第七講 矩陣的乘法運(yùn)算

1、1 1 1第二講第二講 矩陣的乘法運(yùn)算矩陣的乘法運(yùn)算第二章第二章 矩陣及其運(yùn)算矩陣及其運(yùn)算 2 2 2 skkjiksjisjijiijbabababac12211 1,2,;1,2,im jn并把此乘積記作并把此乘積記作.ABC ()()ijijijAamsBbsnABmnCc 設(shè)設(shè)是是一一個(gè)個(gè)矩矩陣陣，是是一一個(gè)個(gè)矩矩陣陣，那那么么規(guī)規(guī)定定矩矩陣陣 與與矩矩陣陣 的的乘乘積積是是一一個(gè)個(gè)矩矩陣陣其其中中一、定義一、定義例如例如:222263422142 C22 16 32 816?3 3 3 106861985123321例如例如 123321 132231 .10 不存在不存在. .注意

2、：注意： 要使要使C= =AB有意義，則有意義，則A的列數(shù)必須等于的列數(shù)必須等于B的行的行數(shù)，且矩陣數(shù)，且矩陣C的第的第i行第行第j列元素正好是列元素正好是A的第的第i行與行與B的的第第j列對(duì)應(yīng)元素乘積之和。列對(duì)應(yīng)元素乘積之和。4 4 4注意注意：1. 乘積矩陣的第乘積矩陣的第i行第行第j列元素等于左矩陣的第列元素等于左矩陣的第i行元行元素與右矩陣的第素與右矩陣的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積之和列對(duì)應(yīng)元素乘積之和.2. 只有當(dāng)左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)時(shí)，矩陣的只有當(dāng)左矩陣的列數(shù)等于右矩陣的行數(shù)時(shí)，矩陣的乘積才有意義乘積才有意義.3. 兩個(gè)矩陣的乘積仍然是一個(gè)矩陣，且乘積矩陣的兩個(gè)矩陣的乘積仍然是一個(gè)

3、矩陣，且乘積矩陣的行數(shù)等于左矩陣的行數(shù)，乘積矩陣的列數(shù)等于右矩行數(shù)等于左矩陣的行數(shù)，乘積矩陣的列數(shù)等于右矩陣的列數(shù)陣的列數(shù).5 5 5. 5 671026 2 17 10 415003112101A 121113121430B又如又如 121113121430415003112101ABC6 6 6AB求求無(wú)無(wú)意意義義此此處處 BABAAB、求求3設(shè)設(shè)例例B204131,A1324解解AB19101244設(shè)設(shè)例例B0110,A1001解解,AB0110BA01107 7 7解：解：()nnnnnnn nbabababbbababaBAaaabbababa1 11 21122 12 221212

4、()nnbbABaaab1212)(2211nnbababa BAAB、求求設(shè)設(shè)例例5(),nAaaa12,nbbBb128 8 8BCAC BA 但但此處此處BCAC、求求6設(shè)設(shè)例例,ABC315100219113解：解： AC310013211313 BC51001391 13139 9 9方程組的矩陣表示：方程組的矩陣表示：111122133111213121222322112222333313233311322333a xa xa xaaaxaaaxa xa xa xxaaaa xa xa x對(duì)方程組對(duì)方程組111122133121122223323113223333(1)a xa x

5、a xba xa xa xba xa xa xb記記111213112122232233313233,aaaxbAaaaxxbbxbaaa則方程組則方程組(1)可表示為可表示為.Axb101010對(duì)方程組對(duì)方程組11112213312112222332(2)a xa xa xba xa xa xb記記 11112131221222323,xaaabAxxbaaabx則方程組則方程組(2)可表示為可表示為.Axb又如：又如：111111(4) EA=A ； AE=A.定理定理1 1. . 設(shè)設(shè)A、B、C、O、E在下面各式中相應(yīng)的在下面各式中相應(yīng)的乘法和加法運(yùn)算中都能進(jìn)行，乘法和加法運(yùn)算中都能進(jìn)行

6、，k為實(shí)數(shù)，則：為實(shí)數(shù)，則：(1) 結(jié)合律：結(jié)合律：A（BC）=（AB）C；(2) 分配律：分配律：A（B+C）=AB+AC；（B+C）A=BA+CA(3) OA=O ； AO=O 二、矩陣乘法運(yùn)算規(guī)律二、矩陣乘法運(yùn)算規(guī)律k（AB）=A（kB）注：?jiǎn)挝痪仃囎ⅲ簡(jiǎn)挝痪仃嘐和數(shù)和數(shù)1的作用一樣的作用一樣。121212注意注意矩陣不滿足交換律，矩陣不滿足交換律，即：即：ABBA 則則,0000 AB,2222 BA.BAAB 故故如：如：,A1111 1111B設(shè)設(shè)由于矩陣不可交換，所以矩陣乘法分為左乘和右乘由于矩陣不可交換，所以矩陣乘法分為左乘和右乘.131313 此例不僅表明矩陣的乘法不滿足交換律，此例不僅表明矩陣的乘法不滿足交換律，而且還表明矩陣的乘法不滿足消去律，即而且還表明矩陣的乘法不滿足消去律，即,;ABOA OBO 1 1) ) 若若且且不不能能推推出出但也有例外，比如設(shè)但也有例外，比如設(shè),2002 A,1111 B則有則有, AB22 2 2 BA22 2 2.BAAB 若若AB=BA則稱矩陣則稱矩陣A、B乘積乘積可交換可交換.(),2A XYOAOXY.)若)若且且不不能能推推出出141414小結(jié)：小結(jié)：1. 1. 只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行只有當(dāng)?shù)谝粋€(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行 數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相