積分的簡單應(yīng)用課件

1、積分的簡單應(yīng)用 積分的簡單應(yīng)用積分的簡單應(yīng)用1.平面圖形的面積2.曲面的面積3.幾何體(曲頂柱體)的體積4.薄板的質(zhì)量5.靜力矩6.重心、形心積分的簡單應(yīng)用 的面積計(jì)算：形由曲線所圍成的平面圖D ; ) 1),( ( d | yxfDD被積函數(shù)一般表達(dá)式 ; dd | DyxD直角坐標(biāo)系下 , dd | *DrrD極坐標(biāo)系下D *。D sin ,cosryrx1. 平面圖形的面積積分的簡單應(yīng)用例解解 12 積。所圍成的平面圖形的面，求由xxyxyxyO1xy xy2D1x) 1 , 1 ()2 , 1 ( 如圖所示， 210 | ),(，xyxxyxD dd | DyxDS dd2 1 0 x

2、xyx d1 0 xx 21 21102。x積分的簡單應(yīng)用2. 曲面的面積 d |S, | 為的面積曲面 的曲面面積元素為曲面 . dd1 d22yxzzSyxDyxyxffSdd1 22的面積為所求的曲面積分的簡單應(yīng)用時(shí)，和當(dāng)曲面方程為 ),( ),( zxfyzyfx。面積計(jì)算公式類似可得積分的簡單應(yīng)用例所割下部分的面積。被柱面求錐面 2 2222xyxyxz解 平面上的投影為故錐面被割下的部分在 xy 兩曲面的交線為22yxzxyx222，即222yxzxz22，。 0 , 2 | ),(22xxyxyxD, , 22222222yxyyyxyzyxxxyxxz又故所求的曲面面積為。 2

3、 | 2dd2dd1 22DyxyxffSDDyx0 , 1) 1( | ),(22xyxyxD積分的簡單應(yīng)用解例 的球的表面積。計(jì)算半徑為a 半球的表面積。由對稱性，只需計(jì)算上, 222yxaz上半球面的方程為。設(shè)該球面的方程為2222 azyx，平面上的投影為上半球面在 | ),( 222ayxyxDxy , , 222222yxayyzyxaxxz又DDyxyxyxaayxffSdd 2dd1 2 22222故。 4d d 2dd 22 0 22 2 0 *22ararrararraaD| ),(*rD , 200ar 積分的簡單應(yīng)用解例所夾部分的面與被平面求球面 2 4 2222aza

4、zazyx。積，其中0 axyO2222azyx2az 4az 的交線如圖所示，球面與平面分別為, 16 15222ayx4az 4 3222ayx2az 上的部分在故球面被兩個(gè)平面所截xy 投影為。 16 154 3 | ),(2222ayxayxDxyO16 152a4 32a積分的簡單應(yīng)用 222，得由球面方程yxaz , 222yxaxxz 222。yxayyz 于是，所求面積為DDyxyxyxaayxffSdddd1 222224 15 2 3 22 2 0 *22dd dd aaDrrararrraa。2 21a。其中， 4 152 3 , 20 | ),(*ararD積分的簡單應(yīng)

5、用3. 幾何體(曲頂柱體)的體積 ),( ),( 3為底，中簡單曲面，則以是：設(shè)DRDyxyxfz 可按下式進(jìn)行計(jì)算：為頂?shù)那斨w的體積以V dd| ),(| 。DyxyxfV積分的簡單應(yīng)用例2體積。面垂直相交時(shí)所圍成的求兩個(gè)半徑相等的圓柱1W2W2221 :ayxW2222 :azxW積分的簡單應(yīng)用在第一卦限中222ayx222azx底頂積分的簡單應(yīng)用解 1，于第一卦限中的體積由對稱性，只需求出位V 8 即可。然后乘以xy22xayOa1D為頂，是一個(gè)以曲面 221xazV為底的平面上的圓盤以 22xayxy所示曲頂柱體的體積。如圖。 0 , 0 | ),( 221xayaxyxD221

6、0 22 0 221ddddxaaDyxaxyxxaV。3 0 2232d)(axxaa。故31316 8 aVV積分的簡單應(yīng)用4. 薄板的質(zhì)量平面上，其質(zhì)量分布位于板設(shè)質(zhì)量非均勻分布的薄 xyD ),( 為，則該薄板的質(zhì)量元素的面密度為yx, d),(dyxm 薄板的質(zhì)量為DDyxmmd),(dDyxyxmdd),( 直角坐標(biāo)系下為 ddd d ,。標(biāo)系下，的面積元素，在直角坐為其中yxD積分的簡單應(yīng)用:的質(zhì)量平面區(qū)域DDyxyxmdd),( :3的質(zhì)量中立體Rzyxzyxmddd),( :的質(zhì)量平面曲線LLsyxmd),( :的質(zhì)量空間曲線 szyxmd),( :的質(zhì)量曲面Szyxmd),

7、( 積分的簡單應(yīng)用解例6 2 度與點(diǎn)到兩對角的正方形薄板的材料密設(shè)邊長為 a，值為比，且薄板的最大密度線交點(diǎn)的距離平方成正 1 質(zhì)量。計(jì)算這塊正方形薄板的系，使得標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)以兩對角線的交點(diǎn)為坐 表示為兩邊，則正方形坐標(biāo)軸平行于正方形的D。 , | ),(ayaaxayxD，處的密度為正方形上任意一點(diǎn) )(),( ) ,( 22yxkyxyx。于是得由題意，221 1),(akaa， )( 21),(222yxayx積分的簡單應(yīng)用 該正方形的質(zhì)量為DDyxyxayxyxmdd)( 21dd),(222,dd 21dd 212222DDyxyayxxa dddd 22，故因?yàn)镈Dyxyy

8、xx。3 4dd 1dd 2212 2222ayxxayxxamaaaaD， )( 21),(222yxayx積分的簡單應(yīng)用5. 靜力矩）的（或平面的一質(zhì)點(diǎn)到已知直線設(shè)質(zhì)量為 Lm d d （或平面為質(zhì)點(diǎn)對已知直線，則稱垂直距離為Lm）。（或）的靜力矩，記為MML 積分的簡單應(yīng)用構(gòu)成一平面的質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)量依次為中設(shè)),(2iiiiyxPmnR：點(diǎn)),(yxX ,A質(zhì)點(diǎn)系niiiyniiixxmMymM11 軸的靜力矩：軸、對yxAymMx 1niiiymxmMy 1niiixm 11niiniiiymxmmMx 1niimm 11niiniiixmymmMy積分的簡單應(yīng)用中推廣至3R平面、分別為空

9、間質(zhì)點(diǎn)系對、其中yzMMMxyxzyz 11niiniiiyzmxmmMx 11niiniiixzmymmMy 11niiniiixymzmmMz平面的靜力矩。平面和對xyxz積分的簡單應(yīng)用xyOyx軸的靜力矩。軸、對平面薄片問題：如圖所示，計(jì)算yxD d d ，它的面積也記中任取一小區(qū)域在D d d d 可近似表示的質(zhì)量。于是，為m。d),( d),(dyxyxm 由靜力矩的定義，,d),(dd dyxymyMxx軸的靜力矩為對。軸的靜力矩為對d),(dd dyxxmxMyy。軸的靜力矩的微分元素軸和對就是與 d dyxDMMyxD積分的簡單應(yīng)用d),(ddyxymyMxd),(ddyxxm

10、xMy。軸的靜力矩為對薄片 dd),( DxyxyxyMxD。軸的靜力矩為對薄片 dd),( DyyxyxxMyD稱為靜矩。和時(shí)，通常將靜力矩當(dāng) 1),( yxMMyx積分的簡單應(yīng)用6.重心、形心 對各坐標(biāo)軸時(shí)，點(diǎn)的質(zhì)量集中于一點(diǎn)若視薄片MMD為，則稱點(diǎn)對相同坐標(biāo)軸的靜力矩的靜力矩等于薄片 MD的重心。薄片 D積分的簡單應(yīng)用重心坐標(biāo)計(jì)算公式。，重心為，分布密度為的質(zhì)量為設(shè)薄片 ),( ),( yxMyxmD由重心的概念，有。 , xyMymMxm，以及，由 dd),( dd),( DyDxyxyxxMyxyxyM dd),(，立即得到Dyxyxm。 dd),(dd),( , dd),(dd),

11、(DDDDyxyxyxyxyyyxyxyxyxxx積分的簡單應(yīng)用的形心。則所得到的重心稱為它若將薄片視為勻質(zhì)的，合。的形心與它的重心不重一般說來，非勻質(zhì)薄片。 dddd , ddddDDDDyxyxyyyxyxxx形心及其坐標(biāo)計(jì)算公式 ),( 式得到形心坐標(biāo)公式常數(shù)，故由重心坐標(biāo)公由于yx積分的簡單應(yīng)用解例7所圍成的平面圖形及求由兩個(gè)圓 cos cos brar 0 。的形心，其中，ba 0 。軸上，即故形心必位于yxxyOabD coscos , 22 | ),( ，又brarD 軸對稱，關(guān)于平面圖形xDcos cos 2 2 dcosddd baDrrryxx于是2 0 4332 2 43