小學數(shù)學中的行程問題

1、小學數(shù)學中的行程問題【基本公式】基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、行程三者之間的關系。 基本公式：路程速度×時間；路程÷時間速度；路程÷速度時間關鍵問題：確定行程過程中的位置相遇問題：速度和×相遇時間相遇路程（請寫出其他公式）追擊問題：追擊時間路程差÷速度差（寫出其他公式）流水問題：順水行程（船速水速）×順水時間 逆水行程（船速水速）×逆水時間順水速度船速水速 逆水速度船速水速靜水速度（順水速度逆水速度）÷2 水 速（順水速度逆水速度）÷2流水問題：關鍵是確定物體所運動的速度，

2、參照以上公式。過橋問題：關鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式?！疽话阈谐虇栴}公式】平均速度×時間=路程；路程÷時間=平均速度；路程÷平均速度=時間。【反向行程問題公式】反向行程問題可以分為“相遇問題”（二人從兩地出發(fā)，相向而行）和“相離問題”（兩人背向而行）兩種。這兩種題，都可用下面的公式解答：（速度和）×相遇（離）時間=相遇（離）路程；相遇（離）路程÷（速度和）=相遇（離）時間；相遇（離）路程÷相遇（離）時間=速度和?！就蛐谐虇栴}公式】追及（拉開）路程÷（速度差）=追及（拉開）時間；追及（拉開）路程÷追及（

3、拉開）時間=速度差；（速度差）×追及（拉開）時間=追及（拉開）路程?！玖熊囘^橋問題公式】（橋長+列車長）÷速度=過橋時間；（橋長+列車長）÷過橋時間=速度；速度×過橋時間=橋、車長度之和?！拘写瑔栴}公式】（1）一般公式：靜水速度（船速）+水流速度（水速）=順水速度；船速-水速=逆水速度；（順水速度+逆水速度）÷2=船速；（順水速度-逆水速度）÷2=水速。（2）兩船相向航行的公式：甲船順水速度+乙船逆水速度=甲船靜水速度+乙船靜水速度（3）兩船同向航行的公式：后（前）船靜水速度-前（后）船靜水速度=兩船距離縮?。ɡ螅┧俣?。（求出兩船距

4、離縮小或拉大速度后，再按上面有關的公式去解答題目）?！纠}精講】例1、小王騎車到城里開會，以每小時12千米的速度行駛，2小時可以到達。車行了15分鐘后，發(fā)現(xiàn)忘記帶文件，以原速返回原地，這時他每小時行多少千米才能按時到達？解答：要求小王返回原地后到城里的速度，就必須知道從家到城里的路程和剩下的時間。根據(jù)題意，這兩個條件都可以求出。15分鐘=小時從家到城里的路程：12×2=24（千米）返回后還剩的時間：2-×2=1（小時）返回后去城里的速度:24÷1=16（千米/時）答：他每小時行16千米才能按時到達。2相遇問題距離=速度和×相遇時間；相遇時間=距離

5、7;速度和；速度和=距離÷相遇時間。例2、如圖，從A到B是1千米下坡路，從B到C是3千米平路，從C到D是2.5千米上坡路.小張和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時，平路速度都是4千米/小時，上坡速度都是2千米/小時。問：（1）小張和小王分別從A， D同時出發(fā)，相向而行，問多少時間后他們相遇？（2）相遇后，兩人繼續(xù)向前走，當某一個人達到終點時，另一人離終點還有多少千米？解答：（1）小張從 A到 B需要 1÷6×60 10（分鐘）；小王從 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60 25（分鐘）；當小王到達 C點時，小張已在平路上走了 25-101

6、5（分鐘），走了4×1（千米）。因此在 B與 C之間平路上留下 3-1 2（千米）由小張和小王共同相向而行，直到相遇，所需時間是：2 ÷（4 4）×60 15（分鐘）。從出發(fā)到相遇的時間是2515 40（分鐘）。（2）相遇后，小王再走30分鐘平路，到達B點，從B點到 A點需要走 1÷2×60=30分鐘，即他再走 60分鐘到達終點。小張走15分鐘平路到達D點，45分鐘可走：2×1.5（千米）小張離終點還有2.5-1.5=1（千米）答：40分鐘后小張和小王相遇。小王到達終點時，小張離終點還有1千米。3追及問題追及距離=速度差×追

7、及時間；追及時間=追及距離÷速度差；速度差=追及距離÷追及時間。例3、小轎車的速度比面包車速度每小時快6千米，小轎車和面包車同時從學校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達城門，當面包車到達城門時，小轎車已離城門9千米，問學校到城門的距離是多少千米？解答：先計算，從學校開出，到面包車到達城門用了多少時間。此時，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時，因此所用時間=9÷61.5（小時）小轎車比面包車早10分鐘到達城門，面包車到達時，小轎車離城門9千米，說明小轎車的速度是9÷54（千米/小時）面包車速度是 54-64

8、8（千米/小時）。城門離學校的距離是48×1.572（千米）。答：學校到城門的距離是72千米。4火車過橋問題我們在研究一般的行程問題時，是不考慮汽車等物體的本身長度的，因為這類物體的長度很小，可以忽略不計?？墒侨绻芯炕疖囆谐虇栴}，因為車身有一定的長度，一般一百多米，就不能忽略不計了?；疖囆谐虇栴}中的距離，一般是要考慮火車長度的。火車通過一個固定的點所用的時間就是火車行駛車身長度所需要的時間。（火車長度+橋的長度）÷通過時間=火車速度例4、一條隧道長360米，某列火車從車頭入洞到全車進洞用了8秒鐘，從車頭入洞到全車出洞共用了20秒鐘。這列火車長多少米？解答：分析畫出示意圖：

9、如圖，火車8秒鐘行的路程是火車的全長，20秒鐘行的路程是隧道長加火車長。因此，火車行隧道長360米，所用的時間是20-8=12秒鐘，即可求出火車的速度?；疖嚨乃俣仁?60÷（20-8）=30（米/秒）?；疖囬L30×8=240（米）。答：這列火車長240米。5火車相遇、追及問題錯車時間=（甲車身長+乙車身長）÷（甲車速度+乙車速度）超車時間=（甲車身長+乙車身長）÷（甲車速度-乙車速度）例5、客車長182米，每秒行36米。貨車長148米，每秒行30米。兩車在平行的軌道上相向而行。從相遇到錯車而過需多少時間?解答：兩列火車相向而行，從車頭相遇一直到車尾離開，

10、迎面錯車而過，兩列火車所行的路程是兩列火車車身長度之和，速度是兩列火車的速度之和，時間是：(182+148)÷(36+30)=5(秒)答：從相遇到錯車而過需5秒。6環(huán)形行程問題封閉環(huán)形上的相遇問題：環(huán)形周長÷速度和=相遇時間封閉環(huán)形上的追及問題：環(huán)形周長÷速度差=追及時間例6、小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步。小王的速度是180米/分。（1）小張和小王同時從同一地點出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分？（2）小張和小王同時從同一點出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王？解答：（1）兩人相遇，也就是合起

11、來跑了一個周長的行程。75秒=1.25分。小張的速度是500÷1.25-180=220（米/分）。（2）在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈（一個周長），因此需要的時間是500÷（220-180）12.5（分）。220×12.5÷5005.5（圈）。答：（1）小張的速度是220米/分；（2）小張跑5.5圈后才能追上小王。7流水行船問題流水行船問題比一般的行程問題多了一個水流的影響，因此它有一些特殊的數(shù)量關系：順水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速；水速=順水速度-船速，船速=順水速度-水速；水速=船速-逆水速度，船速=逆水速度+水速

12、；船速=（順水速度+逆水速度）÷2，水速=（順水速度-逆水速度）÷2。例7、甲、乙兩港間的水路長208千米，一只船從甲港開往乙港，順水8小時到達，從乙港返回甲港，逆水13小時到達，求船在靜水中的速度和水流速度。解答：順水速度：208÷8=26（千米/小時）逆水速度：208÷13=16（千米/小時）船速：（26+16）÷2=21（千米/小時）水速：（2616）÷2=5（千米/小時）答：船在靜水中的速度為每小時21千米，水流速度每小時5千米。8重復相遇問題例8、兩列火車從A城、B城相向而行，第一次相遇在離A地500公里處，相遇后，兩列車繼

13、續(xù)前進，各自到達目的地后，又折回。第二次相遇在離B城300公里處，問A城、B城相距多遠？ 解答：如圖，兩列火車從出發(fā)到第二次相遇一共行了三個全程，分別為：第一列火車從A城到B城；第二列火車從B城到A城；第二列火車從A城出發(fā)與從B城出發(fā)的第一列火車在途中相遇。而這三個全程還可以從另外一個角度考察，第一列火車行500公里時，兩列火車共行了一個全程，相遇后，兩車速度依然不變，所以第一列火車行駛第二個500公里時，兩列火車同樣又共行了一個全程；當?shù)谝涣谢疖囆辛说谌齻€500公里，即第一列火車行駛500×3=1500公里時，兩列火車正好共行了三個全程，而這時，兩列火車第二次相遇，由圖觀察可得，這

14、時第一列火車又折回了300公里，即第一列火車行駛的1500公里比全程多了300公里，于是，全程即為3×500300=1200公里。3×500300=1200。答：A城、B城相距1200公里。習題：1小張從甲地到乙地步行需要36分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘。他們同時出發(fā)，幾分鐘后兩人相遇？解答：走同樣長的距離，小張花費的時間是小王花費時間的 36÷123（倍），因此自行車的速度是步行速度的3倍，也可以說，在同一時間內(nèi)，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3倍。如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了3段，小張走了1段，小張花費的時間是36

15、47;（31）9（分鐘）。答：兩人在9分鐘后相遇。2小張從家到公園，原打算每分種走50米。為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米。問家到公園多遠？解答：方法1：可以作為“追及問題”處理。假設另有一人，比小張早10分鐘出發(fā).考慮小張以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時間是50 ×10÷（75- 50） 20（分鐘）因此，小張走的距離是75× 20 1500（米）。答：從家到公園的距離是1500米。方法2：小張加快速度后，每走1米，可節(jié)約時間（）分鐘，因此家到公園的距離是10÷（）1500（米）。3 一輛自行車在前面以固定的速度行進，有一輛汽車要去

16、追趕。如果速度是30千米/小時，要1小時才能追上；如果速度是 35千米/小時，要 40分鐘才能追上。問自行車的速度是多少？解答：解法1：自行車1小時走了30×1-已超前距離，自行車40分鐘走了35×-已超前距離，自行車多走20分鐘，走了3035×。因此，自行車的速度是：（3035×）÷（30）×3907020（千米/小時）。答：自行車速度是20千米/小時。方法2：因為追上所需時間=追上距離÷速度差1小時與40分鐘是32。所以兩者的速度差之比是23.請看下面示意圖：馬上可看出前一速度差是15。自行車速度是：35- 15 20（

17、千米/小時）。4上午8點8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他。然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分？解答：畫一張簡單的示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-44（千米）。而爸爸騎的距離是 4 8 12（千米）。這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 12÷43（倍）。按照這個倍數(shù)計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×324（千米）。但事實上，爸爸少用了8分鐘，騎行了41216（千米）。少騎行24-168（千米）。摩托車的速度是1千米/

18、分，爸爸騎行16千米需要16分鐘。881632。答：這時是8點32分。5小張從甲地到乙地，每小時步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時步行4千米。兩人同時出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離。解答：畫一張示意圖離中點1千米的地方是A點，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米。從出發(fā)到相遇，小張比小王多走了2千米。小張比小王每小時多走（5-4）千米，從出發(fā)到相遇所用的時間是2÷（5-4）2（小時）因此，甲、乙兩地的距離是（5 4）×218（千米）。6甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，6小時后相遇

19、于C點。如果甲車速度不變，乙車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點距C點12千米；如果乙車速度不變，甲車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點距C點16千米。求A，B兩地距離。解答：先畫一張行程示意圖如下設乙加速后與甲相遇于D點，甲加速后與乙相遇于E點。同時出發(fā)后的相遇時間，是由速度和決定的。不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來都增加5千米，因此，不論在D點相遇，還是在E點相遇，所用時間是一樣的，這是解決本題的關鍵。下面的考慮重點轉向速度差。在同樣的時間內(nèi)，甲如果加速，就到E點，而不加速，只能到 D點。這兩點距離是 12 16 2

20、8（千米），加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時。因此，在D點（或E點）相遇所用時間是28÷5 5.6（小時）。比C點相遇少用 6-5.60.4（小時）。甲到達D，和到達C點速度是一樣的，少用0.4小時，少走12千米，因此甲的速度是：12÷0.430（千米/小時）。同樣道理，乙的速度是16÷0.440（千米/小時）。A到 B距離是（30 40）×6 420（千米）。答： A，B兩地距離是 420千米。7如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張在A點，小王在B點同時出發(fā)反向行走，他們在C點第一次相遇，C離A點80米；在D點第二次相遇，D點離B點6O米.求這個

21、圓的周長。解答：第一次相遇，兩人合起來走了半個周長；第二次相遇，兩個人合起來又走了一圈。從出發(fā)開始算，兩個人合起來走了一周半。因此，第二次相遇時兩人合起來所走的行程是第一次相遇時合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應該是從A到C距離的3倍，即A到D是80×3240（米）240-60=180（米）180×2360（米）答：這個圓的周長是360米。8甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達另一村后就馬上返回）。在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇。小王到達甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇。問小張和小王的速度各是多少？解答

22、：畫示意圖如下：如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時間是40×3÷602（小時）。從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了6×2-210（千米）。小王已走了 62=8（千米）。因此，他們的速度分別是小張 10÷25（千米/小時），小王 8÷2=4（千米/小時）。答：小張和小王的速度分別是5千米/小時和4千米/小時。小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達另一村后就馬上返回），他們在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇。問他們兩人第四次

23、相遇的地點離乙村多遠（相遇指迎面相遇）？解答：畫示意圖如下：第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了3.5×310.5（千米）。從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米。因此，甲、乙兩村距離是10.5-28.5（千米）。每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程。第四次相遇時，兩人已共同走了兩村距離（322）倍的行程。其中張走了3.5×724.5（千米），24.5=8.58.57.5（千米）。就知道第四次相遇處，離乙村8.5-7.5=1（千米）。答：第四次相遇地點離乙村1千米。10繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點同時出發(fā)反向而行。小王以

24、4千米/小時速度每走1小時后休息5分鐘；小張以6千米/小時速度每走50分鐘后休息10分鐘。問：兩人出發(fā)多少時間第一次相遇？解答：小張的速度是6千米/小時，50分鐘走5千米，我們可以把他們出發(fā)后時間與行程列出下表：121527比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時10分至3小時15分之間。出發(fā)后2小時10分小張已走了106×11（千米），此時兩人相距：24-（811）=5（千米）。由于從此時到相遇已不會再休息，因此共同走完這5千米所需時間是：5÷（46）0.5（小時）。2小時10分再加上半小時是2小時40分。答：他們相遇時是出發(fā)后2小時40分。11一個圓周長90厘米

25、，3個點把這個圓周分成三等分，3只爬蟲A，B，C分別在這3個點上。它們同時出發(fā)，按順時針方向沿著圓周爬行。A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只爬蟲出發(fā)后多少時間第一次到達同一位置？解答：先考慮B與C這兩只爬蟲，什么時候能到達同一位置。開始時，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C（5-3）厘米。30÷（5-3）15（秒）。因此15秒后B與C到達同一位置.以后再要到達同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要90÷（5-3）45（秒）。B與C到達同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是15，60，105，150，195，再看看A與B什么時候到達同一位置。第一次是出發(fā)后30÷（10-5）=6（秒），以后再要到達同一位置是A追上B一圈。需要90÷（