第6講二次曲面

1、1高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 多元微積分學(xué)多元微積分學(xué) 大大 學(xué)學(xué) 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)（二二）第一章第一章 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何2上節(jié)內(nèi)容回顧上節(jié)內(nèi)容回顧第五節(jié)第五節(jié) 空間曲面、空間曲線及其方程空間曲面、空間曲線及其方程本節(jié)教學(xué)要求： 了解空間曲面、空間曲線的概念。 熟悉球面方程、柱面方程、旋轉(zhuǎn)曲面方程。 了解空間曲線的一般方程、參數(shù)方程。 能計(jì)算空間曲線在坐標(biāo)面上的投影。3第六節(jié)第六節(jié) 二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程了解了解常見(jiàn)的二次曲面的方程與圖形、特性.4xyzxyzo平行定直線并沿定曲線 C 移動(dòng)的直線 l 形成的軌跡叫做柱面柱面. 表示拋物柱面拋物柱面,母線平

2、行于 z 軸;準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面橢圓柱面.xy2212222byaxz 軸的平面平面.0 yx表示母線平行于 (且 z 軸在平面上)表示母線平行于C 叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做母線母線.xyzoo：5xzy2l柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準(zhǔn)線 xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線 l1.母線準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線 l2. 母線表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l6例解解 2 , 與曲面準(zhǔn)線為平面軸求母線平行于zz 194222的交線的柱面方程。zyx 準(zhǔn)線方程1

3、94222zyx 2z 2 上的曲線即為平面z ) 2 ( , 59422上在平面zyx 故所求柱面方程為 ) ( 59422軸的橢圓柱面母線平行于。zyx7一條平面曲線 繞其平面上一條定直線定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸軸 . .例如例如 :8的圓錐面方程. 解解: 在yoz面上直線L 的方程為cotyz 繞z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為cot22yxz)(2222yxazcota令xyz兩邊平方L), 0(zyM9xy12222czax分別繞 x軸和 z 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解: :繞 x 軸旋轉(zhuǎn)122222czyax繞 z 軸旋轉(zhuǎn)12

4、2222czayx這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為z10 :曲面的對(duì)稱性 , ),(),( . 1zyxFzyxF若 )( 其余類推對(duì)稱。則曲面關(guān)于坐標(biāo)面 xy , ),(),( . 2zyxFzyxF若)( 其余類推軸對(duì)稱。則曲面關(guān)于坐標(biāo)軸 x , ),(),( . 3zyxFzyxF若 稱。則曲面關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)11 常見(jiàn)的二次曲面常見(jiàn)的二次曲面1.橢球面2. 雙曲拋物面3. 橢圓拋物面4. 單葉雙曲面5. 雙葉雙曲面12定義定義: 上三元二次方程所表示的曲面稱二次曲面.其中 不全為0.0321321222fzeyexeyzdxzdxydczbyax321,dddcb

5、a截痕法截痕法思想思想:用一些平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截,考察其交線的形狀,然后加以綜合,進(jìn)而了解曲面的全貌.一、二次曲面方程一、二次曲面方程131. 方程:1222222czbyax(a, b, c 0) 橢球面zyxz14討論:3)截痕:22022221czbyaxz = z0為橢圓族. z0 = 0時(shí), 最大.| z0 | = C 時(shí), 縮為一點(diǎn)(0, 0, z0)若 a=b=c, 為一球面.1) 有界性.zoxyOabbcca1222222czbyax2) 對(duì)稱性.15 當(dāng) ab 時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;z162. 方程zqypx2222(p, q 同號(hào))討論: 橢圓拋物面.2)02222z

6、qypxz = z0z00 橢圓.qyzpx22202y = y0 拋物線. 開(kāi)口朝上.1) p, q 0時(shí), z 0 . z = 0時(shí), x = y = 0zyxo圖2117pxzqy22202x = x0 拋物線. 開(kāi)口朝上.若 p, q 0) 單葉雙曲面單葉雙曲面.221zc20by 1) 1上的截痕為平面1zz 橢圓.時(shí), 截痕為22122221byczax(實(shí)軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）1yy zxy1yy 平面 上的截痕情況:雙曲線: 2222xyab221zc21虛軸平行于x 軸）by 1)2時(shí), 截痕為0czax)(bby或by 1)3時(shí), 截痕為22122221bycz

7、ax(實(shí)軸平行于z 軸;1yy zxyzxy相交直線: 雙曲線: 0225. (a, b, c 0) 雙葉雙曲面雙葉雙曲面.0zxy2222xyab22zc123),(1222222為正數(shù)cbaczbyax上的截痕為平面1yy 雙曲線上的截痕為平面1xx 上的截痕為平面)(11czzz橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別: 雙曲線zxyo222222czbyax單葉雙曲面11雙葉雙曲面24),(22222為正數(shù)bazbyax上的截痕為在平面tz 橢圓在平面 x0 或 y0 上的截痕為過(guò)原點(diǎn)的兩直線 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以證明, 橢圓上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上.(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng) x 或 y 方向的伸縮變換得到. )xyz25下列方程表示怎樣的曲面.(1)194222zyx(2)36493622zyx(3)09222zyx(4)022xzy( 橢 球 面橢 球 面 )(橢圓拋物面橢圓拋物面)( 圓 錐 面圓 錐 面 )(旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面)思考思考261. 空間曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋轉(zhuǎn)曲面如, 曲線00),(xzyf繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母線平行 z 軸的柱面.又如,橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 .27三元二次方