919領航教育-解三角形

1、領航教育 2015年暑假3-8人班vip精品教案夏解三角形-般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。1 正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即 1 = - = = 27?sin a sm b sin c a = 27?sin a , b = 27?sin b , c = 27?sinca小b小c sm昇= ,sinb = ,sine = 2r2r2ra h ca + h + c =2rsin a sin b sin c sin j + sin 5 + sinc q : b: c = sin /: sin b: sin c2. 三角形的面積公式正弦定理

2、：sbc二丄absinc3. 余弦定理：2 2 2(1) a1 = b2 +c2 - 2bc cos a , cos a =+c ；2bc2 2 2(2) b2 =a2 +c2 - lac cos b , cos 3=2ac2 > 2 _ 2(3) c2 =b2 + a2 -2bacosc , cosc =2ab4. 射影定理(利用向量數(shù)量積的幾何意義即投影的知識證明)：(1) a = bcoscccqsb(2) b = acosc + ccos/(3) c = ocosb + bcosm5. 利用余弦定理判斷三角形解的個數(shù)已知三角形兩邊以及一邊的對角，假設己知a角以及耳邊、方邊，則由余

3、弦定理得a2=b2+c2-2bccosa即c2-2bcosa-c + b2-a2 =0 f得到一個關于c的一元二次方程，通過求解即可得到三角形解的個數(shù)(1) 當a0時，c的解就有2個不同的解，因此三角形便有兩個。(2) 當 = ()時，c的解就有2個相同的解，因此三角形便有一個。(3) 當avo時，c的解就有無實數(shù)解，因此不存在這樣的三角形。6. 利用余弦定理判斷三角形的形狀已知三角形的三邊或者兩邊一介，可以判斷三角形的形狀。（銳角、鈍介、直角，等腰、非等腰） 2 2 2銳角、鈍角、直角三角形的判定，判定方法：由cos a =得，2bc 當 h2+c2-a2 > 0 吋，cos/0, j

4、. ag 0,- ,abc 為銳角三角形k 2丿 當尸+圧一/=0時，cosa = 0, /. , a = -,*. abc為直角三角形 當h2 +c2 -a2 < 0 吋，c0st4 <0, ae ,7r , /. aabc為鈍角三角形（2丿解三角形中需要注意：（1）一般情況下我們在解三角形中采用的方法是“邊化角、角化邊”，也就是說我們一般要將所求的式子化成全部都是角的形式或者邊的形式，利于我們采用正弦定理和余弦定理以及三角函數(shù)的知識解題。（2）正確選用止弦定理和余弦定理：我們一般遇到一次形式的式子以及帶有比例的式子對以考慮使用正弦定理；如果 遇到二次的式子或者通過邊來求角的問題

5、一般采用的是余弦定理。（3）我們還需要注意一點的是余弦定理可以利用邊來求如，但是正弦定理只可以得到角的正弦的比值，而不可以得到 角的比值甚至具體的值。（4）其次，我們在解題中還需要考慮一些基本的知識，例如“大和對大邊，小角對小邊”等等。例1在屮，若2cossin/=sinc,則加力的形狀一定是（）a.等艘直角三角形b.直角三角形c.等腰三角形d.等邊三角形答案：c 解析：2sin/1cos=sir）c 二sin （+）=sinacosb+cosasinbasin ca-b） =0, :.a=b另解：角化邊點評：本題考查了三角形的基本性質，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題

6、途徑。例2（上海文數(shù)18.）若厶abc的三個內角滿足sin / : sin b : sin c = 5 :11:13 ,則/xabc（）（a） 一定是銳角三角形.（b） 一定是肓角三角形.（c） 一定是鈍角三角形.（d）可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形.解析：由 sin j: sinb: sinc = 5:11:13 及正弦定理得 a：b：c=5：n：i3由余弦定理得cosc=3 門_打<0,所以角c為鈍角 2x5x11例3.（天津數(shù)7）在aabc屮，內角a, b,c的對邊分別是a, b,c,若/ 一甘=比，sin c = 2 ji sin b ,則a=（）（a） 30°【

7、答案】a(b) 60°(c) 120°(d) 150°【解析】本題主耍考查正弦定理與余弦定理的基本應用，屬于中等題。由止弦左理得所以cosa二b2+ct2bc-乜be + c? _ _£bc + 2也be _ 觀2bcibe _ t所以a=30°a 2v5例4.(浙江文)(本題滿分14分)在中，角4,b,c所對的邊分別為a,b,c,且滿足cosy = -, abac = 3(i)求abc的血積； (ii)若c = l,求q的值. (i)cos2cos-l = 2x(_1 = |乂 / w (0,龍)，sin a = 71 - cos2 a而ab

8、j4c= 1b.ac.cosa5= >bc = 3,所以be = 5,所以abc的而5積為：一bcsin/ = x5x = 2225(ii)由(i )知be = 5,而c = l,所以h = 5所以a 二 b2 +c2-2bccosa = 725 + 1-2x3 = 2后ac例5.(湖南卷文)在銳角wc中，bc = x,b = 2am 的值等于"的収值范圍為_解析設上力=0,二 b = 20由正弦定理得g竺，.士十竺 sin 2 sin& 2cos cosp由銳角 abc 得(t <20< 90 =>0°<<45°,又

9、0° <180°-3 <90° n30° <<60°,故 30*0<45。=>¥<品<¥，z. ac = 2cos& e (v2,>/3).例6 :在/abc中，內角力，b, c對邊的邊長分別是a, b, c,已知a=2, c=彳.(1) 若的面積等于萌,求a, b的值；(2) 若 siru5=2sin4,求/3c 的血積.【思路分析】rfl正、余弦定理及面積公式列關于日，方的方程組. 【解】由余弦定理得/ +尸一=4,乂因為/bc的面枳等于萌，1lj# + 甘

10、_ ab= 4,所以cibsinc=yj3,得ab=.聯(lián)立方程纟卅解得日=2,b=2.厶ab= 4,(2)由正弦定理，已知條件可化為b = 2ci,a +斤一 &b= 4,2、用4l312、伍聯(lián)立方程組，o解得 尸巳一，b=* 所以肋c的面積s=-absinc=.力=2日，jj£o【規(guī)律小結】 余弦定理揭示了三角形邊角z間的關系，是解三角形的重要工具，在能夠確定三邊的情況下求三角形 的面積，只要再求得三角形的一個介就可以了.例7 :在厶abc中，角/、b、c的對邊分別為0、方、c,且滿足(2b-cycosa-acosc=0.(1) 求角/的大小；(2) 若a卡,s朋c=學，試

11、判斷/bc的形狀，并說明理由.【解】：(1)法一：(2/c)cos/acosc=0, 由正弦定理得，2sin3cos/ sin(/ + c) = 0,to水i7, ./=#.(2sinfisinqcos sina cosc=0, 即 sinfi(2cos/ 1)=0.sinho, cosa(2) t s/mcpbcsiru334 ,:bc=3,ab2+c2 = 6, /%為等邊三角形.即 bcsinf=羊，t a2=b2-c22bccosa, 由，得b = c=£,例8： a abc的三個內角力，b , c所對的邊分別為g、b、c , tz sin 4 sin 5 + a cos2

12、a =.(t)求纟；(ii)若c b'j爲 a,求a【思路點撥】(i)依據(jù)正弦定理，先邊化角，然后再角化邊，即得；(ii)先結合余弦定理和已知條件求岀cos3的表達式，再利用第(i)題的結論進行化簡即得.【精講精析】(i)由正弦定理得,sin2 sin5 +sin5cos2 a -=v2 sin a ,即sin s(sin2 / + cos，a) = v2 sin/1.故sin 5 = v2 sin ,所以- = v2a(11)由余弦定理和c2 =b2+4ia 得cosb = ° + )d2c由(i)知決=2/,故/ =(2 +可得cos2 b = ,又cosb0,故cos5

13、 = ,所以3 = 45°.2 2例9 :.在abc中，角a, b, c所對的邊分別為a, b,c,且滿足csina=acosc.(1) 求角c的大??；(2) 求v3sin/l-cos(5 + -)的最大值,并求取得最大值時角a, b的大小.4【思路點撥】本題主要考查利用止弦定理消邊，再考查三角恒等變形突出考查邊角的轉化思想的應用邊角共存的關 系中?？紤]消去邊或消去角，如果考慮消邊，如果是邊的一次常用正弦定理，如果是邊的二次?？疾橛嘞叶ɡ恚诳?查余弦定理時兼顧考查湊配.如來考慮消角，那么是余弦就用余弦定理，而如果是正弦定理必須等次才能使用.【精講精析】(1) ill正弦定理得sin

14、 csina = sin a cosc,因為 0 <a</r,所以 sin a>0.從而 sinc = cos c又 cos c h 0,所以 tan c = 1,則 c =43tt（2）由（t）知=4于是4>/3 sin a 一 cos(5 + ) = >/3sin- cos( 一 a)4=vj sin 4- cos a = 2 sin(力 + 彳).v0<t1<yi + -<jafo當/ + ? = ?，即/二蘭時,466126232sin（/ +彳）取最人值2.綜上所述，屈in/-cos（3 + f ）的最人值為2,此時a 珂b = %解三

15、角形測試題一. 選擇題1.已知/bc 中，d=4, b=4 氐 za = 30° ,則 z3 等于(a. 30°b. 30° 或 150° c. 60°d. 60° 或 120°2.在中，若sin a>sinb ,則力與b的大小關系為（a. a> bb. a<bc. a>bb的人小關系不能確定3. 己知mbc 中，4b=6, zj = 30° , zb=12o° ,則/abc 的面積為()a. 9b. 18c. . 9 73d. 18v34在mc中,5 = 45° c =

16、 60= c = 則最短邊的邊長等于a/6a.、3b、v|2c、d、v325在 abc ip, cos a cos5 cosc ,則abc -定是a.直角三角形b.鈍角三角形 c、等腰三角形d.、等邊三角形5. 在zabc中,若竺4 =竺色，則b的值為（）a bb. .45°6. 已知aabc的面積為一，且b = 2,c = * ,則za等于（2a. 30°b. 30° 或 150° c. 60°7. 在aabc 中，若 2cosbsina二sinc,則aabc 定是a.等腰直角三角形b.等腰三角形c.直角三角形a. 30°c. 60

17、°d. 90°d.60° 或 120°( )d.等邊三角形8.已知銳角三角形的邊長分別為1, 3,b. （v8,vio）a.(8,10)a,則a的范圍是（78,10） d.c.9.在銳角三角形abc中，有a. cosa>sinb 且 cosb>sinab. cosasinb 且 cosbsina10.已知 abc的三邊長d = 3,b = 5,c = 6,則aabc的面積為（a. v14b. 2v14 c. v15d. 215二、填空題11 在 aabc 中，如果 sin/f:sin5:sinc = 2:3:4,那么 cosc 等于。12.

18、在zabc 中，a = 3v3,c = 2,b = 150° ,則 b=13. 在鈍角aabc中，已知"1,則最大邊c的取值范圍是o14三角形的一邊長為14,這條邊所對的角為60°,另兩邊之比為8： 5,則這個三角形的面積為o三、解答題15.已知 <7=3 a/3 , c=2, b=50° ,求邊 b 的長及 sa.16. （2013年高考天津卷（文）在中，內角畀，b, c所對的邊分別是曰，b, c.已知bsin/ = 3csinb,日二3,2cos0 =.3（i ）求方的值； （ii）求si23-耳的值.17.(全國1117)(本小題滿分10分)

19、53在屮，cos a =, cos b =-.135(i )求sinc的值；(ii)設bc = 5,求厶abc的面積.18 (2013年高考浙江卷(文)在銳角aabc中，內角a, b,c的對邊分別為a, b, c, 且 2asinb二寸5b .(i) 求角a的大小;(ii) 若 a=6, b+c二&求zabc 的面積.19.在銳角三角形中，邊a、b是方程x22y3 x+2二0的兩根，角a、b滿足:2sin(a+b) -3 =0,求角c的度數(shù)，邊c的長度及zxabc的而積20.(遼寧17)(本小題滿分12分)71 樂4 abc中，內角4 b, c對邊的邊長分別是°, b, c,

20、已知c = 2, c = -.3(i )若厶abc的面積等于、廳，求a, b：(ii)若sin b = 2sin a ,求的面積.答案12. 713. y/5<c<314. 40a/3(21815.解：b2=a+c22accosb=(3 43)2+222 33.-b=7,1 i13s = qcsinb = x 3 y/i x 2 x = y/i .2 22 2(丨)解：在山h .rzy, . .»in/f ln" ""加伽'又由加in"3”in , 川釗 口 = 3c 乂口3,故c 1.ill/ a1 -lacb t com.2,可得什衙.(ji)解：djcosh?得麗加豐，進而得昨論仏叫，竽 所以sin(2號希2coscos2肌in*婕也一51217 解：(i ) il cos a =,得 sin/= ，1313由 cos b = ，得 sin 3 = 2 分55所 以 sinc = sin(/