剛體的定軸轉動及轉動定律

1、第三章第三章 剛體的轉動剛體的轉動3 1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體：剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體. 一、剛體的運動形式：平動、轉動一、剛體的運動形式：平動、轉動 . 剛體平動剛體平動 質點運動質點運動1、平動：、平動：若剛體中所有點的運動軌跡若剛體中所有點的運動軌跡 都保持完全相同，或都保持完全相同，或 者說剛體內任意兩點間的連線總是平行于它們的者說剛體內任意兩點間的連線總是平行于它們的 初始位置間的連線初始位置間的連線 . 4-1、剛體的定軸轉動、剛體的定軸轉動第三章第三章 剛體的轉動剛體的轉動3 1 剛體的定軸轉動剛體的

2、定軸轉動剛體平動的特點：剛體平動的特點：（1）、剛體內所有點具有相同的位移、速度和加）、剛體內所有點具有相同的位移、速度和加 速度。速度。2、轉動：、轉動：剛體中所有的點都繞同一直線做圓周運動剛體中所有的點都繞同一直線做圓周運動. 轉動又分轉動又分定軸轉動定軸轉動和和非定軸轉動非定軸轉動 .（2）、剛體上任一點的運動規(guī)律即代表剛體的平動）、剛體上任一點的運動規(guī)律即代表剛體的平動 規(guī)律。規(guī)律。第三章第三章 剛體的轉動剛體的轉動3 1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動剛體轉動的特點：剛體轉動的特點：（1）、剛體內所有的點（質元）具有相同的角位移、）、剛體內所有的點（質元）具有相同的角位移、 角速度和角

3、加速度。角速度和角加速度。（2）、剛體上任一點作圓周運動的規(guī)律即代表了剛）、剛體上任一點作圓周運動的規(guī)律即代表了剛 體定軸轉動的規(guī)律。體定軸轉動的規(guī)律。3、剛體的運動：一般情況下，剛體都可看成是平動剛體的運動：一般情況下，剛體都可看成是平動 和轉動的合成運動。和轉動的合成運動。第三章第三章 剛體的轉動剛體的轉動3 1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動 剛體的一般運動：剛體的一般運動： 質心的平動質心的平動繞質心的轉動繞質心的轉動+第三章第三章 剛體的轉動剛體的轉動3 1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動x一、剛體轉動的角速度和角加速度一、剛體轉動的角速度和角加速度z參考平面參考平面)()(ttt2、角

4、位移：、角位移：)(t 1、角坐標、角坐標:0r 沿逆時針方向轉動沿逆時針方向轉動 :若若 則則 與角速度反向。與角速度反向。21大?。捍笮。悍较颍悍较颍旱谌碌谌?剛體的轉動剛體的轉動3 1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動二、勻變速轉動公式二、勻變速轉動公式 剛體剛體繞繞定軸作勻變速轉動定軸作勻變速轉動質點質點勻變速直線運動勻變速直線運動at0vv2102xtatv2202a xvv0t2202 2102tt勻變速轉動：勻變速轉動：剛體勻變速轉動與質點勻變速直線運動公式對比剛體勻變速轉動與質點勻變速直線運動公式對比轉動的轉動的角加速度為恒量角加速度為恒量的運動。的運動。第三章第三章 剛體的轉

5、動剛體的轉動3 1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動三、角量與線量的關系三、角量與線量的關系tervrv2tnarereatetana1、速度與角速度、速度與角速度2、加速度與角加速度、加速度與角加速度第三章第三章 剛體的轉動剛體的轉動3 1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動飛輪飛輪 30 s 內轉過的角度內轉過的角度rad75)6(2)5(22202210srad6srad3050t 例例1 一飛輪半徑為一飛輪半徑為 0.2m、 轉速為轉速為150rmin-1， 因受制動而均因受制動而均勻減速，經勻減速，經 30 s 停止轉動停止轉動 . 試求：試求：（1）角加速度和在此時間）角加速度和在此時間內飛

6、輪所轉的圈數(shù)；（內飛輪所轉的圈數(shù)；（2）制動開始后）制動開始后 t = 6 s 時飛輪的角速度；時飛輪的角速度；（3）t = 6 s 時飛輪邊緣上一點的線速度、切向加速度和法向加時飛輪邊緣上一點的線速度、切向加速度和法向加速度速度 .解：解：（1）,srad510. 0 t = 30 s 時，時，設設.飛輪做勻減速運動飛輪做勻減速運動00時，時， t = 0 s 第三章第三章 剛體的轉動剛體的轉動3 1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動（2）s6t時，飛輪的角速度時，飛輪的角速度110srad4srad)665(t（3）s6t時，飛輪邊緣上一點的線速度大小時，飛輪邊緣上一點的線速度大小22sm5

7、. 2sm42 . 0rv該點的切向加速度和法向加速度該點的切向加速度和法向加速度22tsm105. 0sm)6(2 . 0ra轉過的圈數(shù)轉過的圈數(shù)r5 .372752N2222nsm6 .31sm)4(2 . 0ra第三章第三章 剛體的轉動剛體的轉動3 1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動 例例2 在高速旋轉的微型電機里，有一圓柱形轉子可繞垂直其橫截在高速旋轉的微型電機里，有一圓柱形轉子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉動面通過中心的軸轉動 . 開始時，它的角速度開始時，它的角速度 ，經，經300s 后，后，其轉速達到其轉速達到 18000rmin-1 . 已知轉子的角加速度與時間成正比已知轉子的角

8、加速度與時間成正比 . 問問在這段時間內，轉子轉過多少轉？在這段時間內，轉子轉過多少轉？00解解 由題意，令由題意，令 ，即，即 ，積分，積分 ctcttddtttc00dd得得221ct當當t=300s 時時11srad600minr18000所以所以3322srad75srad30060022tc第三章第三章 剛體的轉動剛體的轉動3 1 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動轉子的角速度轉子的角速度232srad15021tct由角速度的定義由角速度的定義23srad150ddtt得得tttdsrad150d0230有有33srad450t在在 300 s 內轉子轉過的轉數(shù)內轉子轉過的轉數(shù)43103

9、)300(45022N32srad)75(2tc第三章第三章 剛體的轉動剛體的轉動3 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量Pz*OMFrdFrM剛體上剛體上P點的力點的力 對轉軸對轉軸 Z 的力矩為：的力矩為： F 一一 力矩力矩 M方向：右手定則方向：右手定則FdFrMsin大?。捍笮。?,0iiMFFF例例0,0iiMFFF力臂力臂第三章第三章 剛體的轉動剛體的轉動3 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量zOkFr討論討論FFFMrFrFzFF 2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和: :321MMMM 1）若力若力 不在轉動平面內不在轉動平面內

10、F則：則：()rFFsinrFk第三章第三章 剛體的轉動剛體的轉動3 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量3） 剛體內剛體內作用力和反作用力作用力和反作用力的力矩互相的力矩互相抵消。抵消。jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM第三章第三章 剛體的轉動剛體的轉動3 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量Ormz二二 轉動定律轉動定律FtFnFtrFM2Mmr 1、 單個質點單個質點 與轉軸剛性連接（與轉軸剛性連接（ 在轉動平面內）在轉動平面內）mF:即即2mrtnFFF()tnMrFFma rMF rtartrFk受力：受力：力矩：力矩：第三章第三章 剛體的轉

11、動剛體的轉動3 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量2、剛體轉動定律、剛體轉動定律OzjmjrjFejFiijejjFFF質元質元 受力為：受力為：jm2jejijjjMMMm r 其合力矩為：其合力矩為：jejijMMM則該質元的合力矩為：則該質元的合力矩為：第三章第三章 剛體的轉動剛體的轉動3 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量0ijjM 2e(jjjjMMm r)由此可得，質點系（剛體）的合力矩為：由此可得，質點系（剛體）的合力矩為：2ei()jjjjjjMMm r 內力矩之和為零內力矩之和為零即：質點系的合力矩為所受外力力矩之和即：質點系的合力矩為所受外力力矩

12、之和第三章第三章 剛體的轉動剛體的轉動3 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量 剛體定軸轉動的角加速度與它所受的剛體定軸轉動的角加速度與它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比 ，與剛體的，與剛體的轉動慣量轉動慣量成反比成反比 .2(jjMm r) 轉動定律：轉動定律：MJ 2jjjrmJ轉動慣量（轉動慣量（J）：）：第三章第三章 剛體的轉動剛體的轉動3 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量mrJrmJjjjd,22三三 轉動慣量轉動慣量 1）質量離散分布剛體的轉動慣量：）質量離散分布剛體的轉動慣量：2222112rmrmrmJjjj2、轉動慣量的計算方法：、轉動慣量的計算

13、方法： 2）質量連續(xù)分布剛體的轉動慣量：）質量連續(xù)分布剛體的轉動慣量：mrrmJjjjd22：質量元：質量元md描述剛體轉動過程中轉動慣性大小的物理量描述剛體轉動過程中轉動慣性大小的物理量.（ 轉動轉動慣量的大小取決于剛體的慣量的大小取決于剛體的質量質量、形狀及轉軸的位置形狀及轉軸的位置 .）1、物理意義：、物理意義：第三章第三章 剛體的轉動剛體的轉動3 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量2 對質量線分布的剛體：對質量線分布的剛體：lmdd：質量線密度：質量線密度2 對質量面分布的剛體：對質量面分布的剛體：Smdd：質量面密度：質量面密度2 對質量體分布的剛體：對質量體分布的剛體

14、：Vmdd：質量體密度：質量體密度：質量元：質量元md 質量連續(xù)分布剛體的轉動慣量質量連續(xù)分布剛體的轉動慣量mrrmJjjjd22第三章第三章 剛體的轉動剛體的轉動3 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量lO O解：解： 設棒的線密度為設棒的線密度為 ，取一距離轉軸，取一距離轉軸 OO 為為 處處 的質量元的質量元 rrmddlrrJ02drd32/02121d2lrrJl231mlr例例1 一一質量為質量為 、長為長為 的的均勻細長棒，求通過棒中心并與均勻細長棒，求通過棒中心并與 棒垂直的軸的轉動慣量棒垂直的軸的轉動慣量 .mlrd2l2lO O2121ml如轉軸過端點且垂直于棒

15、：如轉軸過端點且垂直于棒：22dddJrmrr 第三章第三章 剛體的轉動剛體的轉動3 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量OROR4032d2RrrJRrdr一質量為一質量為m 、半徑為、半徑為R的均勻圓盤，求通過盤中心的均勻圓盤，求通過盤中心 O 并與盤面垂直的軸的轉動慣量并與盤面垂直的軸的轉動慣量 .例例2、 解解 設圓盤面密度為設圓盤面密度為 ，在盤上取半徑為在盤上取半徑為 ，寬為，寬為 的圓環(huán)的圓環(huán)rrd2 Rm而而rrmd2d圓環(huán)質量圓環(huán)質量221mRJ 所以所以rrmrJd2dd32圓環(huán)對軸的轉動慣量圓環(huán)對軸的轉動慣量第三章第三章 剛體的轉動剛體的轉動3 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量2dmdVr h dr hrmVm2 dvrJm2 drrrhR 022 212mR解：解：其中：其中：所以：所以：例例3 3 ：質量為質量為m m、高為、高為h h、半徑為、半徑為r r的均勻圓柱體，求其對的均勻圓柱體，求其對圓柱中心的轉動軸的轉動慣量？圓柱中心的轉動軸的轉動慣量？第三章第三章 剛體的轉動剛體的轉動3 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量第三章第三章 剛體的轉動剛體的轉動3 2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量2mdJJCO