2022年抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性

1、1 抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體的函數(shù)表達(dá)式，只是給出一些特殊關(guān)系式的函數(shù)。它是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)槌橄螅?解題時(shí)思維常常受阻，思路難以展開，而高考中會(huì)出現(xiàn)這一題型， 本文對抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性問題進(jìn)行了整理、歸類，大概有以下幾種題型：一、判斷單調(diào)性和奇偶性1. 判斷單調(diào)性根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)，畫出函數(shù)的示意圖，以形助數(shù)，問題迅速獲解。例1如果奇函數(shù)fx( )在區(qū)間37，上是增函數(shù)且有最小值為5，那么f x( )在區(qū)間73，上是 a. 增函數(shù)且最小值為5b. 增函數(shù)且最大值為5 c. 減函數(shù)且最小值為5d. 減函數(shù)且最大值為5分析：畫出滿足題意的

2、示意圖，易知選b。例2偶函數(shù)f x( )在(0)，上是減函數(shù)， 問f x( )在()，0上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論。分析：如圖所示，易知fx( )在()，0上是增函數(shù)，證明如下：任取xxxx121200因?yàn)閒x( )在(0)，上是減函數(shù)，所以fxfx()()12。又f x( )是偶函數(shù)，所以fxf xfxf x()()()()1122，從而fxf x()()12，故f x( )在()，0上是增函數(shù)。2. 判斷奇偶性根據(jù)已知條件，通過恰當(dāng)?shù)馁x值代換，尋求f x( )與fx()的關(guān)系。例3若函數(shù)yf xf x( )( )0與yfx( )的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，判斷：函數(shù)yf x( )是什么函

3、數(shù)。y 5 o -7 -3 3 7 x -5 y o x 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -2 解：設(shè)yf x( )圖象上任意一點(diǎn)為p（xy00，）yf x( )與yf x( )的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，p xy()00，關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)()xy00，在yf x( )的圖象上，yfxyfx0000()()又yf x00()fxf x()()00即對于函數(shù)定義域上的任意x都有fxf x()( )，所以yf x( )是偶函數(shù)。二、證明單調(diào)性和奇偶性1.證明單調(diào)性例 4已知函數(shù)f(x)= 1)(

4、1)(xgxg, 且 f(x),g(x)定義域都是r,且 g(x)0, g(1) =2,g(x) 是增函數(shù) . g(m) g(n)= g(m+n)(m、nr) 求證： f(x)是r上的增函數(shù)解 : 設(shè)x1x2 g(x)是r上的增函數(shù) , 且g(x)0 g(x1) g(x2) 0 g(x1)+1 g(x2)+1 0 1)(22xg 1)(21xg 0 1)(22xg -1)(21xg 0 f(x1)- f(x2)=1)(1)(11xgxg- 1)(1)(22xgxg=1-1)(21xg-(1-1)(22xg) =1)(22xg-1)(21xg0 f(x1) f(x2) 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d

5、 f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -3 f(x)是r上的增函數(shù)例5已知fx( )對一切xy，滿足ff xyf xf y( )()( )( )00，且當(dāng)x0時(shí)，fx( )1，求證：（ 1）x0時(shí)，01f x( )；（2）f x( )在r上為減函數(shù)。證明：對一切xyr，有f xyf xfy()( )( )。且f ( )00，令xy0，得f ( )01，現(xiàn)設(shè)x0，則x0，fx()1，而ff xfx( )( )()01fxf x()( )1101fx( )，設(shè)xxr12，且xx12，則0121f xx()，f xfxx

6、x()()2211fxxfxfx()()()2111fxfx()()12，即f x( )為減函數(shù)。2.證明奇偶性例6已知f x( )的定義域?yàn)?r，且對任意實(shí)數(shù)x，y滿足f xyf xf y()( )( )，求證：f x( )是偶函數(shù)。分析：在f xyf xf y()( )( )中，令xy1，得ffff( )( )( )( )11110令xy1，得ffff( )()()()11110于是fxfxff xf x()()()( )( )11精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -4 故f x(

7、 )是偶函數(shù)。三、求參數(shù)范圍這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運(yùn)算式中，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，去掉“f”符號，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。例7已知fx( )是定義在（11，）上的偶函數(shù)，且在（0，1）上為增函數(shù)，滿足f afa()()2402，試確定a的取值范圍。解：fx( )是偶函數(shù)，且在（0，1）上是增函數(shù)，f x( )在()10，上是減函數(shù)，由1211412aa得35a。（1）當(dāng)a2時(shí)，f afaf()()( )2402，不等式不成立。（2）當(dāng)32a時(shí)，f afaf aaaaaa()()()24412014024322222解之得，（3）當(dāng)25

8、a時(shí)，f afa()()242f aaaaaa()22240210412425解之得，綜上所述，所求a的取值范圍是()()3225，。例8已知fx( )是定義在(，1上的減函數(shù)，若f mxf mx(sin )(cos)221對精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -5 xr恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：mxmxmxmx22223131sincossincos對xr恒成立mxmxmx22231sinsincos對xr恒成立mxmmxxx2222311254sinsincos(sin)對xr

9、恒成立，mmmm223115421102為所求。四、不等式1.解不等式這類不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值，再通過函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號“f”，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。例9已知函數(shù)fx( )對任意xyr，有f xfyfxy( )( )()2，當(dāng)x0時(shí)，fx( )2，f ( )35，求不等式f aa()2223的解集。解：設(shè)xxr12、且xx12則xx210fxx()212，即f xx()2120，f xfxxxf xxf xf xf xf x()()()()()()()22112111212精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

10、 5 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -6 故f x( )為增函數(shù)，又fffff( )()( )( )( )3212123145ff aafaaa( )()( )1322312211322，即因此不等式f aa()2223的解集為aa| 13。2. 討論不等式的解求解這類問題利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，脫去函數(shù)符號。例10已知函數(shù)f x( )是定義在(，1上的減函數(shù)，且對一切實(shí)數(shù)x，不等式f kxf kx(sin )(sin)22恒成立，求 k的值。分析：由單調(diào)性，脫去函數(shù)記號，得kxkxkxkxkkx222222221111412sinsinsinsin( )(sin)(2)由

11、題意知 (1)(2)兩式對一切xr恒成立，則有kxkkxk2222111412941(sin)(sin)minmax五、比較函數(shù)值大小利用函數(shù)的奇偶性、對稱性等性質(zhì)將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用其單調(diào)性使問題獲解。例11 已知函數(shù)f x( )是定義域?yàn)?r的偶函數(shù)，x0時(shí)，f x( )是增函數(shù)， 若x10，x20，且| |xx12，則fxfx()()12，的大小關(guān)系是_。分析：xx1200，且| |xx12，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -7 001221xxxx又x0時(shí)

12、，f x( )是增函數(shù)，fxf x()()21f x( )是偶函數(shù)，fxf x()()11故fxfx()()12六、綜合問題求解解題時(shí)需把握好如下三點(diǎn)：一是注意函數(shù)定義域的應(yīng)用，二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函數(shù)符號“f”前的“負(fù)號”，三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號“f”。例12. 設(shè)函數(shù)yfx( )定義在 r上，當(dāng)x0時(shí)，f x( )1，且對任意mn，有f mnf mf n()()( )，當(dāng)mn時(shí)f mf n()( )。（1）證明f ( )01；（2）證明：fx( )在r上是增函數(shù)；（3）設(shè)axyf xfyf()|()()( )，221，bxyf axbycabcra()| ()， ， ，10，若

13、ab，求abc， ，滿足的條件。解：（ 1）令mn0得fff( )( )( )000，f ( )00或f ( )01。若f ( )00， 當(dāng)m0時(shí)， 有f mf mf()()( )00， 這與當(dāng)mn時(shí)，f mf n()( )矛盾，f ( )01。（2）設(shè)xx12，則xx210，由已知得f xx()211，因?yàn)閤10，f x()11，若x10時(shí)，xfx1101， ()，由ff xfx( )()()011精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -8 f xfxf xf xxf xfxf xr()()()()()()( )1