2022年克里金插值法

1、克里金插值法及其適用范疇29 巴任如 測(cè)繪學(xué)院克里金插值法又稱(chēng)空間局部插值法， 是以變異函數(shù)理論和結(jié)構(gòu)分析為基礎(chǔ)，在有限區(qū)域內(nèi)對(duì)區(qū)域化變量進(jìn)行無(wú)偏最優(yōu)估量的一種方法，是地統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要內(nèi)容之一，由南非礦產(chǎn)工程師 d. matheron 于1951 年在查找金礦時(shí)首次提出，法國(guó)聞名統(tǒng)計(jì)學(xué)家 g. matheron 隨后將該方法理論化、系統(tǒng)化，并命名為 kriging ，即克里金插值法；1 克里金插值法原理克里金插值法的適用范疇為區(qū)域化變量存在空間相關(guān)性，即假如變異函數(shù)和結(jié)構(gòu)分析的結(jié)果說(shuō)明區(qū)域化變量存在空間相關(guān)性，就可以利用克里金插值法進(jìn)行內(nèi)插或外推； 其實(shí)質(zhì)是利用區(qū)域化變量的原始數(shù)據(jù)和變異函數(shù)的結(jié)

2、構(gòu)特點(diǎn)，對(duì)未知樣點(diǎn)進(jìn)行線(xiàn)性無(wú)偏、最優(yōu)估量， 無(wú)偏是指偏差的數(shù)學(xué)期望為 0，最優(yōu)是指估量值與實(shí)際值之差的平方和最小1 ；因此，克里金插值法是依據(jù)未知樣點(diǎn)有限領(lǐng)域內(nèi)的如干已知樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)，在考慮了樣本點(diǎn)的外形、大小和空間方位，與未知 樣點(diǎn)的相互空間關(guān)系， 以及變異函數(shù)供應(yīng)的結(jié)構(gòu)信息之后， 對(duì)未知樣點(diǎn)進(jìn)行的一種線(xiàn)性無(wú)偏最優(yōu)估量；假設(shè)討論區(qū)域 a 上討論變量 z（x），在點(diǎn) xia（ i=1 ， 2， n）處屬性值為 z（xi ），就待插點(diǎn) x0a 處的屬性值 z（x0）的克里金插值結(jié)果 z*（x0）是已知采樣點(diǎn)屬性值 z（xi ）（ i=1 ，2，n）的加權(quán)和，即：13 / 10 下載文檔可編輯0z

3、* x ni z xi i 1（ 1）式中 i 是待定權(quán)重系數(shù)；其中 zxi 之間存在肯定的相關(guān)關(guān)系，這種相關(guān)性除與距離有關(guān)外，仍與其相對(duì)方向變化有關(guān)，克里金插值方法將討論的對(duì)象稱(chēng)“區(qū)域化變量”針對(duì)克里金方法無(wú)偏、 最小方差條件可得到無(wú)偏條件可得待定權(quán)系數(shù) i i=1 ， 2， n 滿(mǎn)意關(guān)系式：ni1i1（ 2）以無(wú)偏為前提， kriging方差為最小可得到求解待定權(quán)系數(shù)i 的方程組：ni cxi , x j i 1c x0 , x j jn1,2,，ni1i 1（3）式中， c（xi ，xj ）是 zxi和 zxj的協(xié)方差函數(shù)；2 國(guó)內(nèi)外討論進(jìn)展從克里金方法被提出到現(xiàn)在已有完善的理論， 并在

4、許多領(lǐng)域得到了實(shí)際的應(yīng)用，在某些領(lǐng)域的應(yīng)用又推動(dòng)了克里金理論的進(jìn)展3 ；它的進(jìn)展可歸納為四個(gè)時(shí)期， 每個(gè)時(shí)期都是以每一屆地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)大會(huì)的召開(kāi)為標(biāo)志；第一時(shí)期， 初次提出了地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)理論，將地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)與傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)分開(kāi)，且提出了區(qū)域化變量、簡(jiǎn)潔克里金、一般克里金、泛克里金的概念；其次時(shí)期，地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論逐步的幵始改 進(jìn)和完善； 第三時(shí)期， 地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)克里金在實(shí)踐應(yīng)用的進(jìn)展相對(duì)理論進(jìn)展更快，形成了兩種類(lèi)型的理論體系： 一類(lèi)是有參數(shù)的克里金方法， 另一類(lèi)是沒(méi)有參數(shù)的克里金方法， 有參數(shù)的克里金方法是指所討論的數(shù)據(jù)必需符合正態(tài)分布， 如析取克里金； 而沒(méi)有參數(shù)的克里金方法對(duì)所討論的變量的分布沒(méi)有特別

5、要求， 如指示克里金和概率克里金； 第四時(shí)期， 克里金方法的應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴(kuò)展壯大， 在討論中有許多新的課題產(chǎn)生， 克里金所討論對(duì)象已經(jīng)不再局限于空間領(lǐng)域的變量，隨著某些領(lǐng)域的需求，正在向時(shí)間 - 空間領(lǐng)域擴(kuò)展 4 ；從目前來(lái)看，克里金技術(shù)的進(jìn)展可以概括如下：(1) 形成了一套完整的理論體系；線(xiàn)性平穩(wěn)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)是地質(zhì)統(tǒng) 計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)部分，包含基本概念：區(qū)域化變量理論；基本工具：變差 函數(shù)；基本假設(shè)：二階平穩(wěn)假設(shè)和本征假設(shè)；基本公式：估量反差和 一般克里金法； 線(xiàn)性非平穩(wěn)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)包括了泛克里金和k 階本征函數(shù)法等；平穩(wěn)非線(xiàn)性地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)包含析取克里金等；(2) 編制了一些實(shí)際有效的程序以及軟件；例如

6、斯坦福高校的geostatistical earth modeling software；(3) 地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的提出原本是為明白決礦產(chǎn)儲(chǔ)量的估量，但是隨著地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)的進(jìn)展，人們發(fā)覺(jué)其討論對(duì)象存在于許多種自然現(xiàn)象 中；于是，地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)不再是討論地質(zhì)領(lǐng)域的特有方法，而成為討論某類(lèi)自然現(xiàn)象通用的方法， 例如降水量的分布、 水文層的滲透率和孔隙度等屬性值、在醫(yī)學(xué)上對(duì)骨豁的三維重建5 等等；目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者利用克里金插值法做了大量討論； 翟進(jìn)乾應(yīng)用克里金插值方法對(duì)煤層分布監(jiān)測(cè)進(jìn)行了系統(tǒng)分析討論6 ；張蕾、陳曉宏將克里金插值方法用于珠江三角洲網(wǎng)河區(qū)水位空間插值7 ；尚慶生、郭建文等將克里金插值方法用于運(yùn)算青藏

7、鐵路鉆孔地溫?cái)?shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)的體視化 8 ；顏輝武，祝國(guó)瑞等采納克里金插值方法建立水文地質(zhì)層三維模型 9 ，并利用體繪制技術(shù)進(jìn)行可視化表達(dá)，取得了良好的成效；劉承香、阮雙深、伍小芹提出基于克里金插值方法進(jìn) 行水深數(shù)據(jù)插值形成規(guī)章網(wǎng)格數(shù)字高程模型的算法，對(duì)海底數(shù)字地圖的模擬具有重要參考價(jià)值，數(shù)字仿真結(jié)果證明該算法可行10 ；3 方法步驟克里金插值法的應(yīng)用步驟如下：1、輸入原始數(shù)據(jù)，即采樣點(diǎn)，下面以輸入三個(gè)采樣點(diǎn)求待估插值為例來(lái)進(jìn)行說(shuō)明；如圖 1 所示：圖 1 采樣點(diǎn)圖示2、網(wǎng)格化，挑選區(qū)域的范疇和網(wǎng)格的大小，對(duì)區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格化處理；3、數(shù)據(jù)檢驗(yàn)與分析，依據(jù)采樣值是否合乎實(shí)際情形，剔除明顯差異點(diǎn)；4

8、、直方圖的運(yùn)算，直方圖有助于把握區(qū)域變化的分布規(guī)律，以便打算是否對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換；5、利用變異函數(shù)進(jìn)行變異函數(shù)運(yùn)算，明白變量的空間結(jié)構(gòu)；6、克里金插值估量（ 1）待估點(diǎn)權(quán)重系數(shù)估量利用多邊形估量的方法，第一確定離待估點(diǎn)最近的采樣點(diǎn)的權(quán)重，依據(jù)公式（ 4）進(jìn)行采樣點(diǎn)權(quán)重估量：c1dw iin1wi 1 cd（ 4）（ 2）依據(jù)搜尋策略挑選合適的參估點(diǎn)，如圖2：圖 2 參估點(diǎn)圖示（ 3）依據(jù)已經(jīng)求出的變異函數(shù)以及采樣點(diǎn)數(shù)量，三個(gè)采樣點(diǎn)列出三個(gè)等式，求出方程組的系數(shù)，公式為：c 1,1c 2,1c 3,1c1,2c 2,2c3,2c1,31c 2,32c3,33c0,1c 0,2c0,3（ 5）（

9、 4）分析在各向同性條件下轉(zhuǎn)變塊金值與在塊金值相同條件下轉(zhuǎn)變各向異性對(duì)權(quán)重值的影響2 ；各向同性條件下轉(zhuǎn)變塊金值時(shí)對(duì)權(quán)重值的影響成效如圖3（a），在塊金值相同條件下轉(zhuǎn)變各向異性對(duì)權(quán)重值帶來(lái)的影響如圖3（b）：（a）（ b）圖 3 各向同性條件下轉(zhuǎn)變塊金值與在塊金值相同條件下轉(zhuǎn)變各向異性對(duì)權(quán)重值的影響（ 5）依據(jù)求出的權(quán)重值，代入公式（ 1），即可求得評(píng)估領(lǐng)域內(nèi) n 個(gè)采樣值的線(xiàn)性組合 2 ；克里金插值法的方法路線(xiàn)圖如下：導(dǎo)入數(shù)據(jù)進(jìn)行猜測(cè)數(shù)據(jù)分析運(yùn)算克里金系數(shù)是否聽(tīng)從正態(tài)分布否數(shù)據(jù)變換擬合理論半變異函數(shù)圖是是否存在趨勢(shì)是泛克里金方法繪制體會(huì)半變異函數(shù)圖否依據(jù)數(shù)據(jù)挑選合適的方法繪制方差變異云圖運(yùn)算

10、樣點(diǎn)間的距離矩陣按組統(tǒng)計(jì)平均距離及對(duì)應(yīng)的平均方差運(yùn)算樣點(diǎn)間的屬性方差按距離分組圖 4 方法路線(xiàn)圖4 克里金插值法分類(lèi)及適用類(lèi)型克里金插值法主要有以下幾種類(lèi)型：一般克里金（ordinary kriging）、簡(jiǎn)潔克里金（ simple kriging）、泛克里金（ universal kriging ）、協(xié)同克里金（ co-kriging ）、對(duì)數(shù)正態(tài)克里金（ logistic normal kriging）、指示克里金（ indicator kriging）、概率克里金（ probabilitykriging ）和析取克里金（ disjunctivekriging）等1 ；克里金插值法可以簡(jiǎn)潔

11、地表達(dá)為：z s ss6式中，s 為不同位置的點(diǎn)， 可以人為是用經(jīng)緯度表示的空間坐標(biāo)；z（ s）為 s 處的變量值，它可以分解為確定趨勢(shì)值s 和自相關(guān)隨機(jī)誤差 s ；通過(guò)對(duì)這個(gè)公式進(jìn)行變化，可以生成克里金插值法的不同類(lèi)型；第一，對(duì)于趨勢(shì)值s ，可以簡(jiǎn)潔地給予一個(gè)常量，即在任何位置 s 處s =，假如 是未知的，這便是一般克里金基本模型；sxy22也可表示為空間坐標(biāo)的線(xiàn)性函數(shù)，如：s01 x2 y345 xy7假如趨勢(shì)面方程中的回來(lái)系數(shù)是未知的，就形成泛克里金模型； 假如在任何時(shí)候趨勢(shì)已知的（如全部系數(shù)和協(xié)方差均已知），無(wú)論趨勢(shì)常量與否，都會(huì)形成簡(jiǎn)潔克里金模型；其次，無(wú)論趨勢(shì)如何復(fù)雜，s 仍無(wú)法

12、獲得很好的猜測(cè)，在這種情形下需要對(duì)誤差項(xiàng)s進(jìn)行一些假設(shè)，即假設(shè)誤差項(xiàng)s 的期望均值為 0，且s 和 sh 之間的自相關(guān)不取決于 s 點(diǎn)的位置，而取決于位移量 h；為了確保自相關(guān)方程有解，必需答應(yīng)某兩點(diǎn)間自相關(guān)可以相等；然后，可以對(duì)方程式左邊z s進(jìn)行變換；例如，可以將其轉(zhuǎn)換成指示變量，即假如z s 低于肯定的閾值，就將其值轉(zhuǎn)換為0，將高于閾值的部分轉(zhuǎn)換為 1，然后對(duì)高于閾值部分作出猜測(cè)，基于此模型作出猜測(cè)便形成了指示克里金模型； 假如將指示值轉(zhuǎn)變成含有變量的函數(shù) f z s ，即形成析取克里金的指示函數(shù)；最終，假如有多個(gè)變量的情形，就模型為：z j sj sj s ，其中 j 表示第 j 個(gè)變

13、量；除了為每個(gè)變量考慮不同的趨勢(shì)j s 外，隨機(jī)誤差j s 之間仍存在交叉相關(guān)性； 這種基于多個(gè)變量的克里金模型即為協(xié)同克里金模型；不同的方法有其適用的條件， 當(dāng)數(shù)據(jù)不聽(tīng)從正態(tài)分布時(shí)， 如聽(tīng)從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，就選用對(duì)數(shù)正態(tài)克里金；如不聽(tīng)從簡(jiǎn)潔分布時(shí)，選用 析取克里金；當(dāng)數(shù)據(jù)存在主導(dǎo)趨勢(shì)時(shí)，選用泛克里金；當(dāng)只需要明白 屬性值是否超過(guò)某一閾值時(shí)， 選用指示克里金； 當(dāng)同一事物的兩種屬性存在相關(guān)關(guān)系時(shí)，且一種屬性不易獵取時(shí)，選用協(xié)同克里金，借助 另一屬性實(shí)現(xiàn)該屬性的空間內(nèi)插； 當(dāng)假設(shè)屬性值的期望值為某一已知常數(shù)時(shí)，選用簡(jiǎn)潔克里金； 當(dāng)假設(shè)屬性值的期望值是未知的，選用一般克里金；參考文獻(xiàn)：1 湯國(guó)安, 楊昕.arcgis 地理信息系統(tǒng)空間分析試驗(yàn)教程 m. 北京:科學(xué)出版社 ,2021.2 孟俊貞 .克里金插值近似網(wǎng)格算法在柵格數(shù)據(jù)投影變換中的應(yīng)用