物理綜合難題集n-電磁感應(yīng)習(xí)題課

1、1 1、質(zhì)量為、質(zhì)量為mm的小球可沿半徑為的小球可沿半徑為r r的圓形環(huán)軌道運(yùn)動(dòng)，環(huán)面為的圓形環(huán)軌道運(yùn)動(dòng)，環(huán)面為水平面。小球帶有固定的正電荷水平面。小球帶有固定的正電荷q q。設(shè)在以環(huán)形軌道為其截。設(shè)在以環(huán)形軌道為其截面的柱體內(nèi)有均勻的隨時(shí)間面的柱體內(nèi)有均勻的隨時(shí)間t t變化的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度變化的磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B B的方的方向垂直于環(huán)面。已知向垂直于環(huán)面。已知t=0t=0時(shí)，時(shí)，B=0B=0，小球靜止于環(huán)上；，小球靜止于環(huán)上；0tT0tT時(shí)，時(shí)，B B隨時(shí)間隨時(shí)間t t線性增長(zhǎng)；線性增長(zhǎng)；t=Tt=T時(shí)，時(shí)，B=B0B=B0。設(shè)重力和。設(shè)重力和摩擦力可忽略。試求：在摩擦力可忽略。試求：在0

2、tT0tT時(shí)間內(nèi)小球運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及小球時(shí)間內(nèi)小球運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及小球?qū)壍赖淖饔昧?。?duì)軌道的作用力。r)(tBEqFNLF解、在解、在0tT0tT時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi)tTBtB0)( 在環(huán)上產(chǎn)生的感生電場(chǎng)為在環(huán)上產(chǎn)生的感生電場(chǎng)為dtrBddtdrE)(22 TrBE20 感生電場(chǎng)力產(chǎn)生的切向加速度為感生電場(chǎng)力產(chǎn)生的切向加速度為TmrqBmqEat20 tTmrqBtaVt20 r)(tBEqFNLFtTmrqBtaVt20 小球受的磁場(chǎng)力指向圓心小球受的磁場(chǎng)力指向圓心222022tmTrBqBqVFL 圓環(huán)對(duì)小球的法向支持力為圓環(huán)對(duì)小球的法向支持力為NN，則，則rVmNFL2 222024tmTrBqN r)(

3、tBEqFNLF2 2、半徑為、半徑為1cm1cm的兩根足夠長(zhǎng)的平行導(dǎo)線相距的兩根足夠長(zhǎng)的平行導(dǎo)線相距20cm,20cm,在兩導(dǎo)線在兩導(dǎo)線中有中有20A20A的方向相反的方向相反 的電流。（的電流。（1 1）若將兩導(dǎo)線分開到）若將兩導(dǎo)線分開到40cm,40cm,試求磁場(chǎng)對(duì)單位長(zhǎng)度導(dǎo)線所作的功。（試求磁場(chǎng)對(duì)單位長(zhǎng)度導(dǎo)線所作的功。（2 2）分開兩導(dǎo)線時(shí)，）分開兩導(dǎo)線時(shí)，單位長(zhǎng)度的磁能改變了多少？增加還是減少？說明能量的來單位長(zhǎng)度的磁能改變了多少？增加還是減少？說明能量的來源或去向。源或去向。解、（解、（1 1）當(dāng)兩導(dǎo)線分開到相距）當(dāng)兩導(dǎo)線分開到相距40cm40cm時(shí)，磁場(chǎng)對(duì)單位時(shí)，磁場(chǎng)對(duì)單位導(dǎo)線作

4、的功為導(dǎo)線作的功為drrIIlA 204 . 02 . 0 JlI520105 . 52ln2 （2 2）單位長(zhǎng)度導(dǎo)線的磁能改變可由自感磁能的改變求得）單位長(zhǎng)度導(dǎo)線的磁能改變可由自感磁能的改變求得adlL101ln adlL202ln JILILW52122105 . 52121 能量的來源電源做功能量的來源電源做功3 3、如圖所示、如圖所示,ABCDA,ABCDA是閉合導(dǎo)體回路是閉合導(dǎo)體回路, ,總電阻為總電阻為R,ABR,AB段的一段的一部分繞成初始半徑為部分繞成初始半徑為r r0 0 的小圓圈的小圓圈. .圓圈所在區(qū)域有與平面垂圓圈所在區(qū)域有與平面垂直的均勻磁場(chǎng)直的均勻磁場(chǎng)B.B.回路的

5、回路的B B端固定端固定,C,C、D D為自由端。為自由端。A A端在沿端在沿BABA方向的恒力方向的恒力F F的作用下向右移動(dòng)。從而使圓圈緩慢縮小。設(shè)的作用下向右移動(dòng)。從而使圓圈緩慢縮小。設(shè)在縮小過程中，線圈始終保持圓的形狀。并設(shè)導(dǎo)體回路是軟在縮小過程中，線圈始終保持圓的形狀。并設(shè)導(dǎo)體回路是軟的，阻力不計(jì)。試求此圓圈從初始半徑的，阻力不計(jì)。試求此圓圈從初始半徑r r0 0到完全閉合所需的到完全閉合所需的時(shí)間時(shí)間T T。F0rB 解：設(shè)在解：設(shè)在F F的作用下，的作用下，A A在在dtdt時(shí)間內(nèi)右移時(shí)間內(nèi)右移dxdx, ,相應(yīng)的圓圈半徑相應(yīng)的圓圈半徑縮小縮小-dr-dr, ,則則drdx 2

6、圓圈內(nèi)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)圓圈內(nèi)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) ，產(chǎn)生的熱能為，產(chǎn)生的熱能為dti 能量守恒得：能量守恒得：Fdxdti dtdrrBdtrBddtd 2)(2 Ri dtdtdrRBrFdr222242 222BrFRdtdr FRBrdrFRBrdtTr3222202200 4 4、如圖，在一半徑為、如圖，在一半徑為r r，質(zhì)量為，質(zhì)量為mm，可以無(wú)摩擦地自由轉(zhuǎn)動(dòng)，可以無(wú)摩擦地自由轉(zhuǎn)動(dòng)的勻質(zhì)絕緣圓盤中部裝有一綱線螺線管，其半徑為的勻質(zhì)絕緣圓盤中部裝有一綱線螺線管，其半徑為a,a,沿軸線沿軸線方向單位長(zhǎng)度上繞有方向單位長(zhǎng)度上繞有n n匝線圈。線圈中通以穩(wěn)恒電流匝線圈。線圈中通以穩(wěn)恒電流I I。

7、在圓。在圓盤的邊緣上均勻地嵌著盤的邊緣上均勻地嵌著NN個(gè)等量正電荷個(gè)等量正電荷q q的小球。設(shè)開始時(shí)，的小球。設(shè)開始時(shí)，螺旋管中的電流為螺旋管中的電流為I I，圓盤靜止，然后將電流切斷。試求圓盤，圓盤靜止，然后將電流切斷。試求圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。)(ti解、設(shè)切斷電流后，在解、設(shè)切斷電流后，在 t t時(shí)間內(nèi)從時(shí)間內(nèi)從I I減少為零，在此過程中電減少為零，在此過程中電流為流為i(ti(t), ),產(chǎn)生的磁場(chǎng)為：產(chǎn)生的磁場(chǎng)為：)(ti)()(0tnitB 解解產(chǎn)生的感應(yīng)電場(chǎng)為：產(chǎn)生的感應(yīng)電場(chǎng)為：dtdrtE 2)(dtBSd)( dtdinadtdBS02 dtdinratE022)(

8、 感應(yīng)電流的方向與原電流方向一致感應(yīng)電流的方向與原電流方向一致)(ti在半徑為在半徑為r r的圓周上的的圓周上的NN個(gè)小球所受個(gè)小球所受的總的切向力為的總的切向力為dtdinraNqtNqEtF022)()( 它對(duì)轉(zhuǎn)軸形成的力矩為它對(duì)轉(zhuǎn)軸形成的力矩為dtdinaNqrtFtM022)()( 由剛體的角動(dòng)量定理可得由剛體的角動(dòng)量定理可得dtdJdtJddtdLtM )()(dttMJd)( dtdtdinNqadttMJI02021)( nNqIaJ0221 nNqIadttM0221)( nNqIadttM0221)( 221mrJ 202mrnNqIa 5、磁帶錄音與放音輸入電流信號(hào)磁帶錄音

9、磁頭m 101 磁記錄是一項(xiàng)廣泛使用的信息技術(shù)。它利用了鐵磁材料的特性與電磁感應(yīng)定律。以磁帶錄音與放音為例，用涂敷鐵磁粉的磁帶來記錄聲音信息。錄音時(shí)，錄音磁頭的線圈內(nèi)通以由輸入的音頻信號(hào)經(jīng)放大后轉(zhuǎn)化成的電流信號(hào)，當(dāng)磁帶以恒定的速度通過錄音磁頭的氣隙下時(shí)，磁粉被磁化，磁化強(qiáng)度與該時(shí)刻的信號(hào)電流成正比，于是電流信息（從而聲音信息）就存貯在磁帶上。放音時(shí)，磁帶以同樣物速度通過磁頭的氣隙下時(shí)，磁粉？磁的強(qiáng)強(qiáng)弱變化引起放音磁頭內(nèi)磁場(chǎng)的變化，通過電磁感應(yīng)，在輸出線圈中產(chǎn)生同步變化的電流，經(jīng)放大再轉(zhuǎn)化為聲頻信號(hào)。試分析磁帶的電磁學(xué)原理。 vzMM sin0錄音與放音磁頭要用磁導(dǎo)率比較大的而待？軟磁材料，以使

10、磁磁頭的磁化強(qiáng)度較大，且與輸入、輸出電流同步變化。磁帶上的磁粉則要用？磁和矯頑力都比較大的硬磁材料，以利于存貯信號(hào)。為保證磁頭中磁感應(yīng)強(qiáng)度值的變化與電流變化成正比，以避免失真，可在輸入錄音信號(hào)的同時(shí)，輸入一個(gè)等幅振蕩的電流，以使信號(hào)只在磁化曲線的直線部分變化。錄音時(shí)，氣隙中磁場(chǎng)與磁帶上的磁化強(qiáng)度與信號(hào)電流成正比，則當(dāng)磁帶移動(dòng)時(shí)，磁化強(qiáng)度M沿磁帶的分布為f 2 放音時(shí)，磁帶上的磁化強(qiáng)度與信號(hào)電流成正比，則當(dāng)磁帶移動(dòng)時(shí)，磁化強(qiáng)度M沿磁帶的分布為tBB sin0 若放音磁頭有N匝線圈，鐵芯截面積為A，則全磁通tANB sin0 線圈中的感生電動(dòng)勢(shì)為tANBdtd cos0 輸出電流為RtANBI c

11、os0 為了抹去磁帶中錄入的信息，只要在磁帶通過時(shí)，在磁頭的線圈內(nèi)通以等幅振蕩電流就可以了，這就是消音。6、恒定磁場(chǎng)中下落的圓環(huán)一個(gè)半徑為r,橫截面積為A的圓環(huán)是由密度為d,電阻率為的金屬制成的.把金屬圓環(huán)放到磁感應(yīng)強(qiáng)度值為B的輻射狀磁場(chǎng)(B的方向垂直于圓環(huán)的軸線),如圖所示.分析圓環(huán)在這恒定磁場(chǎng)中下落的運(yùn)動(dòng)情況.B圓環(huán)圓環(huán)解、圓環(huán)下落的瞬時(shí)速度為V時(shí),由電磁感應(yīng)定律可知,圓環(huán)中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為rvB 2 ArrvBRrvBRI 222 感應(yīng)電流感應(yīng)電流 BAv 安培力安培力 rvABrBIF222 其中圓環(huán)的質(zhì)量其中圓環(huán)的質(zhì)量rAdm 2 dmB 2 由第二定律得由第二定律得dtdvmFmg

12、dtdvmvdmBmg 2終極速度終極速度02 vdmBmg 2Bgdvm dtdvmvdmBmg 2積分得積分得)1(2tdBmevv 下落距離下落距離 tdBmeBdtvs 21)(233/108.8mkgd m.107.18 TB5.0 22/86.5smmBgdvm 7、磁力懸浮如圖，在鐵芯頂端？上一個(gè)小鋁環(huán)。當(dāng)線圈中通以220v的交流電時(shí)，鋁環(huán)便懸浮起來，試用電磁感應(yīng)理論說明。鋁環(huán)tII cos0 i解:設(shè)穩(wěn)定后,原線圈中的電流強(qiáng)度為tII cos0 鋁環(huán)中的感生電流強(qiáng)度為I則通過鋁環(huán)所包圍面積的磁通量為L(zhǎng)iMI 鋁環(huán)tII cos0 i式中M為互感系數(shù),L為自感系數(shù)鋁環(huán)電阻為R,則

13、i滿足微分方程iRdtLiMIddtd )(LtMIiLRdtdi sin0 當(dāng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)電流i將與交流電頻率相同的角頻率作周期性的變化.為求穩(wěn)定狀態(tài)下的電流I,可求微分方程的特解代入微分方程,可解得22200LRMIi 2 RLarctg鋁環(huán)中的感生電流的幅值與I0 和M均成正比,但它的相位與原線圈中電流的相位相差,討論兩種情況:(1)鋁環(huán)的電阻很小,確切地說,電阻R比感抗L小得多,這時(shí) = .這時(shí)原線圈與鋁環(huán)中的電流方向相反,互相排斥,當(dāng)斥力能夠平衡它所受到的重力時(shí),鋁環(huán)就能懸浮起來.若斥力很大,會(huì)出現(xiàn)”?環(huán)”現(xiàn)象.)cos(0 tii(2)鋁環(huán)的電阻R不能忽略,則在/2和之間.這時(shí)i

14、的方向與I的方向,時(shí)而相同,時(shí)而相反.但在一個(gè)周期內(nèi)相反 的時(shí)間大于相同的時(shí)間.平均說來,相互排斥力勝過相互吸引力,鋁環(huán)就懸浮在空中.只要鋁環(huán)電阻比較小,而交流電的頻率又較大,總能出現(xiàn)懸浮現(xiàn)象,由以上討論可知,懸力懸浮是自感和互感共同作用的結(jié)果,不考慮自感,是不能解釋磁力懸浮現(xiàn)象的.8、電磁制動(dòng)器如圖所示的電磁制動(dòng)器是由非磁性的金屬圓盤和放生垂直于圓盤的磁場(chǎng)的磁鐵(沒畫出)組成.當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),因電磁感應(yīng)而使圓盤受到阻力矩的作用,從而使其轉(zhuǎn)速減慢直至停止不考慮摩擦等其它阻力的影響.(1)求阻力矩的M的近似表達(dá)式;(2)開始制動(dòng)后經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間,圓盤的角速度減小到原來 的百分之一.r1rdBmrBa

15、Bavi 解、(1)在圓盤上沿徑向長(zhǎng)度為a的線段內(nèi)因切割磁感應(yīng)線而產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為小金屬塊的電阻為dadaR 1 沿徑向流過這一塊金屬的感應(yīng)電流為drBaRi 安培力BiaF draBrFM 222 制動(dòng)力矩 (2)由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得dtdJM draB 222 dtdmr 221draB 222 Cdtd 21222mrdaBC cte 0 角速度減到1/1000時(shí)所需要的時(shí)間)/(33.2100ln1222211draBmroCt 磁場(chǎng)子越強(qiáng),磁場(chǎng)子覆蓋面離軸越遠(yuǎn),制動(dòng)就越快.9、電磁異步驅(qū)動(dòng)如果使磁鐵所放生的磁場(chǎng)垂直地通過金屬圓盤,則當(dāng)磁鐵轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),將因電磁感應(yīng)而驅(qū)使金屬圓盤作同方向轉(zhuǎn)動(dòng).同樣

16、,若磁場(chǎng)相對(duì)于金屬線框作平行于線框平面的移動(dòng),也將驅(qū)使金屬線框沿同方向的移動(dòng).以上現(xiàn)象稱為電磁驅(qū)動(dòng).以金屬線框驅(qū)動(dòng)為例說明異步驅(qū)動(dòng)的原理.如圖,設(shè)矩形線框abcd質(zhì)量為m,其回路電阻為R,在t=0時(shí)刻,線框一邊ad與磁場(chǎng)邊界重合,ad邊長(zhǎng)度為L(zhǎng),磁場(chǎng)務(wù)右移動(dòng)速率為Vb,若線框移動(dòng)速度為V,試證明:VVb. abdc解:設(shè)線框ad邊與磁場(chǎng)邊界重合時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn),經(jīng)時(shí)間t,磁場(chǎng)向右移動(dòng)距離Vbt,線框向右移動(dòng)距離為x,則在時(shí)刻t,通過線框的磁通量為lxtVBbm)( 則電磁感應(yīng)定律,感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的數(shù)值為)(dtdxVBldtdbm )(vVBlb 感應(yīng)電流為逆時(shí)針方向)(RvVBlib 安培力方向向右

17、RvVlBBilFb)(22 線圈運(yùn)動(dòng)滿足動(dòng)力學(xué)方程dtdvmRvVlBb )(22mRvVlBdtdvb)(22 )1(Atbevv mRlBA22 bvv 考慮初始條件對(duì)上式積分得10、高頻感應(yīng)加熱處在交變磁場(chǎng)中的金屬塊，由于變化磁場(chǎng)放生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)在金屬塊中引起渦旋狀感生電流，利用渦流所釋放出的焦耳熱來加熱金屬塊，這就是高頻感應(yīng)爐的工作原理。如圖，將一個(gè)直徑為D，高為h的圓柱形金屬塊放在高頻感應(yīng)爐中加熱。設(shè)感應(yīng)爐線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)是均勻的，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方均根為B*，頻率為f。金屬柱的軸平行于磁場(chǎng)，其電導(dǎo)率為。設(shè)金屬是非磁性材料且渦電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)可以忽略。試證明在金屬柱內(nèi)產(chǎn)生的平均熱功率為32

18、42*23hDBfP hDBhDBtBr cos02 解：考慮半徑為r，厚度為dr的一個(gè)薄圓筒，如圖所示，筒中的磁通量為tBrdtd sin02 該薄圓筒的電阻（沿圓周方向）為hdrrdR 2 該薄圓筒內(nèi)渦流產(chǎn)生的瞬時(shí)熱功率為rtdrhBrdRdP 220322sin21 drthBrPD 2203220sin21 thBDf 220423sin321 平均熱功率為tdthBDfTPT 2204230sin3211 dthBDfTT242303211 2*423321hBDf tdtBTBT 22002*sin1 式中11、電子感應(yīng)加速器電子感應(yīng)加速器在科學(xué)研究、工業(yè)生產(chǎn)以及醫(yī)療衛(wèi)生事業(yè)等方面

19、都得到了廣泛的應(yīng)用。其結(jié)構(gòu)如圖a所示。在電磁鐵兩極間有一個(gè)環(huán)形真空室，在交變電流的激勵(lì)下，兩極間出現(xiàn)交變的磁場(chǎng)，某一瞬間的磁感應(yīng)線如圖b所示。這交變磁場(chǎng)又激發(fā)一感生電場(chǎng)。從電子槍射入真空室的電子受到兩個(gè)力的作用：一個(gè)是沿切線方向的感生電場(chǎng)，它使得電子不斷加速，另一個(gè)沿徑向的磁場(chǎng)力，它充當(dāng)向心力，因此電子能保持在環(huán)形真空室內(nèi)不斷地作圓周運(yùn)動(dòng)。（1）電子感應(yīng)加速器中，電子被加速的時(shí)間有多久？電子能獲得多大能量？（2）要使電子維持在恒定的圓形軌道上加速，磁場(chǎng)的分布應(yīng)該滿足什么條件？（3）若電子加速的時(shí)間是4.2ms，電子軌道內(nèi)最大磁通量為1.8Wb，試求電子沿軌道繞行一周平均獲得的能量。如果電子最后獲得的能量為100MeV，電子繞行了多少周？如果電子軌道半徑為84cm，電子運(yùn)行的路程是多少？電子軌道真空室iEBve vdtBd)(a)(b)(c解(1)在磁場(chǎng)變化一個(gè)周期中，只有1/4的周期內(nèi)才能滿足磁場(chǎng)力為電子提供向心力和電子在圓軌道上被加速這樣兩個(gè)基本要求。(2)要維持電子在環(huán)形真空室的恒定圓形軌道上加速，應(yīng)該使向心力隨電子的速率增加而相應(yīng)增加，由此可以推導(dǎo)出磁場(chǎng)分布情況所滿足的條件。設(shè)半徑為r的圓周內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度平均值為B則由電磁感應(yīng)定律可知感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為dtBdrr