§1-§2從平面向量到空間向量(學(xué)案二)

1、§1從平面向量到空間向量 §2空間向量的運(yùn)算（學(xué)案二）J學(xué)習(xí)目的1. 掌握空間向量的數(shù)乘運(yùn)算律，能進(jìn)行簡單的代數(shù)式化簡；2. 理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論； 3. 能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡單的立體幾何中的問題J自主整理1.空間兩個向量a和b的數(shù)量積是一個數(shù),等于 ，記作a·b,即a·b= .2.空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律_.(1)交換律: ; (2)分配律: ; (3) (R).3.(1)|a|=_;(2)ab_;(3)cosa,b=(a0,b0)_.4.對于任意一個非零向量a,我們把叫作向量a的單位向量,記作.與a同方向.K例題

2、講解【例1】如圖,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于a,點(diǎn)E,F,G分別是AB,AD,DC的中點(diǎn).求下列向量的數(shù)量積:(1)·(2)·(3);(4). 1 / 17變式訓(xùn)練1.已知在空間四邊形OABC中,OB=OC,AB=AC,求證:OABC. 【例2】如圖所示,在空間四邊形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,OAC=45°,OAB=60°,求OA與BC夾角的余弦值. 變式訓(xùn)練2.如圖,已知ABC是正三角形,PA平面ABC,且PA=AB=a,求PB和AC所成的角的大小. 【例3】如圖,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長

3、都等于a,點(diǎn)M,N分別是邊AB,CD的中點(diǎn).(1)求證:MN為AB和CD的公垂線;(2)求MN的長;(3)求異面直線AN與MC所成角的余弦值. 變式訓(xùn)練3.如圖,平行六面體ABCDA1B1C1D1中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1,且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長;(2)求AC1與面ABCD所成的角.練習(xí)作業(yè)1.已知|a|=2,|b|=3,a,b=60°,則|2a-3b|等于( )A. B.97 C. D.612.下列各命題中,不正確的命題的個數(shù)為( )=|a| m(a)·b=(m)a·b ,(m,R) a·(b+c)=(b+c)

4、3;a a2b=b2aA.4 B.3 C.2 D.13.已知非零向量a,b不平行,并且其模相等,則a+b與a-b之間的關(guān)系是( )A.垂直 B.共線 C.不垂直 D.以上都可以4.已知PA平面ABC,ABC=120°,PA=AB=BC=6,則PC等于( )A.6 B.6 C.12 D.1445.已知向量a,b,c兩兩之間的夾角都為60°,其模都為1,則|a-b+2c|等于( )A. B.5 C. D.66.已知i,j,k是兩兩垂直的單位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,則a·b等于( )A.-2 B.-1 C.±1 D.27.已知在平行六面體AB

5、CDABCD中,AB=4,AD=3,AA=5,BAD=90°,BAA=DAA=60°,則AC等于( )A.85 B. C.5 D.508.在四面體SABC中,各棱長均為a,E,F分別是SC和AB的中點(diǎn),則異面直線EF與SA所成的角等于( )A.90° B.60° C.45° D.30°9.已知a,b是夾角為60°的兩單位向量,而ca,cb,且|c|=,x=2a-b+c,y=3b-a-c,則cosx,y=_.10.已知|OA|=5,|OB|=2,=60°,=2+,=-2,則以O(shè)C,OD為鄰邊的OCED的對角線OE的長

6、為_.11.已知線段AB的長度為6,與直線l的正方向的夾角為120°,則在l上的射影的長度為_.12.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+b,a,b=135°,mn,則=_.13.設(shè)ab,a,c=,b,c=,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,則向量a+b+c的模是_.14.在直二面角的棱上有兩點(diǎn)A,B,AC和BD各在這個二面角的一個面內(nèi),并且都垂直于棱AB,設(shè)AB=8 cm,AC=6 cm,BD=24 cm,求CD的長.15.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O為AC與BD的交點(diǎn),G為CC1的中點(diǎn),求證:A1O平面GBD.6.如圖所示,正方形AB

7、CD與正方形ABEF邊長均為1,且平面ABCD平面ABEF,點(diǎn)M在AC上移動,點(diǎn)N在BF上移動.若CM=BN=a(0<a<).(1)求MN的長度;(2)當(dāng)a為何值時,MN的長最小;(3)當(dāng)MN長最小時,求平面MNA與平面MNB所成的二面角的大小.J課后總結(jié)1.數(shù)量積是數(shù)量,可以是正數(shù),也可以是負(fù)數(shù)或零,它沒有方向,可以比較大小.a與b的數(shù)量積的幾何意義是:向量a的模|a|與b在a的方向上的投影|b|cosa,b的乘積.2.利用兩個向量的夾角為,判斷空間直線的垂直是向量在立體幾何中的重要應(yīng)用之一.3.根據(jù)空間兩個向量的數(shù)量積的定義:a·b=|a|b|cosa,b,那么空間兩

8、個向量a,b的夾角的余弦cosa,b=,這個公式可用來求空間兩直線所成的角.4.在空間兩個向量的數(shù)量積中,特別地a·a=|a|a|cos0°=|a|2,所以向量a的模|a|=,這個公式可用來求空間中線段的長度.將其推廣為:|a±b|=()2;|a+b+c|=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a.5.對于三個不為0的向量,若a·b=a·c,不能得出b=c,即向量不能約分.6.若a·b=k,不能得出a=或b=,即向量不能進(jìn)行除法運(yùn)算.7.對于三個不為0的向量,(a·b)c

9、a(b·c),即向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.8.如何利用向量知識求線段的長度?將所求線段用向量表示,轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題.一般可以先選好基底,用基向量表示所求向量,然后利用|a|2=(a)2來求解.選擇基底時,應(yīng)注意三個基向量兩兩之間的夾角應(yīng)該是確定的,已知的或可以求出的.具體求模時,可分為兩種不同情況:(1)不建坐標(biāo)系,直接進(jìn)行向量運(yùn)算;(2)建立坐標(biāo)系,用距離公式求線段長度.9.如何利用空間向量知識求異面直線所成的角?面直線所成的角可以通過選取直線的方向向量,計算兩個方向向量的夾角得到,具體計算時可以用基向量表示,也可以用坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行.但在求異面直線所成的角時,應(yīng)注意異面直線所成

10、的角與向量夾角的區(qū)別:如果兩向量夾角為銳角或直角,則異面直線所成的角等于兩向量的夾角;如果兩向量的夾角為鈍角,則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補(bǔ)角.§1從平面向量到空間向量 §2空間向量的運(yùn)算（學(xué)案二）J學(xué)習(xí)目的1. 掌握空間向量的數(shù)乘運(yùn)算律，能進(jìn)行簡單的代數(shù)式化簡；2. 理解共線向量定理和共面向量定理及它們的推論； 3. 能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡單的立體幾何中的問題J自主整理1.空間兩個向量a和b的數(shù)量積是一個數(shù),等于，記作a·b,即a·b=.2.空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律.(1)交換律:a·b=b ·a; (2)分配律

11、:a·(b+c)= a·b + a·c; (3)(a·b)= (a)·b (R).3.(1)|a|=;(2)ab=a·b=0;(3)cosa,b=(a0,b0).4.對于任意一個非零向量a,我們把叫作向量a的單位向量,記作.與a同方向.K例題講解【例1】如圖,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于a,點(diǎn)E,F,G分別是AB,AD,DC的中點(diǎn).求下列向量的數(shù)量積:(1)·(2)·(3);(4).解析：由于空間四邊形ABCD各棱長都等于a,所以表面中各三角形均為正三角形.所以有,兩兩之間的夾角均為60°

12、;,用數(shù)量積的定義求解即可.答案：(1)在空間四邊形ABCD中|=|=a,且,=60°,所以=a·acos60°=a2.(2)|=a,|=a,=60°,所以·=a2cos60°=a2.(3)|=a,|=a,又,=,所以·=a2cos=a2.(4)因為|EF|=a,|BC|=a,所以,=,=60°.所以·=a2cos60°=a2.小結(jié) 直接求兩個向量的數(shù)量積時,應(yīng)選取好基底,三個基向量的選取很重要,一般要保證三個向量兩兩之間夾角已知或可求,最好是特殊角,然后利用定義求解.變式訓(xùn)練1.已知在空間四邊

13、形OABC中,OB=OC,AB=AC,求證:OABC.證明:因為OB=OC,AB=AC,OA=OA, 所以O(shè)ACOAB. 所以AOC=AOB.因為=cosAOC-cosAOB=0.所以O(shè)ABC.【例2】如圖所示,在空間四邊形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,OAC=45°,OAB=60°,求OA與BC夾角的余弦值.解析：求異面直線所成的角,可以用常規(guī)方法,也可以用向量夾角公式求解,cos,=,應(yīng)先求出·.答案：因為=-,所以·=·-·=|·|·cos,-|·|·cos,=8&#

14、215;4×cos135°-8×6×cos120°=24-162.所以cos,=.所以O(shè)A與BC夾角的余弦值為.小結(jié) 用向量夾角公式解決異面直線所成角的問題時,應(yīng)注意角的范圍,向量夾角范圍是0°,180°,異面直線所成的角的范圍是(0°,90°,當(dāng)用夾角公式求出的角為鈍角時,它的補(bǔ)角才等于異面直線所成的角.變式訓(xùn)練2.如圖,已知ABC是正三角形,PA平面ABC,且PA=AB=a,求PB和AC所成的角的大小.解:PA平面ABC,ABC為正三角形,PA=AB=a,所以PAAC,BAC=60°,PB=

15、2a,AC=a.所以=a2.所以cos=.所以PB與AC所成的角為arccos.【例3】如圖,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a,點(diǎn)M,N分別是邊AB,CD的中點(diǎn).(1)求證:MN為AB和CD的公垂線;(2)求MN的長;(3)求異面直線AN與MC所成角的余弦值.解析：如圖,設(shè)=p,=q,=r.由題意,可知|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三向量兩兩夾角均為60°.答案：(1)證明：=(q+r-p),所以·=(q+r-p)·p=(q·p+r·p-p2)=(a2·cos60°+a2·cos60&#

16、176;-a2)=0.所以MNAB,同理可證MNCD.所以MN為AB與CD的公垂線.(2)解：由(1)可知=(q+r-p), 所以|2=()2=(q+r-p)2=q2+r2+p2+2(q·r-q·p-r·p)=a2+a2+a2+2(-)=×2a2=.所以|=a. 所以MN的長度為a.(3)解：設(shè)向量與的夾角為, 因為=(+)=(q+r), =-=q-p, 所以·= (q+r)·(q-p)=(q2-q·p+r·q-r·p) =(a2-a2·cos60°+a2cos60°-a2&

17、#183;cos60°)=(a2-)=. 又因為|=|=a,所以·=|·|·cos=a·a·cos=.所以cos=.所以向量AN與MC的夾角余弦值為.從而異面直線AN,MC所成角的余弦值為.小結(jié) 空間向量求模的運(yùn)算要注意公式的準(zhǔn)確應(yīng)用.向量的模就是表示向量的有向線段的長度,因此求線段長度的問題可用向量求解.立體幾何中有關(guān)判斷線線垂直,異面直線所成角的大小問題,通?？梢赞D(zhuǎn)化為求向量的數(shù)量積和求向量的夾角而得到.變式訓(xùn)練3.如圖,平行六面體ABCDA1B1C1D1中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1,且兩兩夾角為60°.(1)求A

18、C1的長;(2)求AC1與面ABCD所成的角.解:(向量法)記a=,b=,c=于是|a|=|b|=|c|=1,a,b=b,c=c,a=60°.(1)=a+b+c,所以=a2+b2+c2+2a·c+2a·b+2b·c=1+1+1+2cos60°+2cos60°+2cos60°=6.所以=6.(2)連結(jié)AC,BD,由四邊形ABCD是菱形,知BDAC.又=b-a, =(b-a)·c=b·c-a·c=0.所以BDCC1.所以BD平面ACC1.所以平面ABCD平面ACC1.故AC是AC1在平面ABCD內(nèi)的

19、射影,C1AC即為AC1與面ABCD所成的角.因為=a+b+c,=a+b,cosC1AC=cos,=. 故AC1與平面ABCD所成的角為arccos.練習(xí)作業(yè)1.已知|a|=2,|b|=3,a,b=60°,則|2a-3b|等于( )A. B.97 C. D.61解析:|2a-3b|2=4a2+9b2-12a·b=4×4+9×9-12×|a|b|cos60°=97-12×2×3×=61.所以|2a-3b|=.答案:C2.下列各命題中,不正確的命題的個數(shù)為( )=|a| m(a)·b=(m)a

20、83;b(m,R)a·(b+c)=(b+c)·a a2b=b2aA.4 B.3 C.2 D.1解析:正確,不正確.答案:D3.已知非零向量a,b不平行,并且其模相等,則a+b與a-b之間的關(guān)系是( )A.垂直 B.共線 C.不垂直 D.以上都可以解析:因為(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0.所以(a+b)(a-b).答案:A4.已知PA平面ABC,ABC=120°,PA=AB=BC=6,則PC等于( )A.6 B.6 C.12 D.144解析:因為, 答案:C所以=36+36+36+2×36cos60°=144

21、.所以|PC|=12.5.已知向量a,b,c兩兩之間的夾角都為60°,其模都為1,則|a-b+2c|等于( )A. B.5 C.6 D.6解析:(a-b+2c)2=a2+b2+4c2-2a·b+4a·c-4b·c=1+1+4-2cos60°=5.所以|a-b+2c|=5.答案:A6.已知i,j,k是兩兩垂直的單位向量,a=2i-j+k,b=i+j-3k,則a·b等于( )A.-2 B.-1 C.±1 D.2解析:a·b=(2i-j+k)·(i+j-3k)=2i2-j2-3k2=-2.答案:A7.已知在平行

22、六面體ABCDABCD中,AB=4,AD=3,AA=5,BAD=90°,BAA=DAA=60°,則AC等于( )A.85 B. C.5 D.50解析:=50+2(10+7.5)=85.答案:B8.在四面體SABC中,各棱長均為a,E,F分別是SC和AB的中點(diǎn),則異面直線EF與SA所成的角等于( )A.90° B.60° C.45° D.30°解析:選、為基向量表示其他向量.,所以=a2,=.所以cos=.所以=45°.答案:C9.已知a,b是夾角為60°的兩單位向量,而ca,cb,且|c|=,x=2a-b+c,y=

23、3b-a-c,則cosx,y=_.解析:因為|x|=,|y|=,x·y=(2a-b+c)·(3b-a-c)=,所以cosx,y=.答案:10.已知|OA|=5,|OB|=2,=60°,=2+,=-2,則以O(shè)C,OD為鄰邊的OCED的對角線OE的長為_.解析:因為,所以=9×25+4-6×5×2×cos60°=.所以O(shè)E=.答案:19911.已知線段AB的長度為6,與直線l的正方向的夾角為120°,則在l上的射影的長度為_。解析:在l上的射影的長度為|cos120°|=6×=3.答案:3

24、12.已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+b,a,b=135°,mn,則=_.解析:由mn,得(a+b)·(a+b)=0,a2+a·b+a·b+b2=0,18+×3×4×cos135°+3×4×cos135°+16=0,4+6=0,=.答案:13.設(shè)ab,a,c=,b,c=,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,則向量a+b+c的模是_.解析:因為|a+b+c|2=(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+a·c+b·c)=1

25、+4+9+2(0+1×3×+2×3×)=17+6,所以|a+b+c|=.答案:14.在直二面角的棱上有兩點(diǎn)A,B,AC和BD各在這個二面角的一個面內(nèi),并且都垂直于棱AB,設(shè)AB=8 cm,AC=6 cm,BD=24 cm,求CD的長.解析:作出符合題意的空間直觀圖,不難發(fā)現(xiàn)ABCD為一空間四邊形,由空間向量的加法運(yùn)算法則,有,于是CD之長可求.答案:如圖,依題意有AC,AB,BD兩兩垂直,所以=0,=0,=0.所以|2=·=62+82+242=676.所以CD=26.15.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O為AC與BD的交點(diǎn),G為

26、CC1的中點(diǎn),求證:A1O平面GBD.解析:只要證明與面GBD內(nèi)兩個不共線向量垂直即可.證明：設(shè)=a,=b,=c,則a·b=0,b·c=0,a·c=0.而=c+(a+b), =b-a,=(a+b)-c.所以·=(c+a+b)·(b-a)=c·(b-a)+(a+b)·(b-a)=c·b-c·a+(b2-a2)=(|b|2-|a|2)=0.所以.所以.同理可證,所以A1OOG.又因為OGBD=O,且A1O面GBD,所以A1O面GBD.16.如圖所示,正方形ABCD與正方形ABEF邊長均為1,且平面ABCD平面ABEF,點(diǎn)M在AC上移動,點(diǎn)N在BF上移動.若CM=BN=a(0<a<).(1)求MN的長度;(2)當(dāng)a為何值時,MN的長最小;(3)當(dāng)MN長最小時,求平面MNA與平面MNB所成的二面角的大小.解析:根據(jù)向量的基本運(yùn)算,利用這一關(guān)系來求,這是求長度問題的常見方法.答案:(1)AC=,BF=,CM=BN=a.=(1-),=(1-).=(1-) +(1-)=(1-)+(1-)()=(1-)+(1-)()=(1-)+(-)=.(2)由(1),知當(dāng)a=時,|的最小值為,即M,N分別為AC,BF的中點(diǎn)時,MN長最小,最小值為.(3)取MN中點(diǎn)G,連結(jié)AG,BG.因為AM=AN,BM