（ 答 ：(,20,10） ； （ 2） 已 知1(0)( )1(0)xf xx， 則 不 等 式(2)(2)5x

10、xf x的解集是 _（答：3(,2）7.求函數(shù)解析式的常用方法：（1）待定系數(shù)法 已知( )f x為二次函數(shù)，且)2()2(xfxf，且 f(0)=1,圖象在x 軸上截得的線段長為22, 求( )f x的解析式。（答：21( )212fxxx）（ 2 ） 配 湊 法 （ 1 ） 已 知,si n)c o s1(2xxf求2xf的 解 析 式 _ （ 答 ：242()2,2,2f xxxx） ； （2）若221)1(xxxxf，則函數(shù))1(xf=_（答：223xx） ；（3）方程的思想 已知( ) 2 ()32f xfxx，求( )f x的解析式（答：2( )33f xx） ；8. 反函數(shù)：（1

11、）函數(shù)223yxax在區(qū)間 1, 2上存在反函數(shù)的充要條件是a、,1ab、2,ac、1,2ad、,1a2,（答： d）（2）設(shè))0()1()(2xxxxf.求)(xf的反函數(shù))(1xf（答：11( )(1)1fxxx） （3）反函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)遞增函數(shù))(xf滿足條件)3(axf= x，其中a 0 ，若)(xf的反函數(shù))(1xf的定義域為aa4,1，則)(xf的定義域是 _（答： 4,7）.已知函數(shù)132)(xxxf，若函數(shù)( )yg x與) 1(1xfy的圖象關(guān)于直線xy對稱，求(3)g的值（答：72） ；（1） 已知函數(shù))24(log)(3xxf，則方程4)(1xf的解x_（答 ：1） ；

12、已知fx是r上的增函數(shù)， 點1,1 ,1,3ab在它的圖象上，1fx是它的反函數(shù)，那么不等式12log1fx的解集為 _（答： （2,8） ） ；9.函數(shù)的奇偶性 。（1）定義法：判斷函數(shù)2|4|49xyx的奇偶性 _（答：奇函數(shù)） 。等價形式：判斷11( )()212xfxx的奇偶性 _.（答：偶函數(shù)）圖像法：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。（2）函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：若( )fx為偶函數(shù)，則()( )(|)fxf xfx. 若定義在r 上的偶函數(shù)( )f x在(,0)上是減函數(shù)， 且)31(f=2， 則不等式2)(log81xf的解集為 _. （答：(0,0.5)(2,)）

13、(0)0f若22( )21xxaaf x為奇函數(shù)，則實數(shù)a _（答： 1）. 設(shè))(xf是定義域為r 的任一函數(shù)，( )()( )2fxfxf x，( )()( )2f xfxg x。判斷)(xf與)(xg的奇偶性；若將函數(shù)) 110lg()(xxf，表示成一個奇函數(shù))(xg和一個偶函數(shù))(xh之和， 則)(xg_（答： )(xf為偶函數(shù)，)(xg為奇函數(shù)； )(xg12x）10. 函數(shù)的單調(diào)性。（1）若( )f x在區(qū)間( , )a b內(nèi)為增函數(shù)，則( )0fx，已知函數(shù)3( )f xxax在區(qū)間1,)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是_( 答：(0,3）) ；（2）若函數(shù)2) 1(2)(2xax

14、xf在區(qū)間（，4 上是減函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是 _( 答：3a）) ；（3） 已知函數(shù)1( )2axf xx在區(qū)間2,上為增函數(shù)， 則實數(shù)a的取值范圍 _ （答：1(,)2）；（4）函數(shù)212log2yxx的單調(diào)遞增區(qū)間是_( 答：（ 1,2 ）) 。（5）已知奇函數(shù))(xf是定義在)2,2(上的減函數(shù) , 若0) 12()1(mfmf，求實數(shù)m的取值范圍。（答：1223m）11. 常見的圖象變換設(shè)( )2, ( )xf xg x的圖像與( )f x的圖像關(guān)于直線yx對稱，( )h x的圖像由( )g x的圖像向右平移1 個單位得到，則( )h x為_(答：2( )log (1)h xx

15、) 函數(shù)( )lg(2)1f xxx的圖象與x軸的交點個數(shù)有_個(答： 2) 將函數(shù)aaxby的圖象向右平移2 個單位后又向下平移2 個單位 ,所得圖象如果與原圖象關(guān)于直線xy對稱 ,那么0, 1)(baarbab,1)(0, 1)(bacrbad,0)(答：c) 函數(shù)axfy)0(a的圖象是把函數(shù)xfy的圖象沿x軸伸縮為原來的a1得到的。 如若函數(shù)(21)yfx是偶函數(shù)，則函數(shù)(2 )yfx的對稱軸方程是_(答：12x)12. 函數(shù)的對稱性。已知二次函數(shù))0()(2abxaxxf滿足條件)3()5(xfxf且方程xxf)(有等根，則)(xf_(答：212xx)；己知函數(shù)33( ),()232

16、xf xxx, 若)1(xfy的圖像是1c, 它關(guān)于直線yx對稱圖像是22,cc關(guān)于原點對稱的圖像為33,cc則對應(yīng)的函數(shù)解析式是_（答：221xyx） ；若函數(shù)xxy2與)(xgy的圖象關(guān)于點（-2 ，3）對稱，則)(xg_（答：276xx）13. 函數(shù)的周期性。（1）類比“三角函數(shù)圖像”已知定義在r上的函數(shù)( )f x是以 2 為周期的奇函數(shù)，則方程( )0f x在 2,2上至少有 _個實數(shù)根（答：5）（2） 由周期函數(shù)的定義(1)設(shè))(xf是),(上的奇函數(shù)，)()2(xfxf，當10 x時，xxf)(，則)5.47(f等于 _(答：5.0)；(2) 已知( )f x是偶函數(shù)，且(1)f

17、=993，( )g x=(1)f x是奇函數(shù)，求(2005)f的值 (答：993)； （3）已知)(xf是定義在r 上的奇函數(shù)，且為周期函數(shù)，若它的最小正周期為t，則)2(tf_（答： 0）（2）利用函數(shù)的性質(zhì)（ 1） 設(shè)函數(shù)( )()fxxn表示x除以3 的余數(shù)，則對任意的,x yn，都有a、(3)( )f xfx b、()( )( )f xyf xf y c、(3 )3 ( )fxf x d、()( )( )f xyf x fy（答：a） ；（ 2） 設(shè))(xf是定義在實數(shù)集r 上的函數(shù)，且滿足)() 1()2(xfxfxf，如果23lg)1 (f，15lg)2(f，求)2001(f（答：

18、 1） ； （ 3） 已知定義域為r的函數(shù))(xf滿足)4()(xfxf， 且 當2x時 ，)(xf單 調(diào) 遞 增 。 如 果421xx， 且0)2)(2(21xx，則)()(21xfxf的值的符號是_（答：負數(shù)）（3）利用一些方法（1）若xr，( )fx滿足()( )f xyfx( )f y，則( )fx的奇偶性是 _（答：奇函數(shù)） ； （2）若xr，( )f x滿足()( )f xyfx( )f y，則( )fx的奇偶性是 _（答：偶函數(shù)） ； （3）已知( )f x是定義在( 3,3)上的奇函數(shù)，當03x時，( )f x的圖像如右圖所示，那么不等式( ) cos0f xx的解集是 _（答

19、：(, 1)(0,1)(,3)22） ；三、數(shù)列1、數(shù)列的概念：（1）已知*2()156nnannn，則在數(shù)列na的最大項為 _（答：125） ；（2）數(shù)列na的通項為1bnanan，其中ba,均為正數(shù)，則na與1na的大小關(guān)系為_（答：na1na） ；（3）已知數(shù)列na中，2nann，且na是遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍（答：3） ；a b c d 2. 等差數(shù)列的有關(guān)概念： (1) 等差數(shù)列na中，1030a，2050a，則通項na（答：210n）； （2）首項為 -24 的等差數(shù)列， 從第 10 項起開始為正數(shù)， 則公差的取值范圍是_ （答：833d）（1）數(shù)列na中，*11(2,)2nn

20、aannn，32na，前 n 項和152ns，則1a，n（答：13a，10n）； （2） 已知數(shù)列na的前 n 項和212nsnn，求數(shù)列|na的前n項和nt（答：2*2*12(6,)1272(6,)nnnnnntnnnnn）. （4） 等差中項3. 等差數(shù)列的性質(zhì)：（1） 等差數(shù)列na中，12318,3,1nnnnsaaas，則n_（答： 27） ； （2）在等差數(shù)列na中，10110,0aa，且1110|aa，ns是其前n項和，則 a、1210,s ss都o1 2 3 x y 小于 0，1112,ss都大于 0b、1219,s ss都小于 0，2021,ss都大于 0c、125,s ss都

21、小于 0，67,s s都大于 0d、1220,s ss都小于 0，2122,ss都大于 0（答： b）等差數(shù)列的前n 項和為 25， 前 2n 項和為 100，則它的前3n 和為。 （答：225）（2） 在等差數(shù)列中，s1122，則6a_（答： 2） ； （2） 項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列na中，奇數(shù)項和為80，偶數(shù)項和為75，求此數(shù)列的中間項與項數(shù)（答：5；31）. 設(shè)na與 nb是兩個等差數(shù)列，它們的前n項和分別為ns和nt，若3413nntsnn，那么nnba_（答：6287nn）（3）等差數(shù)列na中，125a，917ss， 問此數(shù)列前多少項和最大？并求此最大值。（答：前 13 項和最大，最大

22、值為169） ； （2）若na是等差數(shù)列，首項10,a200320040aa，200320040aa，則使前n 項和0ns成立的最大正整數(shù)n 是（答： 4006）4. 等比數(shù)列的有關(guān)概念：（ 1）等比數(shù)列的判斷方法：（ 1）一個等比數(shù)列na 共有21n項，奇數(shù)項之積為100，偶數(shù)項之積為120，則1na為_（答：56） ； （2）數(shù)列na中，ns=41na+1 (2n)且1a=1，若nnnaab21，求證：數(shù)列nb是等比數(shù)列。（2）等比數(shù)列的通項：設(shè)等比數(shù)列na中，166naa，21128na a，前n項和ns126，求n和公比q. （答：6n，12q或 2）（ 3）等比數(shù)列的前n和： （1）

23、等比數(shù)列中，q2，s99=77，求9963aaa（答： 44） ；（2）)(1010nnkknc的值為 _（答： 2046） ；（4） 等比中項： 已知兩個正數(shù), ()a b ab的等差中項為a，等比中項為b ，則 a與 b的大小關(guān)系為 _（答： a b）有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個成等比數(shù)列，且第一個數(shù)與第四個數(shù)的和是16，第二個數(shù)與第三個數(shù)的和為12，求此四個數(shù)。 （答： 15，,9，3,1 或 0,4，8,16）奇數(shù)個數(shù)成等比，可設(shè)為，22, ,aaa aq aqqq（公比為q） ；但偶數(shù)個數(shù)成等比時，不能設(shè)為33,aqaqqaqa，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時才可如此

24、設(shè)，且公比為2q。5. 等比數(shù)列的性質(zhì)：（1） 在等比數(shù)列na中，3847124,512aaa a，公比 q 是整數(shù)，則10a=_（答：512） ； （2）各項均為正數(shù)的等比數(shù)列na中，若569aa，則3132310logloglogaaa（答： 10） 。（ 1 ） 已 知0a且1a， 設(shè) 數(shù) 列nx滿 足1l o g1l o gananxx(* )nn， 且121 0 0100 xxx，則101102200 xxx. （答：100100a） ； （2）在等比數(shù)列na中，ns為其前 n 項和，若140,1330101030ssss，則20s的值為 _（答：40）若na是等比數(shù)列，且3nnsr

25、，則r（答： 1）設(shè)等比數(shù)列na的公比為q，前n項和為ns，若12,nnnss s成等差數(shù)列，則q的值為 -_（答： 2）設(shè) 數(shù) 列na的 前n項 和 為ns（nn） ，關(guān) 于 數(shù) 列na有 下 列 三 個 命 題 ： 若)(1nnaann，則na既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；若rbanbnasn、2，則na是等差數(shù)列；若nns11，則na是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號是（答：）6. 數(shù)列的通項的求法：已 知 數(shù) 列,3219,1617,815 ,413試 寫 出 其 一 個 通 項 公 式 ： _ （ 答 ：11212nnan）已知na的前n項和滿足2log (1)1nsn， 求na（答：

26、3,12 ,2nnnan） ； 數(shù)列na滿足12211125222nnaaan，求na（答：114,12,2nnnan）數(shù)列na中，, 11a對所有的2n都有2321naaaan， 則53aa_ （答：6116）已 知 數(shù) 列na滿 足11a，nnaann111(2)n， 則na=_ （ 答 ：121nan）已知數(shù)列na中，21a，前n項和ns，若nnans2，求na（答：4(1)nan n）已知111,32nnaaa，求na（答：12 31nna） ；已知111,32nnnaaa，求na（答：115 32nnna） ； 已 知1111,31nnnaaaa， 求na（ 答 ：132nan） ；

27、 已 知 數(shù) 列 滿 足1a=1 ，11nnnnaaa a，求na（答：21nan）數(shù)列na滿足11154,3nnnassa，求na（答：14,13 4,2nnnan）7. 數(shù)列求和的常用方法：（1） 公式法 ： （1） 等比數(shù)列na的前n項和s2，則2232221naaaa_（答：413n） ； （2）計算機是將信息轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)進行處理的。二進制即“逢2 進 1” ，如2)1101(表示二進制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進制形式是13212021210123，那么將二進制120052)11111(個轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)是_（答：200521）（2）分組求和法 ：1 357( 1) (21)nnsn（答：(

28、1)nn）（ 3） 倒 序 相 加 法 ： 求 證 ：01235(21)(1) 2nnnnnncccncn； 已 知22( )1xf xx，則111(1)(2)(3)(4)()( )( )234fffffff_（答：72）（4） 錯位相減法 ：（1） 設(shè)na為等比數(shù)列，121(1)2nnntnanaaa， 已知11t，24t，求數(shù)列na的首項和公比；求數(shù)列nt的通項公式.（答：11a，2q；122nntn） ； （ 2） 設(shè) 函 數(shù))1(4)() 1()(2xxgxxf， 數(shù) 列na滿 足 ：12,()naf a(na)()1nnagann，求證：數(shù)列 1na是等比數(shù)列；令212( )(1)(

29、1)h xaxax(1)nnax，求函數(shù))(xh在點38x處的導數(shù))38(h，并比較)38(h與nn22的大小。（ 答 ： 略 ； 8( )(1) 213nhn， 當1n時 ，)38(hnn22； 當2n時 ，)38(hnn22）（5）裂項相消法 ： （1）求和：1111 447(32)(31)nn（答：31nn） ；（2）在數(shù)列na中，11nnan，且 s，則n _（答： 99） ；（6）通項轉(zhuǎn)換法 ：求和：111112123123n（答：21nn）四、三角函數(shù)1、的終邊與6的終邊關(guān)于直線xy對稱，則_。 （答：zkk,32）若是第二象限角，則2是第 _象限角（答：一、三） ；已知扇形aob

30、 的周長是6cm，該扇形的中心角是1 弧度，求該扇形的面積。（答： 22cm）2、三角函數(shù)的定義： （1）已知角的終邊經(jīng)過點p(5， 12)，則c o ss in的值為。 （答：713） ； （2）設(shè)是第三、四象限角，mm432sin，則m的取值范圍是 _（答：（ 1，)23） ；3. 三 角 函 數(shù) 線 （ 1） 若08， 則sin, cos, tan的 大 小 關(guān) 系 為_( 答：tansincos) ； （2）若為銳角，則,sin,tan的大小關(guān)系為 _ （答：sintan） ； （ 3） 函數(shù))3sin2lg(cos21xxy的定義域是 _（答：2(2,2()33kkkz）4. 同角三

31、角函數(shù)的基本關(guān)系式： （1） 已知53sinmm，)2(524cosmm， 則t a n_ （答：125） ；（2） 已知11tantan， 則c o ss i nc o s3s i n_；2cossinsin2y t a x b s o m p _（答：35；513） ； （3）已知xxf3cos)(cos，則)30(sinf的值為 _（答： 1） 。5. 三角函數(shù)誘導公式（1）97costan()sin 2146的值為 _（答：2323） ；（ 2 ） 已 知54)540sin(， 則)2 7 0co s(_ ， 若為 第 二 象 限 角 ， 則)180tan()360cos()180si

32、n(2_。 （答：54；1003）6、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：（ 1） 下列各式中，值為12的是a、1515sincosb、221212cossinc、222 5122 5tan.tan.d、1302cos（答： c） ；（2）命題 p：0tan( ab )，命題 q：0tan atan b，則 p是 q 的a、充要條件b、充分不必要條件c、必要不充分條件d、既不充分也不必要條件（答：c） ； （ 3） 已知35sin() coscos()sin， 那 么2cos的 值 為 _ （ 答 ：725） ； （ 4）131080sinsin的值是 _（答： 4） ；(5) 已知0

33、tan110a，求0tan50的值（用a表示）甲求得的結(jié)果是313aa，乙求得的結(jié)果是212aa，對甲、乙求得的結(jié)果的正確性你的判斷是_（答：甲、乙都對）7.三角函數(shù)的化簡、計算、證明（1）巧變角：（ 1）已知2tan()5，1tan()44，那么tan()4的值是 _（答：322） ； （2）已知,為銳角，sin,cosxy，3cos()5，則y與x的函數(shù)關(guān)系為 _（答：23431(1)555yxxx）(2) 三角函數(shù)名互化(切割化弦 ) ， （1）求值sin50 (13tan10 )（答： 1） ； （2） 已知sincos21,tan()1cos23，求tan(2 )的值（答：18）(3

34、) 公式變形使用設(shè)abc中，33tan atanbtan atan b，34sin acosa，則此三角形是 _三角形（答：等邊）(4) 三角函數(shù)次數(shù)的降升函數(shù)255 3f( x)sinxcosxcos x532( xr)的單調(diào)遞增區(qū)間為 _（答：51212 k,k( kz )）(5) 式子結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化（1）tan(cossin)sintancotcsc（答：sin） ； （2）求證：21tan1sin21 2sin1tan22； （ 3）化簡：42212cos2cos22tan()sin ()44xxxx（答：1cos22x）(6) 常值變換主要指“1”的變換 已知tan2，求22sinsin

35、cos3cos（答：35）.(7) “知一求二”（ 1）若sincosxxt，則sincosxx_（答：212t) ，特別提醒 ：這里2,2t； （2）若1(0, ),sincos2，求tan的值。（答：473） ；8、輔助角公式中輔助角的確定： （ 1）若方程sin3cosxxc有實數(shù)解，則c的取值范圍是_.（答： 2,2 ） ； （2） 當函數(shù)23ycos xsin x取得最大值時，tan x的值是_(答：32)； （3）如果sin2cos()fxxx是奇函數(shù)，則tan= (答：2)； （4）求值：20sin6420cos120sin3222_(答： 32)9、正弦函數(shù)sin()yx xr

36、、余弦函數(shù)cos ()yx xr的性質(zhì) ：（1）若函數(shù)sin(3)6yabx的最大值為23，最小值為21，則a_，b（答：1,12ab或1b） ； （2）函數(shù)xxxfcos3sin)(（2,2x）的值域是 _ （答：1, 2） ； （ 3）若2，則6ycossin的最大值和最小值分別是_ 、 _（答： 7；5） ； （4）函數(shù)2( )2cossin()3sin3fxxxxsincosxx的最小值是 _，此時x_（答： 2；()12kkz） ； （5）己知21cossin，求c oss int的變化范圍 （答：10,2） ； （6）若cos2sin2sin22，求22s insiny的最大、最小

37、值（答：1maxy，222miny） 。（ 3） 周期性 ： (1) 若3sin)(xxf，則( 1 )( 2 )( 3 )( 2 0 0 3 )ffff_ （答：0） ；(2)函數(shù)4( )cosf xx2sincosxx4sin x的最小正周期為_（答：） ； (3) 設(shè)函數(shù))52sin(2)(xxf，若對任意rx都有)()()(21xfxfxf成立， 則|21xx的最小值為 _（答： 2）（4）奇偶性與對稱性： （1）函數(shù)522ysinx的奇偶性是 _（答： 偶函數(shù)）； （2）已知函數(shù)31f ( x)axbsin x( a,b為常數(shù)），且57f ()，則5f()_（答： 5） ；（ 3 ）

38、 函 數(shù))c o s( si nc o s2xxxy的 圖 象 的 對 稱 中 心 和 對 稱 軸 分 別 是 _ 、_ （ 答：128k(, )( kz )、28kx( kz )）； （4 ）已 知3f ( x )s i n ( x)c o s ( x)為偶函數(shù)，求的值。（答：6k( kz )）（5）單調(diào)性 ：16、形如sin()yax的函數(shù)：( )sin()(0,0f xaxa，|)2的圖象如圖所示，則( )f x_（答：15( )2sin()23fxx） ；（1） 函數(shù)2sin(2)14yx的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到sinyx的圖象？ （答：2sin(2)14yx向上平移1 個單位得2

39、sin(2)4yx的圖象，再向左平移8個單位得2sin 2yx的圖象，橫坐標擴大到原來的2 倍得2sinyx的圖象，最后將縱坐標縮小到原來的12即得sinyx的圖象）； (2) 要得到函數(shù)cos()24xy的圖象 ， 只 需 把 函 數(shù)sin2xy的 圖 象 向 _平 移 _個 單 位 （ 答 ： 左 ；2） ； （ 3） 將函 數(shù)72sin(2)13yx圖像， 按向量a平移后得到的函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，這樣的向量是否唯一？若唯一，求出a；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量(, 1)6a） ； （4）若函數(shù)cossin0,2fxxxx的圖象與直線yk有且僅有四個不同的交

40、點，則k的取值范圍是（答：1, 2)）（5）研究函數(shù)sin()yax性質(zhì)的方法： （1）函數(shù)23ysin(x)的遞減區(qū)間是_ （答：51212 k,k( kz )） ；（2）1234xylogcos()的遞減區(qū)間是 _（答：336644k, k( kz )） ； （ 3）設(shè)函數(shù))22,0,0)(sin()(axaxf的圖象關(guān)于直線32x對稱，它的周期是，則 a、)21,0()(的圖象過點xfb、( )f x在區(qū)間52,123上是減函數(shù)c、)0 ,125()(是的圖象的一個對稱中心xfd、( )f x的最大值是a（答： c） ； （4）對于函數(shù)2sin23fxx給出下列結(jié)論： 圖象關(guān)于原點成中心

41、對稱；圖象關(guān)于直線12x成軸對稱；圖象可由函數(shù)2sin 2yx的圖像向左平移3個單位得到；23題 圖29yx-223圖像向左平移12個單位，即得到函數(shù)2cos 2yx的圖像。其中正確結(jié)論是_（答：）； （5）已知函數(shù)( )2sin()f xx圖象與直線1y的交點中，距離最近兩點間的距離為3，那么此函數(shù)的周期是_（答：）xyxysin,sin2的 周 期 都 是, 但sinyxcosx的 周 期 為2， 而1| 2 s i n ( 3)| ,| 2 s i n ( 3)2 |626yxyx，| tan|yx的周期不變；abc中，若cbaba22222sinsincoscossin，判斷abc的形

42、狀（答：直角三角形）。（ 1）abc中， a、b 的對邊分別是ab、，且a=6064, a, b，那么滿足條件的abca、 有一個解b、有兩個解c、無解d、不能確定 （答： c） ； （2）在abc中 ， a b是sin asin b成 立 的 _ 條 件 （ 答 ： 充 要 ）；（ 3 ） 在abc中 ，112(tan a)(tan b )，則2log sinc_（答：12） ；(4) 在abc中，a,b,c分別是角 a、b、c 所對的邊， 若( abc)(sin asin b3sinc )a sin b，則c _（答：60） ； （5）在abc中，若其面積2224 3abcs，則c=_（答

43、：30） ； （6）在abc中，601a, b， 這個三角形的面積為3， 則abc外接圓的直徑是_ （答：2 393） ；（7） 在 abc 中， a、 b、 c 是角 a、 b、 c 的對邊，213,cos,cos32bcaa則= ，22bc的最大值為（答：1 93 2;） ； （ 8） 在 abc中 ab=1 ， bc=2 ，則角c 的取值范圍是（ 答 ：06c） ； （ 9） 設(shè)o是 銳 角 三 角 形abc的 外 心 ， 若75c， 且,aobboccoa的面積滿足關(guān)系式3aobboccoasss，求a（答：45） 19. 求角的方法 （1） 若,(0,)， 且t a n、tan是方程

44、2560 xx的兩根，則求的值 _（答：34） ； （ 2）abc中，3sin4cos6,4sin3cos1abba，則c_ （ 答 ：3）； （ 3 ） 若02且0sinsinsin，0coscoscos，求的值（答：23）. 五、平面向量1、向量有關(guān)概念：（1）向量的概念 ：已知a（1,2） ，b（4,2） ，則把向量ab按向量a（ 1,3）平移后得到的向量是 _（答： （3,0 ） ）下列命題：（1）若 ab ，則ab。 （ 2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。 （3） 若a b d c， 則 a b c d是平行四邊形。 （4） 若 a b c d是平行四邊形， 則a

45、bdc。（ 5）若,ab bc，則ac。 （6）若/ ,/ab bc，則/ac。其中正確的是_（答：（4）（5） ）2、向量的表示方法： （1）若(1 ,1),ab(1 , 1),( 1,2)c，則c_（答：1322ab） ；（ 2 ） 下 列 向 量 組 中 ， 能 作 為 平 面 內(nèi) 所 有 向 量 基 底 的 是a. 12(0,0),(1 , 2)eeb. 12( 1,2),(5,7)eec. 12(3,5),(6,10)eed. 1213(2, 3),(,)24ee（答： b） ； （3）已知,ad be分別是abc 的邊,bc ac上的中線 ,且,ada beb,則bc可用向量,a

46、b表示為 _ （ 答 ：2433ab） ； （ 4 ） 已 知abc中 ， 點d在bc邊 上 ， 且dbcd2，acsabrcd，則sr的值是 _（答： 0）4、實數(shù)與向量的積5、平面向量的數(shù)量積：（1） abc 中，3| ab，4| ac，5| bc，則bcab_（答： 9） ；（2） 已知11(1,),(0,),22abcakb dab，c與d的夾角為4， 則 k 等于 _ （答：1） ；（3）已知2,5,3aba b，則ab等于 _（答：23） ； （4）已知, a b是兩個非零向量，且abab，則與aab的夾角為 _（答：30）已知3|a，5| b，且12ba，則向量a在向量b上的投影

47、為 _（答：512）（1）已知)2,(a，)2,3(b，如果a與b的夾角為銳角， 則的取值范圍是 _（答：43或0且13） ； （ 2） 已知of q的面積為s，且1fqof， 若2321s， 則fqof ,夾 角的 取 值 范 圍 是 _（ 答 ：(,)43） ； （ 3 ） 已 知(cos,si n),(cos, si naxxbyy a與b之間有關(guān)系式3,0kabakbk其中，用 k 表示a b；求a b的最小值，并求此時a與b的夾角的大?。ù穑?1(0)4ka bkk；最小值為12，60）6、向量的運算：（1）幾何運算 ：（1）化簡：abbccd_；abaddc_；()()abcdac

48、bd_（答：ad；cb；0） ； （2）若正方形abcd的邊長為 1，,aba bcb acc，則|abc_（答：2 2） ； （3）若 o 是abc所在平面內(nèi)一點，且滿足2obocobocoa，則abc的形狀為 _（答：直角三角形 ） ；（ 4 ） 若d為abc的 邊bc的 中 點 ，abc所 在 平 面 內(nèi) 有 一 點p， 滿 足0pab pcp，設(shè)|appd，則的值為 _（答： 2） ； （5） 若點 o 是abc的外心，且0oaobco，則abc的內(nèi)角 c 為_（答：120） ；（2）坐標運算 ： （ 1）已知點(2,3),(5,4)ab，(7,10)c，若()apabacr，則當_時

49、，點 p 在第一、三象限的角平分線上（答：12） ； （2）已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2ababxy且，,(,)22x y，則 xy（答：6或2） ；（3）已知作用在點(1,1)a的三個力123(3,4),(2,5),(3,1)fff，則合力123ffff的終點坐標是（答：（9,1） ）設(shè)(2,3),( 1,5)ab，且13acab，3adab，則 c、d 的坐標分別是_（答：11(1,),(7,9)3） ；已知向量a（ sinx，cosx）, b（ sinx，sinx）, c（ 1，0） 。 （1）若 x3，求向量a、c的夾角；（2）若 x4,83，函數(shù)baxf)(

50、的最大值為21，求的值（答：1(1)150;(2)2或21） ；已知,a b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|3 |ab_（答：13） ；如圖，在平面斜坐標系xoy中，60 xoy，平面上任一點p 關(guān)于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若12opxeye，其中12,e e分別為與x 軸、 y 軸同方向的單位向量，則p 點斜坐標為( ,)x y。 （1）若點 p 的斜坐標為（ 2， 2） ，求 p 到 o 的距離 po； （2）求以 o 為圓心， 1 為半徑的圓在斜坐標系xoy中的方程。（答：（1） 2； （2）2210 xyxy） ；7、向量的運算律：下列命題中：cabacba)(；cbacb

51、a)()(；2()ab2|a22| |abb； 若0ba，則0a或0b；若,a bc b則ac；22aa；2a bbaa；222()a bab；222()2abaa bb。其中正確的是_（答：） (1) 若向量( ,1),(4, )axbx，當x_時a與b共線且方向相同（答：2） ； （2）已知(1 ,1),(4, )abx，2uab，2vab，且/uv，則x_（答： 4） ； （ 3） 設(shè)( ,12),(4,5),(10, )pakpbpck，則 k_時， a,b,c 共線（答：2或 11） (1) 已知( 1,2),(3,)oaobm，若oaob，則m（答：32） ； （2）以原點o 和

52、a(4,2) 為兩個頂點作等腰直角三角形oab ，90b，則點 b 的坐標是 _ （答：(1,3)或（3， 1） ） ； （3）已知( , ),na b向量nm，且nm，則m的坐標是 _ （答：( ,)(, )bab a或）10. 線段的定比分點：若點p分ab所成的比為34，則a分bp所成的比為 _（答：73）（1） 若 m （-3， -2） ， n （6， -1） ， 且1mpmn3， 則點 p 的坐標為 _ （答：7( 6,)3） ；（ 2） 已知( ,0),(3, 2)a aba，直線12yax與線段ab交于m，且2ammb，則a等于_（答：或）11. 平移公式 ：（1） 按向量a把(2

53、, 3)平移到(1, 2)， 則按向量a把點( 7,2)平移到點 _（答：（，） ） ； （ 2） 函數(shù)xy2sin的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是12cos xy，則a_（答：)1 ,4(）12、向量中一些常用的結(jié)論：若 abc的三邊的中點分別為（2，1） 、 （-3 ，4） 、（-1 ， -1 ） ，則 abc的重心的坐標為 _（答：2 4(,)3 3） ；平 面 直 角 坐 標 系 中 ，o為 坐 標 原 點 ， 已 知 兩 點)1 ,3(a,)3, 1(b, 若 點c滿 足ocoboa21, 其中r21,且121, 則點c的軌跡是 _（答：直線 ab ）六、不等式 1、不等式的

54、性質(zhì)：（ 1 ） 對 于 實 數(shù)cba,中 ， 給 出 下 列 命 題 ： 22,bcacba則若；babcac則若,22； 22,0bababa則若； baba11,0 則若；baabba則若,0；baba則若, 0；bcbacabac則若,0；11,abab若，則0,0ab。其中正確的命題是_（答：） ；（2）已知11xy，13xy，則3xy的取值范圍是_ （答：137xy） ；2.不等式大小比較的常用方法：比較 1+3logx與) 10(2log2xxx且的大?。ù穑寒?1x或43x時，1+3logx2log 2x； 當413x時，1+3logx2log 2x； 當43x時，1+3log

55、x2log 2x）3. 利用重要不等式求函數(shù)最值（1）下列命題中正確的是a、1yxx的最小值是2 b、2232xyx的最小值是2 c、423(0)yxxx的最大值是24 3d 、423(0)yxxx的最小值是24 3（答： c） ； （2）若21xy，則24xy的最小值是 _（答：2 2） ； （3）正數(shù),x y滿足21xy，則yx11的最小值為 _（答：32 2） ；4. 常用不等式有：如果正數(shù)a、b滿足3baab，則ab的取值范圍是_（答：9,）5、證明不等式的方法：（1）已知cba，求證：222222cabcabaccbba；(2) 已知rcba,，求證：)(222222cbaabcac

56、cbba； （3） 已知, , ,a b x yr，且11,xyab，求證：xyxayb；(4) 已知rcba,，求證：2222a bb c22()c aabc abc； 6. 簡單的一元高次不等式的解法： （ 1）解不等式2(1)(2)0 xx。 （答：|1x x或2x） ； （2）不等式2(2)230 xxx的解集是 _（答：|3x x或1x） ； （3）設(shè)函數(shù)( )fx、( )g x的定義域都是r，且( )0f x的解集為|12xx，( )0g x的解集為，則不等式( )( )0f xg x的解集為 _（答：(,1)2,)） ； （4）要使?jié)M足關(guān)于x的不 等 式0922axx（ 解 集

57、非 空 ） 的 每 一 個x的 值 至 少 滿 足 不 等 式08603422xxxx和中的一個，則實數(shù)a的取值范圍是 _. （答：817,)8）7. 分式不等式的解法： （1） 解不等式25123xxx（答：( 1,1)(2,3)） ；（2）關(guān)于x的不等式0bax的解集為), 1(，則關(guān)于x的不等式02xbax的解集為_（答：),2()1,(）.8. 絕對值不等式的解法：解不等式|1|3xx（答：(, 1)(2,)） ；若不等式|32| | 2|xxa對xr恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為_。 （答：43）9、 含參不等式的解法：（1） 若2log13a， 則a的取值范圍是 _ （答：1a或20

58、3a） ；（ 2）解不等式2()1axx arax（答：0a時，|x0 x；0a時，1|x xa或0 x；0a時，1|0 xxa或0 x） ； （3）關(guān)于x的不等式0bax的解集為)1 ,(，則不等式02baxx的解集為 _（答： （ 1,2） ）11. 恒成立問題（1）設(shè)實數(shù),x y滿足22(1)1xy，當0 xyc時，c的取值范圍是_（答：21,） ； （2）不等式axx34對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍 _（答：1a） ； （ 3）若不等式) 1(122xmx對滿足2m的所有m都成立，則x的取值范圍 _（答：（712,312） ） ； （4） 若不等式nann1) 1(2)1(對

59、于任意正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_（答：32,)2） ； （ 5） 若不等式22210 xmxm對01x的所有實數(shù)x都成立， 求m的取值范圍 . （答：12m） （6）已知不等式axx34在實數(shù)集r上的解集不是空集，求實數(shù)a的取值范圍 _（答：1a）七、直線和圓1 、 直 線 的 傾 斜 角 ： （ 1） 直 線023co syx的 傾 斜 角 的 范 圍 是 _（ 答 ：50)66，） ； （2） 過點),0(),1 , 3(mqp的直線的傾斜角的范圍m那么,32,3值的范圍是 _（答：42mm或）2、直線的斜率： (1)兩條直線鈄率相等是這兩條直線平行的_條件（答：既不充分也不必

60、要） ； （2）實數(shù),x y滿足3250 xy(31x)，則xy的最大值、最小值分別為 _（答：2, 13）3、直線的方程： （1）經(jīng)過點（ 2，1）且方向向量為v=( 1,3)的直線的點斜式方程是_（答：13(2)yx） ； （2）直線(2)(21)(34)0mxmym，不管m怎樣變化恒過點_（答：( 1, 2)） ； （3）若曲線|ya x與(0)yxa a有兩個公共點，則a的取值范圍是 _（答：1a）過點(1,4)a，且縱橫截距的絕對值相等的直線共有_條（答： 3）4. 設(shè)直線方程的一些常用技巧：5、點到直線的距離及兩平行直線間的距離：6、直線1111:0la xb yc與直線2222: