等腰三角形的性質(zhì) (2)

1、等腰三角形的性質(zhì)例1已知：如圖9，點D，E在ABC中的邊BC上，AB=AC，AD=AE.求證：BD=CE.分析：(1)證明思路可利用“等邊對等角”來證明ABDACE，也可用“三線合一”作輔助線解決.(2)作輔助線時，可讓學生比較幾種輔助線作法的優(yōu)劣，最好作底邊上的高線.(3)糾正作輔助線的幾種錯誤：如“作AF平分BC和DE交BC于F”，“作AF平分BAC和DAE”等.練習1 已知：如圖10，AB=AC，DB=DC.求證ABD=ACD說明：(1)證明思路為添輔助線證明三角形全等(連結(jié)AD)或利用等量公理(連結(jié)BC).(2)引導學生比較總結(jié)，克服見到證明線段或角相等，就證明三角形全等的思維定勢，開

2、闊解題思路. 例2 已知：如圖1(a)，在ABC中，AB=AC，BDAC于D求證：分析：找到DBC與A之間的聯(lián)系，得到(2)證明角的倍半關(guān)系的基本思考方法是加倍法和折半法.通過加倍或折半，將問題轉(zhuǎn)化為證明兩個角相等證法三(折半法)如圖1(c)，作AEBC于E，將A折半，只需證DBC=CAE即可，利用同角的余角相等可以實現(xiàn).(3)此題是一個基本結(jié)論：等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半.(對于鈍角等腰三角形照樣適用.)例3 已知：如圖2(a)，AB=AC，在BA延長線上取一點E使AE=AF.求證：EFBC.分析：圖中有兩個等腰三角形ABC與AEF.要證的結(jié)論“兩直線垂直”與“三線合一”

3、性質(zhì)有關(guān)，在兩等腰三角形中，ABC的BC邊上的高與BC垂直，或AEF的EF上的高與EF垂直.根據(jù)圖形的這些特征，可添加輔助線，證明有關(guān)直線的平行或垂直關(guān)系(證三)，也可直接利用“等邊對等角”進行角度之間的運算，推算出90°，得到垂直關(guān)系(證一、二).教師應(yīng)充分發(fā)揮學生的主動性進行發(fā)散思維.證法一 如圖2(b)，延長EF交BC于D，直接證明EDBC. AE=AF，AB=AC， E=1，B=C.又1=2，EDB=180°-E-B，F(xiàn)DC=180°-2-C. EDB=FDC=180°÷2=90° EFBC.證法二：利用方程思想，證法三 如圖2(c)，延長FA到D，使AD=AF，連結(jié)DE.DAE=BAC， D=C，DEBC，D+DEA+AEF+F=180°.在DEF中，D=DEA，AEF=F，DEA+AEF=DEF=90°，DEEF， EFBC.證法四 如圖2(d)，作ADBC于D. AB=AC，ADBC，AD平分BAC.(等腰三角形底邊高平分頂角)又 AE=AF，E=AFE. BAC=E+AFE，即2DAC=2AFE， DAC=AFE， ADEF， EFBC.說明：EF可看成是底邊上高AD平移而來，若讓EF