基于小波變換的數(shù)字圖像壓縮算法研究

1、 本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目： 基于小波變換的數(shù)字圖像壓縮算法研究姓 名： 易綱 學(xué)號(hào)： 2010000589 院（系）： 機(jī)電學(xué)院 專(zhuān)業(yè)： 通信工程 指導(dǎo)教師： 吳讓仲 職稱(chēng)： 講 師 評(píng) 閱 人： 周群群 職稱(chēng)： 講 師 2015 年 2 月學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的研究成果。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)的成果作品。本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。作者簽名： 年 月 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書(shū)本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保障、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向有關(guān)學(xué)位論文

2、管理部門(mén)或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)省級(jí)優(yōu)秀學(xué)士學(xué)位論文評(píng)選機(jī)構(gòu)將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。本學(xué)位論文屬于1、 保密 ，在_年解密后適用本授權(quán)書(shū)。2、 不保密 。（請(qǐng)?jiān)谝陨舷鄳?yīng)方框內(nèi)打“”）作者簽名： 年 月 日 導(dǎo)師簽名： 年 月 日中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（武漢）學(xué)士論文摘 要在現(xiàn)代多媒體通信中，音頻視頻傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量大，而且要求滿(mǎn)足實(shí)時(shí)傳輸功能，我們需要用數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮后再傳輸，減少傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量，提高信道的利用率。本文在Matlab平臺(tái)上仿真小波變換在數(shù)字圖像壓縮中的應(yīng)用。由于

3、圖像數(shù)據(jù)之間存在著一定的冗余，所以使得數(shù)據(jù)的壓縮成為可能。信息論的創(chuàng)始人香農(nóng)提出把數(shù)據(jù)看作是信息和冗余度的組合。所謂冗余度，是由于一副圖像的各像素之間存在著很大的相關(guān)性，可利用一些編碼的方法刪去它們，從而達(dá)到減少冗余、壓縮數(shù)據(jù)的目的。 小波分析是局部化時(shí)頻分析,它用時(shí)域和頻域聯(lián)合表示信號(hào)的特征,是分析非平穩(wěn)信號(hào)的有力工具。它通過(guò)伸縮、平移等運(yùn)算功能對(duì)信號(hào)進(jìn)行多尺度細(xì)化分析,能有效地從信號(hào)中提取信息。隨著小波變換理論的完善,小波在圖像壓縮中得到了廣泛的應(yīng)用,與傳統(tǒng)的壓縮方法相比小波分析有著很大的優(yōu)勢(shì),它能在壓縮的同時(shí)保留圖像細(xì)節(jié),得到原圖像的最佳恢復(fù)。本文首先對(duì)四種常見(jiàn)的小波基根據(jù)小波基的選取判

4、定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了比較；然后，對(duì)四種經(jīng)典小波 ，包括Haar小波、Morlet小波、Mexican hat 小波和Gaussian小波，根據(jù)小波基選取的標(biāo)準(zhǔn)做出了分析；其次，給出了利用小波變換對(duì)圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮的兩個(gè)步驟，通過(guò)第一步驟分解過(guò)程對(duì)圖像lena進(jìn)行了小波分解，由實(shí)驗(yàn)結(jié)果中的邊界失真問(wèn)題給出了幾點(diǎn)原因，并且給出了零樹(shù)編碼算法（EZW）。再次，在Matlab平臺(tái)上利用其自帶的小波基wavelet 2-D 中的五個(gè)常用的小波基函數(shù)haar、db8、sym2、coif2和dmey對(duì)六類(lèi)圖像進(jìn)行了壓縮并進(jìn)行比較。最后，通過(guò)對(duì)lena圖像的多層分解得出了幾點(diǎn)結(jié)論，實(shí)現(xiàn)了對(duì)其兩層壓縮和重構(gòu)過(guò)程，并對(duì)結(jié)

5、果做出了比較。關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)壓縮；小波變換；數(shù)字圖像壓縮；小波分析Abstract In the modern multimedia communication, audio and videos data transmits in a large amount, but also to meet the requirements of real-time transmission function, we need to use data compression techniques to compress the data before transmission, reducing the

6、amount of data transmission, to improve the channel utilization. The purpose of this paper is to simulate the application of wavelet transform in digital image compression on Matlab platform. Because of the existence of a certain redundancy of image data, it makes the data compression possible. Info

7、rmation theory founder Shannon puts forward the data as a combination of information and redundancy。The so-called redundancy, is due to the presence of significant correlation between each pixel of an image, can use some method of coding to delete them, so as to get the purpose of reducing the redun

8、dancy and data compression. Wavelet analysis is the analysis of frequency localization, it represents the signal features by combining time-domain and frequency-domain, is a powerful tool for analyzing non-stationary signal. Through the telescopic, translation operations，it can analyze the signal mo

9、re detailed, which can effectively extract information from signal. With the improvement of wavelet theory, wavelet transform has been widely used in image compression. Compared with traditional compression methods of wavelet analysis, it has a lot of advantages, it can compress images while preserv

10、ing details of the original image to get the best restoration.Based on wavelet selection criteria，this article firstly compares four common wavelet; Then, on four kinds of classic wavelet, including Haar wavelet, Morlet wavelet, Mexican hat wavelet and Gaussian wavelet, the analyzing them according

11、to the selected criteria of wavelet; later, the two steps to compress the image data by wavelet transformation is given, the first step is decomposing the image Lena through the process of the wavelet decomposition, and gives several reasons as the experimental results of the boundary distortion, an

12、d gives the zero-tree coding algorithm (EZW). Again, on six kinds of image compression and compared with the wavelet 2-D of five commonly used Haar wavelet function, db8, sym2, coif2 and dmey on the Matlab platform. Finally, through layers of Lena image decomposition some conclusions are obtained, a

13、chieved its two compression and reconstruction process, and make a comparison about the results.Key Words: data compression; wavelet transform; digital image compression; wavelets目 錄摘 要- 1 -Abstract- 2 -第一章 數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)與發(fā)展1§1.1數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)分類(lèi)1§1.2數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)的發(fā)展1§1.3 本文章節(jié)安排2第二章 數(shù)字圖像壓縮3§2.1圖像壓縮的可能性3

14、§2.2圖像壓縮原理3§2.3 數(shù)字圖像壓縮方法4§2.4 圖像壓縮的分類(lèi)4第三章 小波分析理論基礎(chǔ)6§3.1從Fourier分析到小波分析6§3.2連續(xù)小波變換與離散小波變換7§3.3 多尺度分析與正交小波變換9§3.4 雙正交小波變換11第四章 基于小波變換的數(shù)字圖像壓縮技術(shù)13§4.1 圖像的小波分解13§4.2 小波基的選取14§4.3 量化技術(shù)15§4.4經(jīng)典小波15§4.5小波變換實(shí)現(xiàn)數(shù)字圖像壓縮19§4.6利用小波基函數(shù)對(duì)各類(lèi)圖像壓縮的比較22

15、7;4.7 基于小波的數(shù)字圖像壓縮23結(jié)束語(yǔ)28致謝29參考文獻(xiàn)30附 錄31 第一章 數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)與發(fā)展在多媒體計(jì)算系統(tǒng)中，信息從單一媒體到多種媒體；若要表示，傳輸和處理大量數(shù)字化了的聲音、圖片、影像視頻信息等，數(shù)據(jù)量是非常大的。如果不進(jìn)行處理，計(jì)算機(jī)系統(tǒng)幾乎無(wú)法對(duì)它進(jìn)行存取和交換。因此，在多媒體計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中，為了達(dá)到令人滿(mǎn)意的圖像、視頻畫(huà)面質(zhì)量和聽(tīng)覺(jué)效果，必須解決視頻、圖像、音頻信號(hào)數(shù)據(jù)的大容量存儲(chǔ)和實(shí)時(shí)傳輸問(wèn)題。解決的方法，除了提高計(jì)算機(jī)本身的性能及通信信道的帶寬外，更重要的是對(duì)多媒體數(shù)據(jù)進(jìn)行有效的壓縮。§1.1數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)分類(lèi) 數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)按不同的分類(lèi)方法有著不同的分類(lèi)，根據(jù)

16、解碼后數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)是否完全一致進(jìn)行分類(lèi)，可以分成兩種類(lèi)型，一種叫做無(wú)損壓縮，另一種叫做有損壓縮。無(wú)損壓縮是指使用壓縮后的數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)（或者叫做還原，解壓縮），重構(gòu)后的數(shù)據(jù)與原來(lái)的數(shù)據(jù)完全相同1；無(wú)損壓縮用于要求重構(gòu)的信號(hào)與原始信號(hào)完全一致的場(chǎng)合。一個(gè)很常見(jiàn)的例子是磁盤(pán)文件的壓縮。根據(jù)目前的技術(shù)水平，無(wú)損壓縮算法一般可以把普通文件的數(shù)據(jù)壓縮到原來(lái)的1/2-1/4。一些常用的無(wú)損壓縮算法有霍夫曼(Huffman)算法和LZW(Lenpel-Ziv & Welch)壓縮算法。有損壓縮是指使用壓縮后的數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)后的數(shù)據(jù)與原來(lái)的數(shù)據(jù)有所不同，但不影響人對(duì)原始資料表達(dá)的信息造成誤解。有損

17、壓縮適用于重構(gòu)信號(hào)不一定非要和原始信號(hào)完全相同的場(chǎng)合。例如，圖像和聲音的壓縮就可以采用有損壓縮，因?yàn)槠渲邪臄?shù)據(jù)往往多于我們的視覺(jué)系統(tǒng)和聽(tīng)覺(jué)系統(tǒng)所能接收的信息，丟掉一些數(shù)據(jù)而不至于對(duì)聲音或者圖像所表達(dá)的意思產(chǎn)生誤解，但可大大提高壓縮比。§1.2數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)的發(fā)展數(shù)據(jù)壓縮新技術(shù)主要有兩種：1.基于分形的壓縮方法；2.小波變換在圖像壓縮中的應(yīng)用。當(dāng)前，壓縮域數(shù)據(jù)處理技術(shù)作為新興的技術(shù)還遠(yuǎn)未成熟，許多問(wèn)題有待解決，其中缺乏統(tǒng)一的理論支持是主要問(wèn)題。未來(lái)的研究工作將主要集中在四個(gè)方面：(1)設(shè)計(jì)新的壓縮算法，支持對(duì)壓縮域數(shù)據(jù)直接操作；(2)研究用小波、矢量量化、分形等方法壓縮的多媒體數(shù)據(jù)的

18、壓縮域處理算法；(3)設(shè)計(jì)專(zhuān)用的壓縮域數(shù)據(jù)處理芯片；(4)如何將用于多媒體內(nèi)容的傳輸和使用的各種標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合起來(lái)，形成一個(gè)用于多媒體的統(tǒng)一的體系結(jié)構(gòu)。本文主要研究的是小波算法研究在數(shù)據(jù)壓縮中關(guān)于數(shù)字圖像方面的應(yīng)用，下面來(lái)討論有關(guān)于小波變換概念的提出與發(fā)展。20世紀(jì)80年代，法國(guó)地質(zhì)學(xué)家J.Morlet在研究地下巖石油層分布時(shí)，對(duì)傅里葉變換和窗口傅里葉變換做了深入的研究，在此基礎(chǔ)上提出了“小波（Wavelet）”的概念2。盡管小波的出生到現(xiàn)在只有短短幾十年，但發(fā)展十分迅速，小波分析的理論和方法越來(lái)越引起人們的廣泛關(guān)注，并取得了令人矚目的發(fā)展，在信號(hào)分析、圖像處理、模式識(shí)別、語(yǔ)音分析、方程求解、分析力

19、學(xué)等領(lǐng)域都已取得了具有科學(xué)意義和應(yīng)用價(jià)值的重要成果。本文是在前人研究的基礎(chǔ)上，對(duì)小波分析在地質(zhì)數(shù)據(jù)中關(guān)于靜態(tài)圖像的壓縮方面做出較為深入的分析和研究，并以此對(duì)小波概念的提出者地質(zhì)學(xué)家J.Morlet做悼念。§1.3 本文章節(jié)安排本文首先給出了圖像壓縮的一般概念，回顧了圖像壓縮的原理和幾大方法。然后，介紹了小波分析的發(fā)展和一些基本理論。最后，結(jié)合小波分析，在圖像壓縮中的幾大應(yīng)用，包括層分解、小波基的選取和量化技術(shù)；主要分析了基于小波變換的圖像分解和圖像壓縮技術(shù)，并用Matlab軟件對(duì)圖像進(jìn)行分解，然后提取其中與原圖像近似的低頻信息，達(dá)到對(duì)圖像進(jìn)行壓縮的目的。分別作第一層分解和第二層分解，

20、并比較圖像壓縮的效果。本文的內(nèi)容安排：第一章簡(jiǎn)要介紹了數(shù)據(jù)壓縮方面的一些知識(shí)，包括數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)簡(jiǎn)介、數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)分類(lèi)和數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)的發(fā)展，闡述了數(shù)據(jù)壓縮的必要性。第二章主要介紹的是數(shù)據(jù)壓縮中有關(guān)圖像壓縮的要點(diǎn)，包括圖像壓縮的可能性、圖像壓縮的基本原理、圖像壓縮的分類(lèi)和圖像壓縮的幾大方法，回顧了圖像壓縮的必要性3。第三章給出了小波分析的基本理論，重點(diǎn)描述了多尺度分析與正交小波變換和雙正交小波變換的有關(guān)知識(shí)，是下一章小波分析用于圖像壓縮的理論基礎(chǔ)。第四章較為深入的研究了小波分析在靜止圖像數(shù)據(jù)壓縮方面的應(yīng)用,詳細(xì)分析了幾個(gè)常用小波基的特點(diǎn),得出對(duì)于雙正交小波,在消失矩相同時(shí)應(yīng)盡量保持重構(gòu)小波正則性的

21、結(jié)論；指出了小波分析應(yīng)用于靜止圖像數(shù)據(jù)壓縮的研究方向。 第二章 數(shù)字圖像壓縮 由于圖像數(shù)據(jù)之間存在著一定的冗余，所以使得數(shù)據(jù)的壓縮成為可能。信息論的創(chuàng)始人香農(nóng)提出把數(shù)據(jù)看作是信息和冗余度的組合。所謂冗余度，是由于一副圖像的各像素之間存在著很大的相關(guān)性，可利用一些編碼的方法刪去它們，從而達(dá)到減少冗余、壓縮數(shù)據(jù)的目的。為了去掉數(shù)據(jù)中的冗余，常常要考慮信號(hào)源的統(tǒng)計(jì)特性，或建立信號(hào)源的統(tǒng)計(jì)模型。§2.1圖像壓縮的可能性 同一個(gè)信息可以用不同的數(shù)據(jù)集合來(lái)表示，我們說(shuō)數(shù)據(jù)量大的數(shù)據(jù)集合存在著相對(duì)的數(shù)據(jù)冗余。圖像可以壓縮，是因?yàn)閳D像中存在大量的冗余信息，圖像的冗余包括以下幾種4：(1)空間冗余：像

22、素點(diǎn)之間的相關(guān)性。(2)時(shí)間冗余：活動(dòng)圖像的兩個(gè)連續(xù)幀之間的冗余。(3)信息熵冗余：?jiǎn)挝恍畔⒘看笥谄潇亍?4)結(jié)構(gòu)冗余：圖像的區(qū)域上存在非常強(qiáng)的紋理結(jié)構(gòu)。(5)知識(shí)冗余：有固定的結(jié)構(gòu)，如人的頭像。(6)視覺(jué)冗余：某些圖像的失真是人眼不易覺(jué)察的。 §2.2圖像壓縮原理去除多余數(shù)據(jù)。以數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，這一過(guò)程實(shí)際上就是將二維像素陣列變換為一個(gè)在統(tǒng)計(jì)上無(wú)關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)集合圖像壓縮是指以較少的比特有損或無(wú)損地表示原來(lái)的像素矩陣的技術(shù)，也稱(chēng)圖像編碼。圖像數(shù)據(jù)之所以能被壓縮，就是因?yàn)閿?shù)據(jù)中存在著冗余。圖像數(shù)據(jù)的冗余主要表現(xiàn)為：圖像中相鄰像素間的相關(guān)性引起的空間冗余；圖像序列中不同幀之間存在相關(guān)性引起

23、的時(shí)間冗余；不同彩色平面或頻譜帶的相關(guān)性引起的頻譜冗余。數(shù)據(jù)壓縮的目的就是通過(guò)去除這些數(shù)據(jù)冗余來(lái)減少表示數(shù)據(jù)所需的比特?cái)?shù)。由于圖像數(shù)據(jù)量的龐大,在存儲(chǔ)、傳輸、處理時(shí)非常困難，因此圖像數(shù)據(jù)的壓縮就顯得非常重要。信息時(shí)代帶來(lái)了“信息爆炸”，使數(shù)據(jù)量大增，因此，無(wú)論傳輸或存儲(chǔ)都需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行有效的壓縮。在遙感技術(shù)中，各種航天探測(cè)器采用壓縮編碼技術(shù)，將獲取的巨大信息送回地面。圖像壓縮是數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)在數(shù)字圖像上的應(yīng)用，它的目的是減少圖像數(shù)據(jù)中的冗余信息從而用更加高效的格式存儲(chǔ)和傳輸數(shù)據(jù)5。§2.3 數(shù)字圖像壓縮方法 圖像壓縮就是在沒(méi)有明顯失真的前提下，將圖像的位圖信息轉(zhuǎn)變成另外一種能將數(shù)據(jù)量縮

24、減的表達(dá)形式。首先，盡管圖像中數(shù)據(jù)量很大，但數(shù)據(jù)之間不是完全獨(dú)立的，圖像中存各種各樣的相關(guān)性或冗余信息。即一部分?jǐn)?shù)據(jù)可以由另一部分?jǐn)?shù)據(jù)完全推算出來(lái)。其次，大部分圖像視頻信號(hào)的最終接收者都是人眼，而人類(lèi)的視覺(jué)系統(tǒng)是一種高度復(fù)雜的系統(tǒng)，它能從極為雜亂的圖像中抽象出有意義的信息，并以非常精練的形式反映給大腦。人眼對(duì)圖像中的不同部分的敏感程度是不同的，如果去除圖像中對(duì)人眼不敏感或意義不大的部分，對(duì)圖像的主觀質(zhì)量是不會(huì)有很大影響的。本文主要是利用小波變換壓縮對(duì)圖像進(jìn)行壓縮，并對(duì)比了圖像壓縮前后的數(shù)據(jù)。§2.4 圖像壓縮的分類(lèi)本小節(jié)主要介紹了三大類(lèi)別的圖像壓縮方法，分別為1.基于分形的壓縮方法；

25、2.小波變換(Wavelet Transform)與圖像壓縮；3.基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Artificial Neural Network，ANN)的圖像壓縮。下面是對(duì)三類(lèi)壓縮方法的簡(jiǎn)要闡述。2.4.1基于分形的壓縮方法基于分形的方法是近幾年來(lái)引起關(guān)注和爭(zhēng)議的一種圖像壓縮方法。對(duì)圖像壓縮而言，分形主要是利用自相似的特點(diǎn)，通過(guò)迭代函數(shù)系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)壓縮。利用分形特征對(duì)圖像進(jìn)行描述和處理是很自然的。分形能取得更好的圖像質(zhì)量，當(dāng)然在較低壓縮比的情況下，JPEG是更好的選擇。分形壓縮方法計(jì)算量比較大，時(shí)間開(kāi)銷(xiāo)長(zhǎng)，因此加快分形壓縮方法速度是當(dāng)前研究的熱點(diǎn)之一。2.4.2小波變換(Wavelet Transfor

26、m)與圖像壓縮小波變換(Wavelet Transform)在頻率精度方面稍差一些，但在時(shí)間的分析能力上更好一些，而且可以對(duì)時(shí)間和頻率同時(shí)進(jìn)行分解，這是傳統(tǒng)傅立葉變換所做不到的。小波變換已經(jīng)開(kāi)始應(yīng)用到數(shù)字圖像數(shù)據(jù)壓縮等領(lǐng)域，主要是采用離散小波變換。在某些情況下，小波變換更優(yōu)于DCT等其他正交變換。2.4.3基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Artificial Neural Network，ANN)的圖像壓縮利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Artificial Neural Network，ANN)進(jìn)行圖像壓縮是這個(gè)領(lǐng)域近幾年的又一研究熱點(diǎn)，并且取得了積極的進(jìn)展。這是一種與視覺(jué)系統(tǒng)知識(shí)緊密相關(guān)的壓縮方法。ANN并分布的聯(lián)結(jié)

27、機(jī)制與人的視覺(jué)系統(tǒng)有某些相似之處，利用此原理及其改進(jìn)的方法進(jìn)行圖像壓縮可獲得較好的效果。 第三章 小波分析理論基礎(chǔ)小波分解方法是一種窗口大小(即窗口面積)固定，但其形狀可改變，時(shí)間窗和頻率窗都可改變的時(shí)頻局域化分析方法，即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，被稱(chēng)為“數(shù)學(xué)顯微鏡”。正是這種特性，使小波變換具有對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)性。使得小波分析應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。§3.1從Fourier分析到小波分析 傳統(tǒng)的信號(hào)處理分析工具和方法是以Fourier分析基礎(chǔ)的，一個(gè)周期振動(dòng)信號(hào)可看成是具有簡(jiǎn)單頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，F(xiàn)ourier展開(kāi)正

28、是這一無(wú)理過(guò)程的數(shù)學(xué)描述。Fourier變換定義了“頻率”的概念，用它可以分析信號(hào)的能量在各個(gè)頻率成分中的分布情況。對(duì)信號(hào)，其變換定義為 （3.1）逆變換定義為 （3.2）由式（3.1）知，F(xiàn)ourier變換將信號(hào)分解至純頻率項(xiàng)，頻率信息由變換函數(shù)提供。但我們同時(shí)發(fā)現(xiàn)，盡管Fourier變換一直是頻譜分析最有效的數(shù)學(xué)工具，但任何一個(gè)頻譜信息依賴(lài)于在上的所有值，而由式(3.2)，F(xiàn)ourier逆變換在的收斂性依賴(lài)于的任意小的鄰域值。此缺點(diǎn)在對(duì)聲音等非平穩(wěn)信號(hào)的壓縮和傳輸中尤為突顯，所給出的變換幾乎是無(wú)用的，人們必須等待無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間去計(jì)算Fourier變換。也就是說(shuō)，F(xiàn)ourier變換的致命缺點(diǎn)是

29、不能做局部分析。為了克服Fourier變換不能同時(shí)進(jìn)行時(shí)間、頻率局部性分析，Gabor于1964年引入加窗Fourier變換，信號(hào)的窗口Fourier變換定義為： （3.3）其中函數(shù)g是給定的稱(chēng)為窗函數(shù)（如Gauss函數(shù)）。此時(shí)有如下重建公式： （3.4）另外，參數(shù)和的值可以直接定義為離散值，并根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要適當(dāng)選取時(shí)間步長(zhǎng)與頻率步長(zhǎng)，例如，由此得到窗口Fourier變換的表達(dá)式： （3.5）但值得注意的是，窗口Fourier變換的時(shí)域與頻域窗口的大小一旦選定就固定不變，與頻率無(wú)關(guān)。因此，它只適合分析所有特征、尺度大致相同的過(guò)程，窗口沒(méi)有自適性，不適合分析多尺度信號(hào)和突變過(guò)程，而且其離散形

30、式?jīng)]有正交展開(kāi)。小波變換繼承和發(fā)展了窗口Fourier變換時(shí)域、頻域局部化的思想，同時(shí)又克服了窗口大小不隨頻率變化、沒(méi)有離散正交基的缺點(diǎn)。小波基函數(shù)相當(dāng)于一個(gè)窗函數(shù)，小波基的平移相當(dāng)于窗口平移，它在低頻區(qū)有大的時(shí)域窗口，頻率越高，則時(shí)域窗口越小，而且具有離散化的規(guī)范正交基。§3.2連續(xù)小波變換與離散小波變換 定義3.1 如果函數(shù) 且滿(mǎn)足： （3.6）則叫允許小波，條件（3.6）稱(chēng)為允許性條件，此條件等價(jià)于 。 定義3.2 設(shè) 且 ， 則經(jīng)由函數(shù)伸縮和平移得到的函數(shù)族 （3.7）叫做分析小波或連續(xù)小波。 叫做基本小波或母小波。a為伸縮因子，b為平移因子。 連續(xù)小波的作用于Cabor變換

31、中的窗口函數(shù)是類(lèi)似的，不同的是尺度參數(shù)a的作用，它雖然不改變窗口的面積，但使得窗口具有敏感的變焦特性。也就是說(shuō)，具有適當(dāng)于它們的頻率的時(shí)間寬度：高頻很窄，低頻很寬。這樣在信號(hào)中的瞬變現(xiàn)象分析中，小波變換比Gabor變換更好地“移近”觀察6。定義3.3 設(shè)是基本小波， 是按式（3.7）給出的連續(xù)小波，對(duì)信號(hào) ，該信號(hào)的連續(xù)小波變換為： （3.8）此時(shí)有如下重建公式： （3.9）參數(shù)a的伸縮和參數(shù)b的平移為連續(xù)取值的小波變換是連續(xù)小波變換，主要用于理論分析方面。實(shí)際應(yīng)用中需要對(duì)尺度參數(shù)a和定位參數(shù)b進(jìn)行離散化處理，可以選取 ，m是整數(shù)， 是大于1的固定伸縮步長(zhǎng)。在m=0時(shí)，取固定整數(shù)倍化b，當(dāng)然必

32、須選取使 覆蓋整個(gè)實(shí)軸。因此，選 于是離散小波可以定義為 （3.10）相應(yīng)的小波變換為： （3.11）稱(chēng)為離散小波變換。為簡(jiǎn)化數(shù)值計(jì)算，選取特殊的 及 ，此時(shí)的離散小波為： （3.12）稱(chēng)為二進(jìn)小波。§3.3 多尺度分析與正交小波變換在連續(xù)小波變換的情形下，當(dāng)小波滿(mǎn)足允許性條件時(shí)可完全重構(gòu)原信號(hào)。那么離散小波變換由變換系數(shù) 能否以數(shù)值穩(wěn)定的方法重構(gòu)呢？如果我們構(gòu)造小波 ，使得伸縮、平移函數(shù)族 是 的一組規(guī)范正交基，那么任意 有 ，即由系數(shù) 完全刻畫(huà)了函數(shù)的性質(zhì)或信號(hào)的變化過(guò)程。為了有效的尋找 的基底，我們先從 的一個(gè)子空間出發(fā)建立基底，再利用簡(jiǎn)單的變換把基底擴(kuò)充到整個(gè) ，而這也正是多

33、尺度分析基本思想。定義3.4 空間 中的多尺度分析是指 中的滿(mǎn)足如下條件一個(gè)空間序列 ：1. 一致單調(diào)性： 2. 漸進(jìn)完全性： 3. 伸縮規(guī)則性： 4. 平移不變性： 5. Riesz基存在性： 存在 ，使得 ，構(gòu)成的Riesz基。此處的函數(shù) 稱(chēng)為尺度函數(shù)，也稱(chēng) 生成了一個(gè)多分辨分析。對(duì)于如上定義的多尺度分析 ， 必滿(mǎn)足雙尺度方程，即： (3.13)對(duì) 進(jìn)行正交化，可以得到一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。 定理3.1 設(shè) 是多尺度分析 的生成元，滿(mǎn)足：（1） 是 的標(biāo)準(zhǔn)正交基；（2） 存在 使得： (3.14)現(xiàn)令 (3.15) 則有 （1） , 從而 （2） 是函數(shù)中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，從而 是 中的標(biāo)準(zhǔn)正交基。

34、并且 的一種可能是 即： (3.16) 設(shè) 是 中的標(biāo)準(zhǔn)正交基，則對(duì)任意 有如下展開(kāi) (3.17)其中 (3.18)由于式（3.17）是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，其系數(shù)需按（3.18）式計(jì)算，而 一般不具有初等解析表達(dá)式。實(shí)際問(wèn)題在 往往是數(shù)值方式給出的，因此用（3.18）式計(jì)算 是不方便的。所以希望代替式（3.18）得到一個(gè)離散算法，這就是著名的Mallat算法（此處不再敘述詳見(jiàn)7）。§3.4 雙正交小波變換雖然小波正交基用途廣泛，但也存在不足。其一是小波正交基的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，其次具有緊支集的小波正交基不可能具有對(duì)稱(chēng)性。因此，它用作濾波器不可能具有線(xiàn)性相位，從而產(chǎn)生重構(gòu)失真。解決的方法之一就是放棄

35、正交性，即用雙正交小波代替正交小波。雙正交小波的定義如下8：定義3.5 設(shè) 如果構(gòu)成的Riesz基，且 （3.19）則稱(chēng)是一個(gè)雙正交小波函數(shù)，和是對(duì)偶小波，和為雙正交的對(duì)偶小波基。由和的雙正交性可以得到的展開(kāi)式 （3.20）類(lèi)似于構(gòu)造正交小波的途徑，構(gòu)造雙正交小波函數(shù)的途徑是由兩個(gè)對(duì)偶的多分辨分析出發(fā)。定義3.6 設(shè) 和 分別是 的可能不同的多分辨分析。如果 ，則稱(chēng) 和 是互相對(duì)偶的多分辨分析，稱(chēng) 為雙正交尺度函數(shù)。 如果將數(shù)字濾波器 的Z變換 的復(fù)變量Z限制在單位圓上，用表示，即 則多分辨分析生成元 滿(mǎn)足如下二尺度方程， （3.21） （3.22）其中滿(mǎn)足 （3.23）其中，為單位矩陣。定理

36、3.2 按式（3.22）定義，和是滿(mǎn)足雙正交性： 與 第四章 基于小波變換的數(shù)字圖像壓縮小波圖像壓縮是利用小波變換同時(shí)具有好的空間分辨率和好的頻率分辨率的特性，使變換系數(shù)的能量同時(shí)在頻率上和空間上集中，達(dá)到去除像素冗余度的作用，以此達(dá)到壓縮的目的。§4.1 圖像的小波分解 數(shù)字圖像的小波分解是小波壓縮的第一步。一幅圖像可以看做是二維信號(hào)，使用二維離散小波變換對(duì)圖像進(jìn)行分解,類(lèi)似于子帶分解。數(shù)字圖像首先在行的方向進(jìn)行分解，并對(duì)行方向進(jìn)行下取樣,去除冗余信息；然后對(duì)列方向進(jìn)行分解,再對(duì)列方向進(jìn)行下取樣。重復(fù)地對(duì)低頻子帶系數(shù)進(jìn)行這一過(guò)程，直到最低分辨率達(dá)到需要的尺度為止。由于這種多級(jí)分解就

37、獲得了圖像的一種由一組低分辨率系數(shù)和一系列細(xì)節(jié)系數(shù)表示的方法。小波變換將圖像的絕大部分能量壓縮到低頻子帶中,只有少數(shù)的能量分布在高頻子帶，結(jié)果得出數(shù)字圖像小波變換系數(shù)具有下面幾個(gè)統(tǒng)計(jì)特性8：空頻局部化;能量壓縮特性；子帶內(nèi)小波系數(shù)的聚類(lèi)特性；子帶間小波系數(shù)的相似性；小波系數(shù)幅值從低頻到高頻的衰減性。這些特性已被證實(shí)對(duì)數(shù)字圖像壓縮是至關(guān)重要的。利用小波變換進(jìn)行數(shù)字圖像壓縮有以下優(yōu)點(diǎn)：(1)小波變換完善的重建能力保證了信號(hào)在分解過(guò)程中沒(méi)有信息丟失和冗余，即小波變換作為一組表示信號(hào)分解的基函數(shù)是唯一的；(2)小波變換把圖像分解為逼近圖像和細(xì)節(jié)圖像之和,它們分別代表了圖像的不同結(jié)構(gòu)，因此原始圖像的結(jié)構(gòu)

38、信息和細(xì)節(jié)信息很容易提??； (3)小波變換編碼不同于DCT塊編碼技術(shù)，它不會(huì)出現(xiàn)人的視覺(jué)非常敏感的方塊效應(yīng)，這是因?yàn)樾〔ㄗ儞Q對(duì)圖像信號(hào)進(jìn)行全局分解，量化失真隨機(jī)分布于整幅圖像之中，人眼不易察覺(jué)；(4)二維小波分解為圖像的分析提供了方向選擇性，非常適合于人眼的視覺(jué)系統(tǒng)。§4.2 小波基的選取 小波變換是一種信息保持型的可逆變換，原來(lái)信號(hào)的信息完全保留在小波變換的系數(shù)中。理論上講，由分解后的信號(hào)可以準(zhǔn)確地恢復(fù)到原信號(hào)，但并非所有的小波基都適合數(shù)字圖像數(shù)據(jù)的分解，選擇的小波基的合適與否直接影響到最終的壓縮效果。選擇小波基時(shí)應(yīng)考慮以下幾個(gè)方面9：(l)正交性。用正交小波基由多尺度分解得到的各

39、子帶數(shù)據(jù)分別落在相互正交的子空間中,使各子帶數(shù)據(jù)相關(guān)性減小。但能準(zhǔn)確重建的正交的線(xiàn)性相位有限沖擊響應(yīng)濾波器組是不存在的，即除了Haar系小波外，沒(méi)有任何緊支集正交小波具有對(duì)稱(chēng)性。因此一般放寬條件用雙正交濾波器。(2)支撐集。一般要求小波基是緊支撐集，緊支小波基的重要性在于它在數(shù)字信號(hào)的離散小波分解過(guò)程中可以提供系數(shù)有限的、更實(shí)際的FIR濾波器；非緊支小波基在實(shí)際運(yùn)算時(shí)必須截?cái)?，Daubechies小波是目前最常用的緊支正交小波之一。(3)對(duì)稱(chēng)性。對(duì)稱(chēng)濾波器具有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一方面人類(lèi)的視覺(jué)系統(tǒng)對(duì)邊緣附近對(duì)稱(chēng)的量化誤差較非對(duì)稱(chēng)誤差更不敏感，另一方面對(duì)稱(chēng)濾波器組具有線(xiàn)性相位，在對(duì)圖像進(jìn)行處理時(shí)，線(xiàn)性相

40、位很重要,對(duì)圖像邊緣作對(duì)稱(chēng)邊界延拓時(shí)，重構(gòu)圖像邊緣部分失真較小有利于獲得高質(zhì)量的重構(gòu)圖像。(4)正則性。正則性刻畫(huà)了小波的光滑度，正則性與支撐集大小有關(guān)，支撐越大，正則性越好。小波基的正則性對(duì)最小量化誤差是很重要的，因此，正則性越大的小波基越好。(5)消失矩階數(shù)。消失矩表明了小波變換后能量集中程度，消失矩階數(shù)很大時(shí)，精細(xì)尺度下的高頻部分?jǐn)?shù)值有很多是小的可以忽略的(奇異點(diǎn)除外)因此用消失矩越大的小波基進(jìn)行分解后，圖像的能量越集中，壓縮的空間就越大。本文對(duì)常用的4種小波基根據(jù)以上的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行了比較10：表4-1 四種常用的小波基比較Daubechies-4Daubechies-20BrislawnA

41、ntonini光滑度0.52.91.01.4消失矩階數(shù)21014對(duì)稱(chēng)性非對(duì)稱(chēng)非對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)正交性正交正交正交雙正交緊支性緊支集緊支集非緊支集緊支集§4.3 量化技術(shù) 數(shù)字圖像壓縮編碼的第二級(jí)是量化，量化是使數(shù)據(jù)比特率下降的一個(gè)強(qiáng)有力的措施，其目標(biāo)是將一個(gè)“連續(xù)”的圖像變換系數(shù)集映射為一個(gè)能很好逼近相應(yīng)系數(shù)的有限的符號(hào)集合11。進(jìn)而將小波系數(shù)轉(zhuǎn)化為字符流，使得所得的字符流的熵足夠小以便于在熵編碼時(shí)得到低比特率。量化方法通常可分為標(biāo)量量化(SQ)和矢量量化(VQ)。標(biāo)量量化對(duì)每一系數(shù)單獨(dú)量化，量化分層可以是均勻的,也可以是非均勻的。其中均勻量化器由于對(duì)信號(hào)的適應(yīng)性以及實(shí)現(xiàn)的簡(jiǎn)單性，仍是很

42、常用的量化技術(shù)。從信息論的角度來(lái)看，矢量量化總能獲得優(yōu)于標(biāo)量量化的率失真性能，而且鑒于圖像小波變換后的小波系數(shù)所呈現(xiàn)出的一些統(tǒng)計(jì)特性6，基于小波變換的圖像編碼也常采用矢量量化技術(shù)。 在數(shù)字圖像的壓縮中，圖像可看成是一串?dāng)?shù)據(jù)。設(shè)這一串?dāng)?shù)據(jù)共m個(gè),把它截成M段(一般是相等的,設(shè)k個(gè)數(shù)據(jù))，即把m個(gè)數(shù)據(jù)變成了M個(gè)數(shù)據(jù)向量X=(X,XZ,X），再把這M個(gè)向量分成N個(gè)組，對(duì)每個(gè)組挑選一個(gè)數(shù)據(jù)向量 作為代表向量。圖像上某個(gè)數(shù)據(jù)向量，如果滿(mǎn)足 （4.1）其中為矢量X，與碼字y之間的失真測(cè)度。則該數(shù)據(jù)向量屬于第j個(gè)組，則這個(gè)數(shù)據(jù)向量就用該組的代表向量凡代替。這時(shí)的編碼就是在碼字的相應(yīng)位置上記下編號(hào)j，而不必記

43、下片本身。矢量量化的關(guān)鍵是訓(xùn)練碼本，以獲得盡可能小的平均失真。在眾多的矢量算法中，LBG是最有代表性的基本算法，但其時(shí)間復(fù)雜度隨著比特率和矢量維數(shù)的增加呈指數(shù)規(guī)律兩上漲。由于圖像復(fù)雜多樣，形成的矢量變化多端，要建立一個(gè)囊括各種變化的大型碼字不太可能，且碼書(shū)越大，編碼所需的比特?cái)?shù)越多，編碼和解碼速度越慢，影響其應(yīng)用。§4.4經(jīng)典小波本小節(jié)主要介紹了幾種常見(jiàn)了經(jīng)典小波，包括Haar小波、Morlet小波、Mexican hat小波和Gaussian小波，并分別對(duì)其進(jìn)行簡(jiǎn)要的分析。4.4.1 Haar 小波Haar小波來(lái)自于數(shù)學(xué)家Haar于1910年提出的Haar正交函數(shù)集，其定義是： （

44、4.2）其波形如圖4-1（a）所示。的傅里葉變換是： （4.3） Haar小波有很多好的優(yōu)點(diǎn)，如：1. Haar小波在時(shí)域是緊支撐的，即其非零區(qū)間為（0，1）；2.若取，那么Haar小波不但在其整數(shù)位移處是正交的，即，而且在取不同值時(shí)也是兩兩正交的，即如圖4-1(b)和(c)所示。所以Haar小波屬正交小波；3. Haar波是對(duì)稱(chēng)的。我們知道，離統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng) (a) 若具有對(duì)稱(chēng)性，則該系統(tǒng)具有線(xiàn)性相位，這對(duì)于去除相位失真是非常有利的。Haar小波是目前唯一的一個(gè)既具有對(duì)稱(chēng)性又是有限支撐的正交小波；4. Haar小波僅取1和1，因此計(jì)算簡(jiǎn)單。 (b) 但Haar小波是不連續(xù)小波，由于，因此在

45、處只有一階零點(diǎn)，這就使得Haar小波在實(shí)際的信號(hào)分析與處理中受到了限制。但由于 (c)Haar小波有上述的多個(gè)優(yōu)點(diǎn)，因此在教科書(shū)與論文中常被用作范例來(lái)討論。 圖4-1 Haar小波4.4.2.Morlet小波Morlet小波定義為 (4.4) 其傅里葉變換如公式4.5。 (4.5) 它是一個(gè)具有高斯包絡(luò)的單頻率復(fù)正弦函數(shù)?？紤]到待分析的信號(hào)一般是實(shí)信號(hào)，所以在MATLAB中將（圖4-3）式改造為公式4.6： (4.6)并取 。該小波不是緊支撐的，理論上講可取。但是當(dāng)，或再取更大的值時(shí)，和在時(shí)域和頻域都具有很好的集中，如圖4-2所示。Morlet小波不是正交的，也不是雙正交的，可用于連續(xù)小波變換

46、。但該小波是對(duì)稱(chēng)的，是應(yīng)用較為廣泛的一種小波。 圖9.6.2 Morlet小波， (a)時(shí)域波形， (b)頻譜(a)時(shí)域波形 (b)頻譜圖4-2 Morlet小波4.4.3.Mexican hat 小波該小波的中文名字為“墨西哥草帽”小波，又稱(chēng)Marr小波。它定義為 (4.7)式中，其傅里葉變換為 (4.8)該小波是由一高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)所得到的，它沿著中心軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的三維圖形猶如一頂草帽，故由此而得名。其波形和其頻譜如圖4-3所示。該小波不是緊支撐的，不是正交的，也不是雙正交的，但它是對(duì)稱(chēng)的，可用于連續(xù)小波變換。由于該小波在處有二階零點(diǎn)，因此它滿(mǎn)足容許條件，且該小波比較接近人眼視覺(jué)的空

47、間響應(yīng)特征，因此它在1983年即被用于計(jì)算機(jī)視覺(jué)中的圖像邊緣檢測(cè)12。 (a)時(shí)域波形 (b)頻譜圖4-3 墨西哥草帽小波4.4.4Gaussian小波高斯小波是由一基本高斯函數(shù)分別求導(dǎo)而得到的，定義為： (4.9) 式中定標(biāo)常數(shù)是保證。該小波不是正交的，也不是雙正交的，也不是緊支撐的。當(dāng)取偶數(shù)時(shí)正對(duì)稱(chēng)，當(dāng)取奇數(shù)時(shí)，反對(duì)稱(chēng)。圖4-4給出了時(shí)的的時(shí)域波形及對(duì)應(yīng)的頻譜。 (a)時(shí)域波形 (b)頻譜圖4-4 高斯小波，取 §4.5小波變換實(shí)現(xiàn)數(shù)字圖像壓縮 利用小波變換對(duì)圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮的具體過(guò)程主要分為以下兩個(gè)步驟：（1）利用二維離散小波變換將圖像分解為低頻分量以及分別對(duì)應(yīng)不同方向高頻細(xì)節(jié)

48、分量13 （2）對(duì)所得到的低頻分量 以及高頻細(xì)節(jié)分量 ，根據(jù)人類(lèi)的視覺(jué)生理特征分別作不同策略的量化和編碼處理。例如，對(duì)于低頻分量可以采用快速余弦變換、“之”字型掃描、非均勻量化結(jié)合Huffman編碼的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮。對(duì)于其它3個(gè)方向的高頻分量可以采用閥值量化或時(shí)頻域局部化并結(jié)合Huffman編碼的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)壓縮。對(duì)于高頻分量的閥值量化意味著取門(mén)限，令 （4.10）門(mén)限的大小可根據(jù)要求重建圖像的PSNR或均方誤差來(lái)確定。 對(duì)人眼的視覺(jué)生理實(shí)驗(yàn)表明:在重建圖像中人眼能覺(jué)察出的失真不僅取決于該圖像的總均方誤差，而且取決于這一誤差在低頻分量和各個(gè)高頻分量中的分配。人眼對(duì)刺激的響應(yīng)靈敏度與空間方向也

49、有關(guān)，對(duì)水平方向和垂直方向的靈敏度要高，對(duì)45。方向最低。由于二維小波變換將原始圖像分解為獨(dú)立的頻帶以及水平、垂直和45。三個(gè)方向的分量，因此可以通過(guò)改變各高頻分量取閥值量化引起的均方誤差，使之與人的視覺(jué)頻率特征和空間方向特征一致，以便得到最佳的數(shù)據(jù)壓縮效果。在解碼端則采用逆小波變換、熵編碼方法可在允許一定失真的條件下近似恢復(fù)原始圖像。下圖為圖像lena經(jīng)過(guò)一次小波分解后的低頻分量和3個(gè)方向的高頻分量。 圖4-5 小波分解后的低頻分量和3個(gè)方向的高頻分量如上頁(yè)圖4-5所示，lena圖像分解后低頻方向上的分量存在邊界失真問(wèn)題，而邊界失真主要是正交鏡像濾波器的非線(xiàn)性相位特性、信號(hào)自身在邊界附近的相

50、關(guān)性以及對(duì)變換結(jié)果亞抽樣所造成的。在信號(hào)的子帶分析中,子帶分析重構(gòu)系統(tǒng)必須滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件:(l)完全重構(gòu)性:原始信號(hào)可以由它的子帶信號(hào)完全重構(gòu)。正交鏡像濾波器組組成的系統(tǒng)是完全重構(gòu)的系統(tǒng)。(2)子帶信號(hào)的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的總和不應(yīng)多于原始信號(hào)的數(shù)據(jù)點(diǎn)。對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)度的信號(hào),它們的頻帶是嚴(yán)格受限的,根據(jù)抽樣定理,其子帶信號(hào)進(jìn)行嚴(yán)格抽樣就能滿(mǎn)足條件(l)和(2)。然而,對(duì)于有限長(zhǎng)度的信號(hào),信號(hào)經(jīng)小波變換濾波,的數(shù)據(jù)點(diǎn)的總和大于原始信號(hào)的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù),從而引起邊界外延。如果滿(mǎn)足條件(l)的完全重構(gòu)性,子帶信號(hào)在嚴(yán)格抽樣時(shí)的數(shù)據(jù)點(diǎn)將不斷增加,不能滿(mǎn)足條件(2)。如果去掉因?yàn)V波而增加的點(diǎn)數(shù)以滿(mǎn)足條件(2),則由于信

51、息的丟失,重構(gòu)信號(hào)將產(chǎn)生畸變,不能滿(mǎn)足條件(l)。為了同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)條件,必須對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行邊界周期延拓,形成一個(gè)無(wú)限信號(hào),以減少信息的丟失。嵌入式零樹(shù)編碼（EZW）算法EZW算法的主要特點(diǎn)是：EZW利用了一幅圖像的小波變換在不同級(jí)之間的相似性。Shapiro假定：如果在粗分辨率一個(gè)小波系數(shù)是無(wú)效的，所有在同一空間位置和方向上的系數(shù)也極有可能是無(wú)效的。結(jié)果表明，這個(gè)假定是相當(dāng)有效的。Shapiro把小波系數(shù)組織成一系列的四叉樹(shù)形結(jié)構(gòu)，如下圖4-6所示。零樹(shù)根節(jié)點(diǎn)意味著所有在此子樹(shù)上的小波系數(shù)都是不重要的，因而除了要對(duì)樹(shù)根進(jìn)行編碼外，其他的節(jié)點(diǎn)都不需要編碼。為了獲得很低的比特率，零樹(shù)根符號(hào)的概率必

52、須很高。各系數(shù)編碼的順序如圖8.6-2所示。掃描從最低頻率子帶LL3（假定是三級(jí)分解）開(kāi)始，結(jié)束于HH1。在移到下一子帶之間，要把當(dāng)前子帶的系數(shù)全部掃描完，所有的父節(jié)點(diǎn)先于子節(jié)點(diǎn)被掃描。顯然，這種掃描方式在編碼端和譯碼端都是一樣的。 LL3 HL3 LH1 HH1 HL2 HL1 LH2 HH2 LH1 HH1 圖4-6 三級(jí)DWT時(shí)的父子依賴(lài)關(guān)系 LL3 HL3 HL2 LH3 HH3 HL1 LH2 HH2 LH1 HH3圖4-7 三級(jí)小波的掃描順序在按圖4-7所定義的掃描順序?qū)σ饬x圖（即有效小波系數(shù)的位置）進(jìn)行主編碼過(guò)程，使用了如下碼字：POS(positive significant),NEG(negative significant)IZ(isolated zero/insignificant),andZTR(root of a zerotree).在輔助編碼過(guò)程中，對(duì)單個(gè)比特信息進(jìn)行編碼，該單比特信息用于解碼時(shí)確定某小波系數(shù)是否被認(rèn)為是有效的。EZW