2022年廣工概率論第四章習題(答案)

1、優(yōu)秀學習資料歡迎下載1. 試依據(jù)習題3第1題隨機變量的概率分布列寫出的分布函數(shù)，并畫出分布函數(shù)的圖形；解：概率分布列為00.027010.189x20.441030.3430.0270x1其分布函數(shù)為f x0.2161x20.6572x31x3（圖形略）；2. 已 知 離 散 型 隨 機 變 量的 分 布 函 數(shù) 是0，x01 ，f x 105 ，10110 x21 x121x試 求 的 概 率 分 布 列 ；解： pp0f 01 f 1 f 001011010f 105142p12f 12f 1010101015510100112.1451010103.已 知的 分 布 函 數(shù) 為0 ,1

2、,3xx110f x 1 ,20x12,131,2xx2試 求2的 分 布 函 數(shù) ；解： p1f 1f 101313122301312231161613而2，從而016112413016231y00y1的分布函數(shù)為f y.1y4y4p 0f 0f 00p 1f 1f 10p 2f 2f 2010121111 .36634. 已知離散型隨機變量的分布列和分布函數(shù)可以寫出011.51ab 30,r,s,231c6x11x00 x1f x1 , 2t,u,1 x22 x33 x其中 a, b, c, r , s, t , u是常數(shù)，試先求概率p1.2， p0.5, 再求常數(shù)a, b,c, r ,

3、s, t, u的值；解： p1.2f 1.2f 1.2011022p0 p1 p30.5 1 1 0pf f 00.51p 0112331f 10r0rr0f 00srss132f 20ut1f 301111ap1p61f 12f 2f 10sa661t223又x3時，f x1，211cp 3而pi1，if 3從而31ab136c33c1，b0因此， a1 ， b 60， c1 ， r 30， s1 ， t 32 ， u1.35. .設連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)是x2f x abe2 ,x00 ,x0求系數(shù)a 和 b .解：由limxf x1，得limaxx 2be2a，a1又由于連續(xù)型隨機變量

4、的分布函數(shù)也連續(xù)，所以 limf xlimf x從而0lim ax 2be2ab ，b1.x0x0x06. 設隨機變量的密度函數(shù)為f xa,x11x 20,x1試求：（ 1）系數(shù) a；（2）概率 p1 ；2（3）分布函數(shù) f x .解：1解得 af xdx1， 11adx111x 2 2p1 p111 21dx1212223 3f x21x0x1x112dx1x1121x0x11 arcsin x1x1.1x11x17. 設隨機變量聽從拉普拉斯分布，其密度函數(shù)為f xxae,x試求：（2） 概率1）系數(shù)p 0a；1;（3） 分布函數(shù)f x .解：1解得 af xdx1，12ae x dx12p

5、011 1 ex dx1 1 exdx11 e 10 20222x1 exdxx01 exx03 f x22.01 exdxx 1 ex dx0x11 e x0x20228. 設隨機變量聽從瑞利x 2 rayleigh 分布，其密度函數(shù)為f x x22e,x020 ,x0試求：e， d， p e.解： exf x dxx 2xex2202dx222x222exf xdxx20x22e2dx22dep e e p2 2222x 2e2x2 2 dxe 4 .9. 在每次試驗中，大事a發(fā)生的概率為0.5，試用切比雪夫不等式估量，在1000次獨立重復試驗中，事 件a發(fā)生450到550次之間的概率；解

6、：設在1000次試驗中a發(fā)生次，就 b1000,0.5，從而 enp500，dnpq250，由切比雪夫不等式得到：p 450550p500501d 50 20.9.10. 一個供電網(wǎng)內共有1萬盞功率相同的燈，在夜晚的某段時間內每盞燈開著的概率是0.7 ，設各盞燈的開或關彼此獨立，求該時段內同時開著的燈數(shù)在6800到7200之間的概率；使用切比雪夫不等式估算此概率的值；解：設代表同時開著得燈數(shù)，從而b10000,0 .7 enp7000， dnpq2100由切比雪夫不等式可得p 68007200p7000200 1d 200 20.9475.11. 設一條自動生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品之合格率為0.8 ，

7、要使一批產(chǎn)品的合格率達到0.76與0.84之間的概率不小于應生產(chǎn)多少件；0.9 ，試用切比雪夫不等式估量這批產(chǎn)品至少解：設至少生產(chǎn)n件，其中合格品件數(shù)為 bn,0.8，從而enp0.8n， dnpq0.16n又p0.760.84n1p 0.76nd 0.04 n20.84 np1100n0.8n0.04n由題意p 0.76n0.840.9所以1100n0.9，從而 n1000故，至少應生產(chǎn)1000件產(chǎn)品；12. 設隨機變量在0，1上聽從勻稱分布，試求一常數(shù) a，使任取 4次的值，至少有1個大于 a的概率為 0.9；解： 的密度函數(shù)f x1x0,10其他令a “取1次的值大于a”，就1pp af

8、 xdxa1dx1aa令 代表4次取值中，大事a發(fā)生的次數(shù)，就 b4, pp11p01c 0 p01p 41a 40.94從而a 40.1a4 0.10.562.13. .設隨機變量在1,6上聽從勻稱分布，求方程 x 2x10有實根的概率；解： 的密度函數(shù)為f x1x1,650 其他方程 x 2x10有實根，就 2402或2pf xdx20dx6 1 dx4 .x 2 4 02 5514. 客車到達某一站的時刻為每個整點的第5分、25分、55分鐘；設一乘客在早8點到9點間隨時到達該站，求 候車時間的數(shù)學期望；解：設乘客到站時刻為8點分，就 u 0,60，令候車時間為，就505255255525

9、5560555605125155160e 50xdx 60255xdx 605525xdx 6065551xdx 6011.（7 分）15. 假定在國際市場上每年對我國某種出口商品的需求量 u 2000,4000 單位： t，設每售出此商品1t，可得外匯3萬元，如因售不出而囤積，倉庫就需花保養(yǎng)費1萬元/ t，問組織多少貨源可使收益最大；解： u 2000,4000，就的密度函數(shù)為f x1200002000x其他4000組織貨源x 0，再令收益為，就3 x 0x 034000e 3 x x 01 dxx 0x03 x xx 1dx0x002000200002000120003 x04000x 0

10、 1 9x 2088000x 2 要使 e最大，就d ed0，從而x03500（ t）16. 設隨機變量具有連續(xù)的分布函數(shù)f x ，試證f 是0,1上的勻稱分布；解：由于 f x單調連續(xù)，且 0f x1，從而當y0時， p y0當y1時， py1在 y0,1時， pypf ypf1 yf f 1 yyf y0y0y0y11y1從而f y10y10其他因此，f 是0,1上的勻稱分布；17. 設 n 1,22 ，試查表求出以下概率：(1) p 3p2.2；3.5；(2) p4 p1.65.8；4.56.解：由于 n 1,22 ，所以有：(1) p2.2p122.212p120.6 0.60.725

11、7(2) p1.65.8p1.61215.8122p 1.312.42 2.4 1.32.41.310.8950(3) p3.5p3.53.5p3.51213.51221.252.2510.8822(4) p4.561p4.564.561p4.561 214.5612211.782.7810.0402.18. 設 n 60,9，試求出分點x1， x2， x 3， x4使落在區(qū)間 , x1 , x1， x 2 , x 2， x3 , x 3， x4 , x 4 ,內的概率值之比為7：24：38：24：7.解：由 n 60,9，令60 3n 0,1由正態(tài)分布密度函數(shù)的對稱性，可見x 460 x16

12、0 ， x 360 x260由x3603由x4600.69，得到0.93，得到x 3603x 4600.496，從而1.474，從而x 361.488， x2x64.422， x58.51255.578.413319. 設 n 2,2 ，如 p120.6826，求 .解：由 n 2,2 ，令2 n 0,1p12p12222 p32113 1 3 10.6826 3 0.8413，從而 31，因此3.20. 測量到某一目標的距離時發(fā)生的隨機誤差 x 20 2（米）具有概率密度f x1402e3200求在 3次獨立的測量中至少有1次誤差的肯定值不超過30米的概率；解：由題意， n 20,402 令

13、a “1次誤差的肯定值不超過 30米”，就p ap30p 3030p3020203020p1.2540200.2540400.25401.2510.4931以 代表3次獨立重復測量中，時間a發(fā)生的次數(shù)，就 b3,0.4931p11p11p0110.493130.8698.21. 試用棣莫弗拉普拉斯定理重新估算前面第10題的概率，并說明與第10題的結果相比較孰優(yōu)、孰劣，為什么？解：由題意， b10000,0.7，由棣莫弗拉普拉斯定理，p 68007200p 680010700021700010217200107000 212 4.3610.999這個結果當然比用切比雪夫不等式估算得好，那時只用的

14、數(shù)學期望及方差的信息，現(xiàn)在用了是二項分布這個信息；22. 試用棣莫弗拉普拉斯定理重解前面第11題，并對所得結果作一比較；解：設 b n,0.8，由棣莫弗拉普拉斯定理，p0.760.84p 0.76n0.8n0.8n0.84n0.8n 20.1n10.9n 0.1 n0.16n0.95，查表可得0.10.16nn1.64，所以0.16nn268.96因此， n至少為 269件；這個結果比用切比雪夫及方差，而無概率分布不等式估算得好，但是方面的信息時，切比雪，當隨機變量只有數(shù)學 期望夫不等式仍是特別有用 的；23. 設電視機的使用壽命舊電視機，問尚能使用是聽從參數(shù)值5年以上的概率；如0.1的指數(shù)分

15、布，某人買了不聽從指數(shù)分布，設其一臺分布函數(shù)為 f x，且已知此電視機已用過s年，就上述的概率將成什么？解： 的密度函數(shù)為f x0.1e0. 1xx0p50.1e50.1x dx0e 0.5其他0.6065ps5sps51ps51f s5 .ps1ps1f s24. 設隨機變量聽從勻稱分布；聽從參數(shù)為2的指數(shù)分布，試證12 e 2 xe 2 在區(qū)間 0,1上x0解 ：e 2 ，的 密 度 函 數(shù) 為f x 0其 他當 0y1時 ， p y p 1e 2yp 1 ln 12y1 ln 1y 22 e 2 x dxy00y010y1f y 1p e 2yy1u 0 ,1.0y1，y1f y0其 他

16、25. 某廠產(chǎn)品的壽命t （單位：年）聽從指數(shù)t分布，其概率密度函數(shù)為f t1 e 5 ,t050,工廠規(guī)定，售出的產(chǎn)品t0如在 1年內損壞可以調換；如工廠售出1件產(chǎn)品可獲利 100 元，調換數(shù)學期望值；1件產(chǎn)品工廠要缺失300 元，試求工廠售出1件產(chǎn)品獲利的100t1解：由題意，1件產(chǎn)品獲利 p3000t1tt1110.2就e p300e 5dt100e 5 dt400e30005126.設一個部件的失效時間 t（單位： h）聽從正態(tài)分布， t n獲得 0.90，0.95，0.99的牢靠度，應分別考慮 讓這個部件參與多少小27.4990,52 時的運5，為了行；解：由題意，t n 90,5

17、2 ，就正態(tài)失效率的牢靠性函數(shù)為r tptt1ptt1ptt1 t從而1 t90 5 90t 50.9（或 0.95或0.99）查表得90t1.281.642.33（或或）5從而t83.55（或 81.77 或78.35）小時；27. 設一個裝置的壽命長度 當0tt0時，具有常數(shù)失效率c 0，而在 tt 0時具有另一個常數(shù)失效率c1，試求失效時間t的概率密度；解：由定理就f用失效率4，如失效時間z可表成t是具有密度函數(shù)f的隨機變量，且f 00，f tz t etz t ds0從而t0，f t0t0tt0， f tc 0ec0 ds0c 0ec 0ttt0， f tc1et0c 0ds 0tc1

18、dst0c1ec0 t0c 1 tt0 f t0c0 ec 0tt00tt0 .c1 ec 0t0c1 tt 0 tt028. .設某個衛(wèi)星的壽命長度是聽從指數(shù)分布的隨機變量，期望壽命是2年，如同時發(fā)射的概率；3 顆這樣的衛(wèi)星，問3年后，至少仍有1顆衛(wèi)星仍在軌道上運行解：令代表某個衛(wèi)星的壽命長度，由于 e 2，從而1 ，2所以e 12，其密度函數(shù)為f x 0.5e0.5xx00令 a “ 3年后，此衛(wèi)星仍正常運其他行”，就p ap30.5e30.5 x dxe 1. 5令 代表“3年后，仍在軌道運行的衛(wèi)星數(shù)量”，就 b 3, e1.5 p11p11p 011e1.5 30.53229. 設有 3個相互獨立運行的部件小時的牢靠度是聯(lián)成如題圖的1個系統(tǒng)，如每個部件運 行tr