2022年函數(shù)與導(dǎo)數(shù)經(jīng)典例題(含答案)

1、精品資料歡迎下載函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1. 已知函數(shù)f x4 x33tx 26txt1, xr ，其中 tr（）當(dāng) t1 時，求曲線yf x 在點(diǎn) 0,f 0處的切線方程；（）當(dāng) t0 時，求f x 的單調(diào)區(qū)間；（）證明：對任意的t0,f x 在區(qū)間 0,1 內(nèi)均存在零點(diǎn)【解析】（ 19）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)爭論函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線方程、函數(shù)的零點(diǎn)、解不等式等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算才能及分類爭論的思想方法，滿分14 分；（）解：當(dāng) t1 時，f x4 x33x26 x,f 00, f x12x26 x6f 06. 所以曲線yf x 在點(diǎn) 0,f 0處的切線方程為 y6 x.22t（）解：

2、f x12x6tx6t ，令 f x0 ，解得xt或x. 2由于 t0 ，以下分兩種情形爭論：t（ 1）如 tx0,就2t ,當(dāng)x 變化時， f x, f x 的變化情形如下表：, tt ,tt ,22f x+-+f x所以，f x 的單調(diào)遞增區(qū)間是, t, 2t ,;f x的單調(diào)遞減區(qū)間是t ,t；2（ 2）如 t x0, 就 tt ，當(dāng) x 變化時， 2, tf x,f x 的變化情形如下表：ttt,22f x+-+f x所以，f x 的單調(diào)遞增區(qū)間是,t ,t ,;2f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是t, t.2（）證明：由（）可知，當(dāng)t0 時，tf x 在 0,2t內(nèi)的單調(diào)遞減，在, 2內(nèi)單調(diào)遞

3、增，以下分兩種情形爭論：t（ 1）當(dāng)1,即t 22 時，f x 在（ 0， 1）內(nèi)單調(diào)遞減，f 0t10,2f 16t4t3644230.所以對任意 t2,f x 在區(qū)間（ 0， 1）內(nèi)均存在零點(diǎn)；t（ 2）當(dāng) 01,即0t22 時，tf x 在0,2t內(nèi)單調(diào)遞減，在,12內(nèi)單調(diào)遞增，如t0,1, f17 t 3t17 t 30.2442f 16t4t36t4t32t30.所以 f x在t ,12內(nèi)存在零點(diǎn)；如 t1,2, ft7 t 3t17 t 310.244f 0t10所以 f x在0, t2內(nèi)存在零點(diǎn)；所以，對任意 t0,2,f x 在區(qū)間（ 0， 1）內(nèi)均存在零點(diǎn)；綜上，對任意 t0

4、,f x 在區(qū)間（ 0， 1）內(nèi)均存在零點(diǎn)；2. 已知函數(shù)f x2 x1， h xx 32（）設(shè)函數(shù)fx 18fx x2 hx2 ，求 fx的單調(diào)區(qū)間與極值；（）設(shè) ar ，解關(guān)于 x 的方程lg 3 f x132lg hax2lgh4x ；24（）設(shè)nn*，證明：f nhn h1h2h n1 6223本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式的證明、解方程等基礎(chǔ)學(xué)問，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法及推理運(yùn)算、分析問題、解決問題的才能解：（）f x18 f xx hxx12x9 x0 ，2f x3x12 令 f x0 ，得 x2 （ x2 舍去）當(dāng) x0,2 時f x0 ；當(dāng) x

5、2, 時，f x0 ，故當(dāng) x0,2 時，f x 為增函數(shù)；當(dāng)x2, 時，f x 為減函數(shù)x2 為f x 的極大值點(diǎn)，且f 2824925 （）方法一：原方程可化為log 3 f x13loghaxlogh4x ，24422即為 log x1logaxlog4xlogax ，且xa,42224x1x4,當(dāng) 1a4 時， 1xa ，就 x1ax ，即2x6xa40 ，364 a4204a0 ，此時4 xx6204a235a ， 1xa ，2此時方程僅有一解 x35a 當(dāng) a4 時， 1x4 ，由 x1ax ，得x6xa40 ，364 a4204a ，如 4a4x5 ，就0 ，方程有兩解x35a

6、；如 a5 時，就0 ，方程有一解x3 ；如 a1或 a5 ，原方程無解方法二：原方程可化為log 4 x1log 2 h4xlog2hax ，x10,1x4即 1 log x1log4xlogax ，4x0,xa,2222ax0,2x14xax.a x35.當(dāng) 1a4 時，原方程有一解x35a ；當(dāng) 4a5 時，原方程有二解x35a ；當(dāng) a5 時，原方程有一解x3 ；當(dāng) a1 或 a5 時，原方程無解（）由已知得h1h2h n12n ，f nhn14n3n1 666設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項和為sn ，且snf n hn1 （ nn* ）6從而有a1s11 ，當(dāng) 2k100 時，aksks

7、k 14k3k4k1k1 66又 akk1 4 k3k4 k1 k114k32 k4k12 k1664k3k4 k1k1110 64 k3k4k1k1即對任意 k2 時，有 akk ，又由于a111 ，所以 a1a2an12n 就 snh 1h2hn ，故原不等式成立3. 設(shè)函數(shù)f xa 2 ln xx 2ax ， a0（）求f x 的單調(diào)區(qū)間；（）求全部實數(shù) a ，使 e1f xe2 對 x1,e 恒成立注： e 為自然對數(shù)的底數(shù)【解析】（ 21）此題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法就、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)學(xué)問，同時考查抽象概括、推理論證才能；滿分15 分；（）解：由于f xa 2 ln xx2a

8、x.其中 x0所以 fa 2xa 2 xa x2 xaxx由于 a0 ，所以f x 的增區(qū)間為 0, a ，減區(qū)間為 a,（）證明：由題意得，f 1a1c1,即ac由（）知f x在1,e 內(nèi)單調(diào)遞增，要使 e1f xe2對x1,e 恒成立，f 1只要f e解得 ae.a1ea2e21,aee24. 設(shè)f xex1 ax 2，其中 a 為正實數(shù) .（）當(dāng) a4 時，求3f x 的極值點(diǎn)；（）如f x 為 r 上的單調(diào)函數(shù)，求 a 的取值范疇 .2【解析】（ 18）（本小題滿分 13 分）此題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，極值點(diǎn)的判定，導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)變化之間的關(guān)系，求解二次不等式，考查運(yùn)算才能，綜合運(yùn)用學(xué)問

9、分析和解決問題的才能.解：對f x 求導(dǎo)得f xex 1axax .（i）當(dāng)4a，如3f x1ax2 20, 就4 x28 x30, 解得x131, x2.22綜合 ,可知x, 1 122 1 , 3 32 22 3 , 2f xf x+00+極大值微小值所以, x13是微小值點(diǎn) , x221是極大值點(diǎn) .2（ ii ）如f x為 r 上的單調(diào)函數(shù)，就f x在 r 上不變號，結(jié)合與條件a>0 ，知ax 22ax10在 r 上恒成立，因此4a 24 a4aa10, 由此并結(jié)合 a0 ，知 0a1.5. 已知 a， b 為常數(shù)，且a 0，函數(shù) f（ x） =-ax+b+axlnx ， f （

10、e） =2（e=2 71828 是自然對數(shù)的底數(shù)）；（i）求實數(shù) b 的值；（ii ）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間；（iii ）當(dāng) a=1 時，是否同時存在實數(shù)m 和 m （ m<m ），使得對每一個t m， m ，直線 y=t與曲線 y=f （ x）（ x 1 ， e）都有公共點(diǎn)？如存在，求出最小的實數(shù)m 和最大的實數(shù)em ；如不存在，說明理由；【解析】 22本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)學(xué)問，考查推理論證才能、抽象概括才能、運(yùn)算求解才能，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，滿分14 分；解：（ i）由f e2得b2,（ii ）由（ i）可得f xax2a

11、x ln x.從而 f' xa ln x.由于 a0 ，故：（1）當(dāng) a0時,由f'x>0得x>1, 由f'x<0得0<x<1;（2）當(dāng) a0時,由f' x0得0x1,由f' x0得x1.綜上，當(dāng) a0 時，函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 1, ，單調(diào)遞減區(qū)間為（0， 1）；當(dāng) a0 時，函數(shù) f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為（ 0， 1），單調(diào)遞減區(qū)間為1, ；（iii ）當(dāng) a=1 時，f xx2x ln x,f ' xln x.,e由（ ii ）可得，當(dāng) x 在區(qū)間 1e內(nèi)變化時，f ' x,f x 的變化情形如

12、下表：x11,1ee11,eef ' x-0+f x22 e單調(diào)遞減微小值 1單調(diào)遞增2又 222, 所以函數(shù)f ' x1 x, e的值域為 1 ， 2 ；ee據(jù)經(jīng)可得，如m1,m2，就對每一個 tm, m ，直線 y=t 與曲線yf x x1,e 都有e公共點(diǎn)；并且對每一個 t, mm , ，直線 yt 與曲線 yf x x1, e 都沒有公共點(diǎn)；e綜上，當(dāng) a=1 時，存在最小的實數(shù)m=1 ，最大的實數(shù)m=2 ，使得對每一個t m, m ，直線y=t與曲線 yf x x1,ee都有公共點(diǎn)；6. 設(shè)函數(shù)f xx32ax2bxa ， gx x23 x2 ，其中 xr，a、b 為

13、常數(shù)，已知曲線yf x 與yg x在點(diǎn)（ 2,0）處有相同的切線l；（i） 求 a、b 的值，并寫出切線l 的方程；（ii ）如方程f xg xmx 有三個互不相同的實根0、 x 、 x ，其中 x1x2 ，且對任意的 xx1, x2， fxg xm x1) 恒成立，求實數(shù) m 的取值范疇；【解析】 20此題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)學(xué)問，同時考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)問進(jìn)行推理論證的才能，以及函數(shù)與方程和特殊與一般的思想，（滿分 13 分）解：（）f x3x24axb, gx2x3.由于曲線yf x與yg x 在點(diǎn)（ 2， 0）處有相同的切線，故有 f2g 20, f2g 21.由此得88a2ba0,a2,解得128ab1,b5.所以 a2, b5 ，切線 l 的方程為 xy203232（）由（）得f xx4 x5x2 ，所以 f xg xx3 x2 x.依題意，方程2x x3 x2m0 有三個互不相同的實數(shù)0, x1, x2 ，12故 x , x 是方程x23x2m0 的兩相異的實根；所以942m0,即m1 .4又對任意的 x x1 , x2 ,f xg xm x1 成立，特殊地，取xx1 時，