痛并快樂著談高等幾何學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)美

1、痛并僥樂著一孩咅勢(shì)e佝學(xué)習(xí)中的藪學(xué)美內(nèi)容摘要數(shù)學(xué)有科學(xué)皇后的美譽(yù)，但丸多數(shù)人都覺得數(shù)學(xué)晦澀難懂，怠樣體現(xiàn) 數(shù)學(xué)這住皇后的本來面目,本丈以高等幾何的學(xué)習(xí)為例淡淡數(shù)學(xué)美。 關(guān)鍵字困璉專爰來學(xué)菱思徭提右米盧提倡快樂足球，意思就是：要熱愛足球本身，從足球的運(yùn)動(dòng)中的 到真正的樂趣，而不是為了利益去踢，這樣才可以把足球踢好。i學(xué)習(xí)數(shù)學(xué) 也一樣，如果一個(gè)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)很感興趣，能在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中得到快樂，那 么他就會(huì)自覺的去學(xué)習(xí)。不管在學(xué)習(xí)的過程中遇到什么困難，他都能克服, 并且在痛苦中享受快樂，在痛苦中成長(zhǎng)。這樣的學(xué)習(xí)才真正領(lǐng)會(huì)了數(shù)學(xué)學(xué) 習(xí)的本質(zhì)，而數(shù)學(xué)中可以引起學(xué)生興趣的，不是數(shù)學(xué)以外的東西，而是靠 數(shù)學(xué)美，

2、靠數(shù)學(xué)自身的魅力。下面以射影幾何的學(xué)習(xí)為例談?wù)剶?shù)學(xué)美的幾 個(gè)方面。1自然美數(shù)學(xué)來源現(xiàn)實(shí)，并在實(shí)際需要的刺激下發(fā)展完善，我們所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi) 容都來源于現(xiàn)實(shí)世界。它的美是與生俱來的。這學(xué)期學(xué)習(xí)了射影幾何，我不禁要問：我們所學(xué)拓廣平面在現(xiàn)實(shí)中存在嗎？ 是否是形而上學(xué)？既然我們生活在歐氏空間中，那么歐氏幾何的內(nèi)容已經(jīng) 足夠了，為什么還要學(xué)習(xí)射影幾何？它有什么用？實(shí)際上，這些知識(shí)的提出決不是憑空的，是有實(shí)際依據(jù)的；15, 16世紀(jì)地理大發(fā)現(xiàn)和航海術(shù)的發(fā) 展，人們?cè)絹碓桨l(fā)現(xiàn)所使用的地圖不精確。為了的繪制出更精確的地圖， 才衍生出射影幾何這門學(xué)科，射影幾何應(yīng)畫圖的需要產(chǎn)生。有這些問題的 引入，學(xué)習(xí)知識(shí)就不會(huì)空

3、泛。盡量從現(xiàn)實(shí)世界出發(fā)，從問題出發(fā)，在解決 問題時(shí)同時(shí)引入模型。是數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)思想。我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)決不是為了 考試，而是要學(xué)有所用，用已有的知識(shí)解決實(shí)際的問題，這樣才能體現(xiàn)數(shù) 學(xué)的價(jià)值。這樣的數(shù)學(xué)不再是枯燥的，形而上學(xué)的，而是有用的，學(xué)習(xí)的 人也自然會(huì)被數(shù)學(xué)的自然美所吸引。2簡(jiǎn)單美例1已知非退化二階曲線r及外一點(diǎn)人 過戶求作:r的兩切線.在高中大家一般會(huì)用直尺靠上去粗略的畫一條線。這種畫法雖然理論上正確，但是誤差大，實(shí)際操作不方便。學(xué)習(xí)了配極變換這一章后，我們得到一種新的方法利用已知結(jié)論作戶關(guān)于的極線“設(shè)o交于£幾基pe、pf即可（如圖）這種方法不僅理論正確，而且畫圖較精確，誤差小，

4、但是步驟稍繁了一點(diǎn)；有更簡(jiǎn)捷的方法！過p任作三割線，可得切 線，多么簡(jiǎn)捷美妙！例2已知兩個(gè)二次點(diǎn)列中的三對(duì)相異對(duì)應(yīng)點(diǎn)，d線的任一點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。認(rèn)識(shí)論中說，人們認(rèn)識(shí)事物的過程是叢簡(jiǎn)單到一般，所以當(dāng)我們遇到 比較難解決的問題的時(shí)候，不妨先想象它簡(jiǎn)單的一些特殊情形，說不定會(huì) 的到一些好的啟示，這到作圖題直接做比較困難，但是我們可以先考慮它 的退化情形，當(dāng)二次曲線退化成兩條直線，問題變成兩個(gè)點(diǎn)列上的第四對(duì) 應(yīng)點(diǎn)問題，由此想到steiner作圖法，只要做出透視軸即可。方法也十分 簡(jiǎn)便； 2統(tǒng)一美數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美體現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是數(shù)學(xué)對(duì)其他學(xué)科的統(tǒng)一，另一是 數(shù)學(xué)本身的統(tǒng)一'數(shù)學(xué)對(duì)其他學(xué)科的作用是不言

5、而喻的。古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派信奉： 萬物皆為數(shù)的觀點(diǎn)，并將當(dāng)時(shí)的課程為四大部分算術(shù)幾何音樂天文，分別 對(duì)應(yīng)了數(shù)的絕對(duì)理論，數(shù)的應(yīng)用，靜止的量和運(yùn)動(dòng)的量。柏拉圖更是在自 己學(xué)院的門口刻上，不懂幾何者不得入內(nèi)；說明數(shù)學(xué)對(duì)其他學(xué)科的作用。 實(shí)際上，數(shù)學(xué)的普遍應(yīng)用早就揭示了數(shù)量之間的關(guān)系特征?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)又深 入一步，揭示了構(gòu)成事物或過程各要素之間的聯(lián)系和整體性。例如：愛因 斯坦相對(duì)論以數(shù)學(xué)為工具揭示了時(shí)間空間物質(zhì)能量之間的聯(lián)系和整體性， 量子力學(xué)以數(shù)學(xué)為工具揭示了波和粒子，連續(xù)和間斷的統(tǒng)一性和整體性， 數(shù)學(xué)模型還揭示了各種現(xiàn)象的統(tǒng)一性成為處理這些問題的有利工具。數(shù)學(xué)本身也在尋求統(tǒng)一。使射影幾何達(dá)到登峰造

6、極的felix klein提 出用群的觀點(diǎn)統(tǒng)一整個(gè)數(shù)學(xué)，他通過選擇絕對(duì)形利用射影幾何導(dǎo)出了歐氏 幾何以及雙曲橢圓等非幾何度量，從而說明了射影幾何在邏輯上對(duì)立與歐氏幾何，而歐氏幾何和非歐幾何同可以看做射影幾何的特例或子幾何；klein綱領(lǐng)不僅把歐氏幾何和非歐幾何，而且也把代數(shù)幾何拓不學(xué)等都統(tǒng) 一于射影幾何門下。這個(gè)綱領(lǐng)對(duì)幾何學(xué)產(chǎn)生了長(zhǎng)達(dá)半個(gè)世紀(jì)的影響，所以 十九世紀(jì)有句名言“一切幾何都是射影幾何”。解析幾何和射影幾何的統(tǒng)一：解析幾何和射影幾何在二次曲線部分對(duì)中心，直徑，共軌直徑，漸進(jìn)線等概念給出了不同的定義仿射定義解析定義等價(jià)條件中心,8關(guān)于的極 點(diǎn)c稱為的中 心c為r的對(duì)稱中心(個(gè) cpoo)

7、=-l直徑無窮遠(yuǎn)點(diǎn)戶8的 有窮遠(yuǎn)極線（過 中心的通常直 線）.一組平行弦中點(diǎn)的軌跡("zpoo)-共軌直徑直徑的共軌 直徑為平行于的弦的中點(diǎn) 軌跡必直徑彳的共軌 直徑為上無 窮遠(yuǎn)點(diǎn)poo的極 線防（相互通過 對(duì)方極點(diǎn)的兩 直徑(d zpoo) =-1盡管定義有所不同，但是通過一個(gè)調(diào)和比-1,可以將仿射定義和解析定義 統(tǒng)一起來。齊次坐標(biāo)的引入：在添加了無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)直線之后，拓廣平面已 不同于歐氏平面。原有的笛氏坐標(biāo)已經(jīng)不可使用；引入其次坐標(biāo)使代數(shù)和 幾何的到統(tǒng)一，實(shí)現(xiàn)了射影幾何內(nèi)容的代數(shù)表達(dá)，將解析法證明在射幾中 成可能，推動(dòng)了了射影幾何的發(fā)展。3,對(duì)稱美提到對(duì)稱，我們會(huì)想到軸對(duì)稱

8、，中心對(duì)稱，旋轉(zhuǎn)對(duì)稱等，其實(shí)，對(duì)稱 有著更深刻的涵義和更寬泛的范圍。對(duì)稱的實(shí)質(zhì)就是“變中有不變”。射影 幾何是研究什么的？射影幾何是一門研究在射影“變”換下保持“不變” 的性質(zhì)，所以這門學(xué)科的本質(zhì)的數(shù)學(xué)思想就是對(duì)稱。貫穿全書的對(duì)偶原則，就是對(duì)稱的一個(gè)很好的體現(xiàn)。由于對(duì)偶原則大 大提高了研究的效率，真正達(dá)到了事半功倍的效果。這同時(shí)也是簡(jiǎn)單美的 一個(gè)極大的體現(xiàn)。例如有pascal定理，很容易由它的對(duì)偶命題得到 br ianchon 定理。對(duì)稱的原則對(duì)于解題也有很多幫助。比如：（蝴蝶定理）過圓的弦力的中點(diǎn)0任作另外兩弦ce, df,連結(jié)巧cd交ab亍g, h.求證：g0=0h.一般地我們拿到題目之后

9、會(huì)先畫圖，證明。做完題后再回頭看看反思，題目做完整了嗎？只有這一種畫圖的情形嗎？cedf對(duì)于圖形來說是互相對(duì)稱的。如果我們對(duì)稱的調(diào)換字母c, e的位置，就可以得到另一種情況的圖形，從而給出完整的解答。4,缺憾美（補(bǔ)美）有缺憾有差異，無妨補(bǔ)齊消除不失為美二在射影幾何 中，由于影消線影消點(diǎn)的存在，導(dǎo)致兩平面間的中心射影不是一個(gè)雙射, 存在影消點(diǎn)、影消線的原因：平行的直線沒有交點(diǎn)。如何使得中心射影成 為一個(gè)雙射？給平行線添加交點(diǎn)！改造空間，使得中心射影成為雙射，得 到的拓廣平面已不同與原來的歐氏平面，對(duì)解決實(shí)際問題帶來新的思維。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的在于全面領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)功能，應(yīng)用數(shù)學(xué)思想來解決實(shí)際問 題，又能掌

10、握科學(xué)的思想方法和精神-也許我們將來的工作很少涉及現(xiàn)在 專業(yè)課所學(xué)的內(nèi)容，但不等于現(xiàn)在的學(xué)習(xí)沒有效用，而很可能最大的收益 在于掌握了數(shù)學(xué)的精神思想和方法提高了自己的思維能力，因此對(duì)于數(shù)學(xué) 文化的學(xué)習(xí)越來越受到重視；實(shí)際上對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就是對(duì)數(shù)學(xué)文化的學(xué) 習(xí)。數(shù)學(xué)美就是數(shù)學(xué)文化一個(gè)重要的方面。通過挖掘數(shù)學(xué)中美的內(nèi)涵，培 養(yǎng)數(shù)學(xué)美感和審美心理，用美的特征去觀察思考，類比聯(lián)想猜測(cè)，可以洞 查其內(nèi)在隱蔽的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)新的問題然后解決，同時(shí)自己也被數(shù)學(xué)的自身 魅力所吸引，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中享受樂趣，才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正境界。參考文獻(xiàn)：1, 數(shù)學(xué)通報(bào)2004, 12李尚志，從數(shù)學(xué)享受快樂，數(shù)學(xué)通報(bào)2004, 122, 王青建，論數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)教育