第二章分離變量法

1、數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法1第二章第二章 分離變量法分離變量法2.1、分離變量法的基本思想和解題步驟 有界弦的自由振動、圓柱體穩(wěn)態(tài)溫度分布2.2、一般格式、固有值問題2.3、齊次邊界條件非齊次方程的解法、 非齊次邊界條件的處理數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法2基本思想： 首先求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。適用范圍：波動問題、熱傳導問題、穩(wěn)定場問題等特點：a.物理上由疊加原理作保證，數(shù)學上由解的唯一性作保證；b.把偏微分方程化

2、為常微分方程來處理，使問題簡單化。2.1 分離變量法的基本思想和解題步驟數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法322222,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 問題：此方程如何求解？問題：此方程如何求解？ 2000,.ttxxttua utxuuxxt 11,22x atx atu t xxatxatda 由達郎貝爾公式知此方程的通解：由達郎貝爾公式知此方程的通解：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法4方法方法1 1：將初始條

3、件奇延拓至：將初始條件奇延拓至l,0),l,0),再以再以2l2l為周為周期，周期期，周期延拓至延拓至 便可利用達郎貝爾便可利用達郎貝爾公式求解公式求解方法方法2：由邊界條件知兩端是固定的，故會形：由邊界條件知兩端是固定的，故會形成駐波：波形不傳播，不同點的振動同步，規(guī)成駐波：波形不傳播，不同點的振動同步，規(guī)律相同，但是各點的振幅不同，駐波可表示為：律相同，但是各點的振幅不同，駐波可表示為：x( , )( ) ( )u x tx x t t先求滿足方程和邊界條件的能分離變量的特解先求滿足方程和邊界條件的能分離變量的特解數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法5

4、令:( , )( ) ( )u x tx x t t代入方程：2( ) ( )( ) ( )x x tta xx t t2( )( )( )( )xxttx xa t t 令：2( )( )0( )( )0xxx xtta t t代入邊界條件(0) ( )0,( ) ( )0xt tx l t t(0)0,( )0xx l22222,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 2.2.1 求兩端固定弦的自由振動2.1 、兩個典型例子數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法6

5、( )( )0(0)0,( )0xxx xxx l分情況討論：20,01）( )xxx xaebe00llabaebe00abx02）( )x xaxb00abx( )cossinx xaxbx0sin0abl3）20(1,2,3,)nnl222(1,2,3,)nnnl222nl( )sin(1,2,3,)nnnxxbxnl110llee數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法72222 ( )( )0nna nttt tl( ) cos sin(1,2,3,)nnnn atn att tcdnll( , )(cossin)sin(1,2,3,)nnnn an

6、 anux tctdtxnlll11( , )( , )(cossin)sin(1,2,3,)nnnnnu x tux tn an anctdtxnlll2( )( )0( )( )0xxx xt ta t t22222,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 222(1,2,3,)nnnl( )sin(1,2,3,)nnnxxbxnl數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法801( , )( ,0)sin( )ntnnu x tu xcxxl10( , )sin( )

7、nntu x tn andxxtll1sin)sincos(nnnxlntlandtlancu2001 cos 2/sindd22llnlnlx xxl001sinsindcoscosd02llnmnmnmxx xxxxllll xxlmxlncxxlmxlnnldsinsindsin)(010 mcl2lmxxlmxlc0dsin)(2lnxxlnxand0dsin)(2lnxxlnxlc0dsin)(2數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法9對于此方程三種情況：00022只有當?shù)谌N情況且 方程有非零解。類似于矩陣 的固有值問題當且僅 當 為某些特殊值時

8、，該線性方程組有非零解。 (1,2,3,)nnlxax) 1 (0)(, 0)0(0)()( lxxxxxx數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法10類似地我們把x(x)的邊值問題（1）式稱為固有值問題，使固有值問題（1）有非零解的 的取值為固有值，相應的的非零解為固有函數(shù)。（1）式的的固有值：222(1,2,3,)nnnl相應的固有函數(shù)： ( )sin(1,2,3,)nnnxxbxnl數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法11)()(),(ttxxtxu2/lnnxlnbxxnnsin)(tlandtlanctnnnsi

9、ncos1sin)sincos(nnnxlntlandtlanc11nnnnntxuulnxxlnxand0dsin)(2lnxxlnxlc0dsin)(20 xx02 tat1 1、分離變量、分離變量2 2、求固有值和固有函數(shù)、求固有值和固有函數(shù)3 3、求另一個函數(shù)、求另一個函數(shù)4 4、求通解、求通解5 5、確定系數(shù)、確定系數(shù)分離變量法可以求解具有齊次邊界條件的齊次偏微分方程分離變量法可以求解具有齊次邊界條件的齊次偏微分方程 lxxtxuxxuttlututlxxuatu0),()0 ,(),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,22222數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊

10、函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法12 解的性質：解的性質： x=x0時：( , )(cossin)sinnnnn an anux tctdtxlll其中：22arctannnnnnnndn aacdlc00(, )sincos()nnnnnux taxtlcos()sinnnnnatxl這表示在任意一點0 x處都作簡諧振動。t=t0時：00( , )cos()sinnnnnnux tatxl(1,2,3,)n 這說明，任一時刻弦的形狀都是正弦波，其振幅隨不同的時間0t而不同。0cos()nnnat( , )(cossin)sinnnnn an anux tctdtxlllcos()sinnn

11、nnatxl數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法13振幅: sinnn xal頻率: n初位相: n波節(jié): 120 ,nlllxlnnn2135,2222nllllxnnnn波腹:駐波法 l( , )(cossin)sinnnnn an anux tctdtxlllcos()sinnnnnatxl數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法14于是我們可以說于是我們可以說u(x,tu(x,t) )是由一系列頻率不同是由一系列頻率不同( (成倍增長成倍增長) )、位相、位相不同、振幅不同的不同、振幅不同的( (固有振動固有振動)

12、 )駐波疊加而成的。所以分離變駐波疊加而成的。所以分離變量法又稱量法又稱駐波法駐波法各駐波振幅的大小和位相的差異，由初始各駐波振幅的大小和位相的差異，由初始條件決定，而頻率條件決定，而頻率(n(n a)/la)/l與初始條件無關，所以也稱為弦的與初始條件無關，所以也稱為弦的固有頻率固有頻率。 基頻，n1al111,sinsinxaux tatll基波 ,432稱為諧頻， 相應的,432uuu稱為諧波?；ǖ淖饔猛铒@著 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法15第一步第一步: : 分離變量。分離變量。令 ()( ) ( )u x tx x t t適合方程和

13、邊界條件，( )x x從而 定出所適合的固有值問題，以及 ()tt適合的常微分方程. 第二步第二步: : 解固有值問題的分離變量形式的解。解固有值問題的分離變量形式的解。求出全部固有值和固有函數(shù).并求出相應的 ( )t t的表達式. 第三步第三步: : 疊加定系數(shù)。疊加定系數(shù)。將所有變量分離形式的特解疊加起 來，并利用初始條件定出所有待定常數(shù). 綜上所述，分離變量法的解題步驟可以分成三步：綜上所述，分離變量法的解題步驟可以分成三步： 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法16)()(),(ttxxtxutxtx ttxx 0 xx0 tt0)() 1 (),

14、 1 (0)()0(), 0(ttxtuttxtu0) 1 (, 0)0(xx 0)1(,0)0(10,0xxxxx10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutu例(1) : 求下列定解問題解：第一步分離變量：偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠痰谝徊椒蛛x變量：偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠虜?shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法17 0) 1 (, 0)0(10, 0xxxxx20 20xx(0)0(1)0xabxaebe0 ba0)(xx( )xxx xaebe0baxxx)(0 ba0)(xx0

15、 x20( )cossinx xaxbx(0)0,(1)sin0xaxb,1,2,3,nnn22nnxnbxxnnsin)(20xx第二步：求固有值和固有函數(shù)第二步：求固有值和固有函數(shù)分三種情況：分三種情況：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法18, 3 , 2 , 1,22nnn0 tt022 nntnttndtnctnnnsincos11sin)sincos(nnnnnxntndtncuunnntxu )sincos(sintndtncxnbnnnxntndtncnnsin)sincos(第三步：求另一個函數(shù)第三步：求另一個函數(shù)第四步：寫出通解第四步：

16、寫出通解數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法19xxncxunnsinsin)0 ,(1lnxxlnxlc0dsin)(21011nncn，0sin)0 ,(1nnxnndtxulnxxlnxand0dsin)(20ndxtxntndtncuunnnnnsincossin)sincos(11第五步：確定待定系數(shù)第五步：確定待定系數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法20)()(),(ttxxtxu2xta x t21xtxat0 xx20ta t0)()0(), 0(ttxtu0,0(0)0,( )0xxxlxx l0

17、)0(x( , )( ) ( )0u l tx l t tx( )0x l222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)( ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt解：例(2) 求下列定解問題數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法210,0(0)0,( )0xxxlxx l20 20xx(0)0( )0llxabx la eb e0 ba0)(xx( )xxx xaebe0baxxx)(0 ba0)(xx0 x20(0)0( )cos0xax lbl(21)/2 ,1,2,3,nnln222(21)/4nn

18、l(21)( )sin2nnnxxbxl( )cossinx xaxbx20xx數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法22222(21)/4nnl2222(21)04nnnattl(21)(21)cossin1,2,3,22nnnnanatctdtnll11(21)(21)(21)(cossin)sin222nnnnnnananuuctdtxlllnnntxu (21)(21)(21)(cossin)sin222nnnananctdtxlll20ta t數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法2321(21)( ,0)sin

19、22nnnu xcxxlxl1( ,0)(21)(21)sin022nnu xnandxtll0nd202(21)(2 )sind2lnncxlxx xll23332(21)ln 2( ,0)( ,0)2 ,0u xu xxlxt初始條件：lnxxlnxlc0dsin)(2lnxxlnxand0dsin)(2數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法242331321(21)(21)cossin(21)22nlnanutxnll 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法2522222222220,xyauuxyaxyuf x y

20、例3 圓柱體穩(wěn)態(tài)溫度分布222110,cos , sin( ),r auurrar rrruf aaf解：(1)設( , )( ) ( )u rr r2110rrrrr 211rrrrr ), 0(u( , )( ,2 )u ru r數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法260 ( )(2 ) 自然周期條件0,( )(2 ) ( ) ( )(2 ) ( )r rr r (2)解固有值問題20,01）00abaebe 02）0 0bab01 20 3）20cossinab nn22,1,2,3,nnn n220r rrrn r僅當 ，該通解周期為2數(shù)學物理方程

21、與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法27歐拉方程：220r rrrn rlntretr令ddd1 ddd ddrrtrrrtrrt222d1 d1dd()()ddddrrrrr rtrtt2220d rn rdt2,0,1,2,nnnnbnannnsincosntntnnnnnnnrc ed ec rd r通解：), 0(unnnrc r歐拉方程變?yōu)椋簲?shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法28圓內(nèi)考慮（自然邊界條件）：圓內(nèi)考慮（自然邊界條件）：cossincossinnnnnnnnnnnuranbnc rcndnr00101coss

22、in2cossin2nnnnnnnnnncuucndnrccndrna數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法291010cossin2( , )cossin2( ),0,1,2,nnnnnnnccncu acndnafndn故上式是f在 上的傅里葉展開，則有：2 , 0設 f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 其傅里葉級數(shù)展開：)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn), 1,0(dcos)(1nxnxxfan數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法302022002

23、01( )cosd1( )1( )cosd,0,1,2,1( )sind,1,2,3,sindnnnncfnnadfnffnnna 2200120111( , )( )d( ) coscossinsind21( ) 1 2cosd2nnnnru rffnnnnarfna nnnnrndnccru10)sincos(2),(數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法3101,cosre,1ninnnrrzenzzaaz 若令則利用公式100222212cos12cos112 r e12 r e12cosnnnnnnrrnnaazzaraarr )(!)()(! 2

24、)()()()(00)(200000 nnxxnxfxxxfxxxfxfxf函數(shù)的泰勒展開：drarafrarudarfrunn202222201)cos(2)(2),()cos()(21)(21),(可化簡為：則：此式即為此式即為poisson積分公式積分公式數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法3201( , )cossinnnnnnra laplaceu rcanbnc rra圓外方程有界解的一般形式為：1200121( , )lncossinnnnnnnnara laplaceu rcdrc rd ranbnara 環(huán)域方程有界解的一般形式為：數(shù)學物

25、理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法3320220110,02( , )cos ,02uurrrrrrru r例4 求下列定解問題解：nnnur 001cossinnnnnnnuuccndnrcossincossinnnnnnnnanbnc rcndnr0001( , )coscossinnnnnu rccndnr01( , )cossinnnnnnra laplaceu rcanbnc rra圓外方程有界解的一般形式為：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法34202200201( )cosd1( )1( )cosd,0,1

26、,2,1( )sind,1,2,3,sindnnnncfnnadfnffnnna 本題：cos)(f利用三角函數(shù)正交性：lllllldxlxmlxnnmlnmdxlxmlxnnmlnmdxlxmlxn0cossin0sinsin0coscos數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法35可得：0,01nndrcc其它為零；中只有0cosrur則：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法362.2、一般格式、固有值問題數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法372.2.1 一般格式和問題(將分離變

27、量法用于更一般的定解問題)： 11220,0,0txx ax bluc t l uti axbuuuuxxt關于 的定解條件界條件是初始條件也可以是邊的定解條件可以關于非負，且上的連續(xù)函數(shù)。是上的連續(xù)函數(shù)；是有限或半無限區(qū)間的線性微分算子：和分別是關于公式中tjbbxajxbijtaxbxxbxxbltattattalxtlljjjjjjxtxt);2 , 1(0,)2 , 1 , 0()()2 , 1 , 0)()()()()()()(,222122021220數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法38采用分離變量法步驟第一步：分離變量第一步：分離變量：

28、112200,00 xtuxl x xx xx axax bxblt tc t t tx t taxb設代入齊次方程和齊次邊界條件，分離得固有值問題和常微分方程,數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法39第三步：第三步：疊加定系數(shù)。第二步：第二步：解固有值問題，得分離變量形狀特解。 ,nnnxxtt根據(jù) 的不同情況，求通解。由邊界條件求固有值和固有函數(shù)然后代入固有值求。數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法402.2.2 固有值問題的施圖姆劉維爾(sturm-liouville)定理一般的二階齊次線性常微分方程) 1 (0

29、)()()()()()()(210 xxxxxbxxxbxxxb0exp1exp1exp1exp1:exp1) 1 (010201010100010010 xdxbbbxbdxbbbxbdxbbbxbdxbbbdxbbb兩邊同乘以：)()()(),()()()()()(exp)(:00201xbxkxxkxbxbxqdxxbxbxk令數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法41則（則（1）變?yōu)椋海┳優(yōu)椋?0slddxk xq x xx xdxdx型方程-sturm-liouvile施圖姆施圖姆-劉威爾型方程劉威爾型方程數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函

30、數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法42下面就施圖姆下面就施圖姆劉維爾劉維爾(sturm-liouville(sturm-liouville) )方程討論固有值問題方程討論固有值問題 11,2,0,0,0k xca bxq xc a ba bk xxq x首先對方程中的系數(shù)作以假定：連續(xù)性；在上，。)2(0)()(0)()(0)()()()()()(2211bxbxaxaxbxaxxxxxxqxxxk數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法43s-l型方程的固有值問題（2）式的固有值、固有函數(shù)有如下性質：1) 1) 非負性非負性1212,lim,nnnnxxx 一

31、定存在一串實固有值和相應的固有函數(shù)2) 2)可數(shù)性可數(shù)性012 3nn所有的， ， ， 00001q xx的充要條件是，兩端不出現(xiàn)一、三類邊界條件，且。數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法443) 3) 正交性正交性4) 4) 完備性完備性固有函數(shù)系 是完備的。對于在 上有連續(xù)一階導數(shù)，分段連續(xù)二階導數(shù)，且滿足定解問題（2）中的齊次邊界條件形式的函數(shù)f(x),有在 上絕對一致收斂的廣義傅里葉展開：)(xxnba,ba,)4()()()()()()()()()()()()()()()()()3()3()()(2211xxdxxfxxxdxxxxdxxfxxx

32、cdxxxcxxdxxfxxxxxxxxcxfnnbabanbannbabannnnnnnnn利用正交性：再積分：兩邊同乘以bamnmnmndxxxxxxxxxx0)()()()(),(：不同固有值對應的固有函數(shù)相互加權正交。即數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法452,0,0,(0, )0,( , )( , )0,0( ,0)( )0txxxxua uxl tutu l tu l ttu xxxl例例1 1： 有界桿上的溫度分布：長為有界桿上的溫度分布：長為l l的導熱細桿，桿身側面絕熱，的導熱細桿，桿身側面絕熱，內(nèi)部無熱源。桿的一端絕熱，桿的另一端與外

33、界溫度保持零度內(nèi)部無熱源。桿的一端絕熱，桿的另一端與外界溫度保持零度的介質自由熱交換，桿的初始溫度已知，求此桿上的溫度分布的介質自由熱交換，桿的初始溫度已知，求此桿上的溫度分布數(shù)桿端與外界的熱交換系桿身的熱傳導系數(shù)，其中hkkh,數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法46解：令)()(),(ttxxtxu2xta x t 21xtxat0 xx20ta t(0)0,( )( )0xx lx l( , )( , )( ) ( )( ) ( )( )( )( )0 xu l tu l tx l t tx l t tx lx l t t(0, )(0) ( )0

34、xutxt t令：已知條件：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法470,0(0)0,( )( )0xxxlxx lx l固有值問題：固有值問題中的方程是s-l型的 0slddxk xq x xx xdxdx型方程1)(, 0)(, 1)(xxqxk其中：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法4820 20xx( )xxx xaebe(0)0( )( )0llllxababx lx la eb eaeb e0 ba0)(xx0baxxx)(0 x0)(xx0b ( )( )0x lx lb(0)0xa2020xx( )co

35、ssinx xaxbx(0)0( )( )sincos0xbx lx lalal 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法4920ta t220nnnta t22na tnntc ennntxu 2211cosna tnnnnnuuc ex22cosna tnnc ex2,1,2,nnn( )cosnnxxx1( ,0)cos( )nnnu xcxx22cosna tnnnc a extanl-固有函數(shù)求另一個函數(shù)：寫出通解：-固有值-此超越方程有無窮多個正實根數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法50固有函數(shù)模的平方為：)

36、(21tan1tan241242sin2)2cos1 (21coscos22200222nnnnnnlnnlnnlllllldxxxdxxxlnmnmxdxx0)(0coscos三角函數(shù)正交：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法5100220( )cosd( )cosdcoscosdllnnnlnnxx xxx xcxx x22122011,( )cosdcos2nla tnnnnu t xlex 1( ,0)cos( )xnnnuxcxx已知條件：)(x即上式是 安固有函數(shù)系的展開，則根據(jù)（4）式：)(21coscos220222nnlnnlxdxxx數(shù)

37、學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法52 00yylxlyly l . 10. 0, 1, 0, 1xyxxqxkls，相應固有函數(shù)為且故且為第二類邊界條件。型方程，其中題中方程是例1 解固有值問題解： 200cossinsincos0sincos0y xaxbxalblalbl當時，設。方程的通解為代入邊界條件，1 0slddxk xq x xx xdxdx型方程數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法53 2,1,2,3,22(1)sincos022cossin22coscossinsin2222cos2nnnnnnnl

38、lnnabnnabnn xnn xyxllnxll 固有值：代入得：這個方程的一個非零解是：，固有函數(shù)： 20110 x yxyyxeyy e例2 解固有值問題解： 22,1,2,3,sinlnnnnnnnnyxnx 固有值：固有函數(shù)：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法54 3001010yyyxyy30 xxxesle ye y都乘以得型方程例3 解固有值問題解：22003011 12112122rrirr 時,或11 1211 12221,12xxycede 通解為：(0)(1)00yycd121,12xycdx e通解為：(0)(1)00yycd數(shù)

39、學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法55121121121,cossin1222xyecxdx通解為：121121(0)00, (1)sin022ycydn 1222141 ,1,2,3,sin12xnnnyxen x另解：設想能不能通過變量代換將方程化成最簡單的s-l 型方程，即消除一階導項。令： xy xez x 22xxxxxyxez xezxyxezxezxez x代入方程： 21230zxzxz x0數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法56 11112002112203sin,3sinnnnxxnnnxxnnn

40、f xf yxx f x yx dxe f x en xdxf xyxfyxyxyxe en xdx， 11;3024zxz x 0zxz x 010zz 22121113434sin;sinnnxnnnnzxn xyxen x數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法57 000, 0, 0|0,|0,|0 xxyyxx ayyyy buuxaybuufyuu( , )( ) ( )u x tx x y y2xya x y 0xyxy0xx0(0)( )0yyyy b代入方程：解：設例2.2.2 矩形區(qū)域矩形區(qū)域 00,1yy20,cossinycydy 00

41、0sin0sin0nyddy bcbnbb cosnnyyb數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法5820nxxb 000, 0, 0|0,|0,|0 xxyyxx ayyyy buuxaybuufyuu22,0,1,2,nnnbcosnnyyb 000,00,nnnxx xab xnnnx xa chxb shxbb001( , )cos0nnnnnnu x yab xa chxb shxybbb 0101(0, )cos00( , )cosnnnnnnuyaayabannu a yb ab shyfybb數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2

42、章分離變量法章分離變量法59 01( , )cosnnannu a yb ab shyfybb 002000201111cos12coscosbbbbbnfydybfy dyaabdynfyydynbbfyydyananbnshbshybbb 0012( , )coscosbbnxnnnu x yfdfd shxyanabbbbbshb 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法60 21020,1, 02|0,|0,|rr eureuuuug r代入方程：解：設例2.2.3 扇形區(qū)域扇形區(qū)域( , )( ) ( )u rr r2110rrrrr 211rrrr

43、r 0 20r rrrr 1010rrrrrr e歐拉方程lntretr令數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法61220100ttd rrdtrr 2,1,2,sinsinlnnnnnrtn tnr0 20n csnnnahnbhn cssinlnnnnnnurahnbhnnr11,cssinlnnnnnnu ruahnbhnnr 01221sinln0ssinln2nnnnuanrubhnnrg r0na 11220211sinln12sin1sinlnss22etneg rnrdrrbg en t dtnnnrdrhhr數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方

44、程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法62222222222202200,0,0 xx luuxlxyuuyyuy例2.2.4 求滿足雙調(diào)和方程定解問題的所有分離變量形狀的解解： ux x y y設代入方程 4420xx yyxxyy 4y20xyyxyy將上式對 求導，得數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法63 424220xxyyyxxx =- 22022000 xx luxyyyux l yyy代入定解條件 000yyxx l又，從而有 2sin,1,2,nnnnxxxnll故可解得：=,代入y的方程，其特征方程為：244220nnkkll 44

45、20xx yyxxyy 420xyyxyy數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法6401)1(1)( ypypypynnnn特征方程為特征方程為0111 nnnnprprpr特征方程的根特征方程的根通解中的對應項通解中的對應項rk重重根根若若是是rxkkexcxcc)(1110 jk復復根根重重共共軛軛若若是是xkkkkexxdxddxxcxcc sin)(cos)(11101110附錄：附錄： 階常系數(shù)齊次線性方程解法階常系數(shù)齊次線性方程解法n數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法65有兩個二重根1,23,4,.nnkk

46、ll 故解得相應的 nnyyllnnnnnnnnnyyab y ecd y ennab y chycd y shyll問題的全部分離變量形狀解為sin,1,2,3,nnnnnnnxab y chycd y shynlll數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法6622222200000,0,00,0,xy bx ayzz cuuuxaybzcxyzuuuuxyuux y例2.2.5 求長方體內(nèi)穩(wěn)恒溫度分布解：這是我們遇到的第一個高維問題，仍試著用分 離變量法求解。 0ux x y y z zuxyzxyz設,代入方程并除以 得xxy y 注意到x,y的邊界條件

47、都是齊次的?？闪?，再分離邊界條件數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法67 000000xxyyy byxxa，以及常微分方程0zz解兩個固有值問題 222121,sin,0,1,2,222121,cos,0,1,2,22nnmmnnxxxnaammyyymbb ,nmnmnmnmnmnmnmzzc chzd shz相應的,02121, ,sincos,22nmnmnmnmn mnmu x y zc chzd shzxyab由疊加原理：數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法680,0,02121sincos0,222121

48、sincos,22nmzn mnmnmnmnmz cn mnmucxyabnmuc chcd shcxyx yab非齊次邊界條件代入：2121,sincos22,0,1,2,nmx yxyabn mfourier上兩式可視作0及關于二元函數(shù)系，的展開式。 ,00,0,0,0,nmnmnmnmn mxxyyabxxxx yyabxxf x yf x ycxx yy 當，分別為區(qū)間，上帶權,的一元完備正交系在矩陣上相互帶權正交且保持完備，則對于任意的，有定理2.2.2定理2.2.2數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法69 0022,abnmnmnmf x y

49、xx yyxx dydxcxxyy 其中的系數(shù)00021214,sincos22nmabnmnmcnmdx yxydydxabshcab 在本例中即可求得，2.3、非齊次問題2.3.1 齊次邊界條件下非齊次發(fā)展方程的混合問題（一）傅立葉級數(shù)法（二）沖量定理法（三）特解法限于齊次的邊界條件數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法70（一）（一）fourier級數(shù)法級數(shù)法分離變量法得出的結果提示:把所求的解本身展開為傅里葉級數(shù) ( , )( )( )nnnu x tt t xx基本函數(shù)族基本函數(shù)族 xn(x) 為為相應齊次相應齊次問題問題固有函數(shù)。固有函數(shù)。fou

50、rier系數(shù)不是常數(shù)，是時間系數(shù)不是常數(shù)，是時間 t 的函數(shù)。的函數(shù)。第一步，第一步，用分離變量法求出相應齊次問題用分離變量法求出相應齊次問題(f(t,x)=0)的固有值問題的固有值問題,解解出固有值和固有函數(shù)。出固有值和固有函數(shù)。第二步，第二步，將未知函數(shù)及已知函數(shù)按固有函數(shù)系做廣義將未知函數(shù)及已知函數(shù)按固有函數(shù)系做廣義fourier展開。展開。代入方程和初始條件得到代入方程和初始條件得到t(t)的初值問題。的初值問題。( , )( )( ),( , )( )( )( )( ),( )( ),nnnnnnnnnnnnu x tt t xxf x tf t xxxxxxxx第三步，第三步，解解

51、t(t)的初值問題，確定的初值問題，確定t(t) ，給出，給出u(t,x)的級數(shù)表達式。的級數(shù)表達式。數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法71例2.3.1兩端固定弦的強迫振動22222( , ),0,0(0, )( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaf x txl ttxutu l ttu xu xxxxlt( )sinnnxxxl解：相應的齊次問題的固有函數(shù)設1,( )sin( , )( )sin( )sin( )sinnnnnnnnnnu t xt txlnf x tf txlnxxlnxxl 0002( )( , )sind2s

52、ind2sindlnlnlnnf tf x tx xllnxx xllnxx xll數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法7211(0)sinsin(0)sinsinnnnnnnnnnntxxllnntxxll2222( )( )( )(0),(0)nnnnnnnnt tat tf tltt2112222111( )sin( ) sin( )sin( )sin( )sinnnnnnnnnnnnnttxat txllnnnttxat txlllnftxl 代入方程和初始條件2222( )( )( )0nnnnt tat tf tl(0)(0)nnnntt( )

53、nt t初值問題，解出1cossin( )2aplacennnnnn an aatbtv tllab方法 ：通解=齊次方程的通解+非齊次的特解=代入初始條件定出 ，方法 ：l變換法數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法73222sin0,0(0, )( , )0( ,0)0uuatxl ttxutu l txxu x)()(),(ttxxtxuxtaxt 2xxtat 2002 tatxx例1 求下列定解問題解：先解對應的齊次問題2220,0(0, )( , )0( ,0)0uuaxl ttxutu l txxu x數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函

54、數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法740202 xxxxbeaex0x0)0(baxllebealx )(0 ba00 xbaxx0bx 0202 xxxbxaxcossinlnn0)0(ax0sin)(lblx, 3 , 2 , 1,22nlnnnxlnbxnncos002 tatxx 0)(, 0)0(00lxxlxxx0)()(),(0)()0(), 0(ttlxxtluttxxtu數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法75222sin0,0(0, )( , )0( ,0)0uuatxl ttxutu l txxu x22,0,1,2,cos,nnnnn

55、nlnxbxl0( )cosnnnut txl22220( )( ) cossinnnnnnt tat txtll0n0( )sint tt01( )1 cost tt0n2222( )( )0nnnt tat tl(0)0nt( )0nt t tucos110( ,0)(0)cos0nnnu xtxl01( )cost ttc 2222( )natlnt tce數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法76（二）沖量定理法（二）沖量定理法 前提前提：除了方程為非齊次的外，其它定解：除了方程為非齊次的外，其它定解條件都是齊次的條件都是齊次的(初始條件均取零值初始

56、條件均取零值)。利用疊加原理利用疊加原理令令例例12uuu22211221111,( ,0)( ,0)( ),( ),(0, )0,( , )0uuatxu xu xxxtutu l t22222222222,( ,0)( ,0)0,0,(0, )0,( , )0uuaf x ttxuxuxtutu l t22222,( ,0)( ,0)( ),( ),(0, )0, ( , )0uuaf t xtxu xu xxxtutu l t數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)第第2章分離變量法章分離變量法77物理思想：物理思想：在時間在時間 0 t 內(nèi)的持續(xù)作用力看成許多前后相繼（無窮小內(nèi)的持續(xù)作用力看成許多前后相繼（無窮小時間時間 ）的）的“瞬時瞬時”力力 引起的物理過引起的物理過程的線性疊加。程的線性疊加。d( , )f xd222220,0,( , ),0,0tttxx lvvattxvvf xvv20( , )( , ; )dtux tv x t令：1tt 111222221000,0,( ,