分形基本概念

1、分形與混沌分形與混沌分形幾何的基本思想 多少世紀(jì)以來，人們總是用歐幾里得幾多少世紀(jì)以來，人們總是用歐幾里得幾何的對象和概念（諸如點、線、平面、空間、何的對象和概念（諸如點、線、平面、空間、正方形、圓正方形、圓）來描述我們這個生存的世）來描述我們這個生存的世界。而非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，引進(jìn)了描畫宇宙現(xiàn)界。而非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，引進(jìn)了描畫宇宙現(xiàn)象的新的對象。分形就是這樣一種對象。象的新的對象。分形就是這樣一種對象。 分形的思想分形的思想 分形的思想初見于公元分形的思想初見于公元18751875至至19251925年數(shù)學(xué)年數(shù)學(xué)家們的著作。這些對象被貼上畸形怪物的標(biāo)家們的著作。這些對象被貼上畸形怪物的標(biāo)簽，人們

2、深信它沒有絲毫的科學(xué)價值。它就簽，人們深信它沒有絲毫的科學(xué)價值。它就是今天人們眾所周知的分形。分形一詞是曼是今天人們眾所周知的分形。分形一詞是曼德勃羅于德勃羅于19751975年創(chuàng)造的，曼德勃羅在該領(lǐng)域年創(chuàng)造的，曼德勃羅在該領(lǐng)域有著廣泛的發(fā)現(xiàn)。有著廣泛的發(fā)現(xiàn)。 從嚴(yán)格意義上講，分形是這樣一種對象，從嚴(yán)格意義上講，分形是這樣一種對象，將其細(xì)微部分放大后，其結(jié)構(gòu)看起來仍與原將其細(xì)微部分放大后，其結(jié)構(gòu)看起來仍與原先的一樣。這與圓形成了鮮明的對比，把圓先的一樣。這與圓形成了鮮明的對比，把圓的一部分放大后便變得比較平直。分形可分的一部分放大后便變得比較平直。分形可分為兩類：一是幾何分形，它不斷地重復(fù)同一

3、為兩類：一是幾何分形，它不斷地重復(fù)同一種花樣圖案；另一種是隨機分形。計算機和種花樣圖案；另一種是隨機分形。計算機和計算機繪圖能夠把這些計算機繪圖能夠把這些“畸形怪物畸形怪物”可靠地帶可靠地帶回到生活中，在計算機的屏幕上，幾乎能夠回到生活中，在計算機的屏幕上，幾乎能夠立即產(chǎn)生分形，并顯示出它們奇妙的形狀、立即產(chǎn)生分形，并顯示出它們奇妙的形狀、藝術(shù)圖案或細(xì)微的景觀。藝術(shù)圖案或細(xì)微的景觀。 可能有人感到，只有歐幾里得幾何的正可能有人感到，只有歐幾里得幾何的正規(guī)形狀才能應(yīng)用在科學(xué)中，然而上述新的形規(guī)形狀才能應(yīng)用在科學(xué)中，然而上述新的形式卻從不同的透視角度向我們提供了認(rèn)識自式卻從不同的透視角度向我們提供

4、了認(rèn)識自然的觀點。分形是一個新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域然的觀點。分形是一個新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域-有時有時也把它歸為自然界的幾何，因為這些奇異而也把它歸為自然界的幾何，因為這些奇異而混沌的形狀，不僅描繪了諸如地震、樹、樹混沌的形狀，不僅描繪了諸如地震、樹、樹枝、生姜根、海岸線等自然現(xiàn)象，而且在天枝、生姜根、海岸線等自然現(xiàn)象，而且在天文、經(jīng)濟(jì)、氣象、電影制片等方面也有廣泛文、經(jīng)濟(jì)、氣象、電影制片等方面也有廣泛應(yīng)用。應(yīng)用。 分形幾何分形幾何 普通幾何學(xué)研究的對象，一般都具有整數(shù)普通幾何學(xué)研究的對象，一般都具有整數(shù)的維數(shù)。比如，零維的點、一維的線、二維的的維數(shù)。比如，零維的點、一維的線、二維的面、三維的立體、乃至四維的時空

5、。最近十幾面、三維的立體、乃至四維的時空。最近十幾年的，產(chǎn)生了新興的分形幾何學(xué)，空間具有不年的，產(chǎn)生了新興的分形幾何學(xué)，空間具有不一定是整數(shù)的維，而存在一個分?jǐn)?shù)維數(shù)，這是一定是整數(shù)的維，而存在一個分?jǐn)?shù)維數(shù)，這是幾何學(xué)的新突破，引起了數(shù)學(xué)家和自然科學(xué)者幾何學(xué)的新突破，引起了數(shù)學(xué)家和自然科學(xué)者的極大關(guān)注。的極大關(guān)注。 嚴(yán)格地而且正式地去定義分形是一件非常嚴(yán)格地而且正式地去定義分形是一件非常復(fù)雜而且困難的事情。但是，有一些不太正復(fù)雜而且困難的事情。但是，有一些不太正規(guī)的定義卻可以幫助我們理解分形的含義。規(guī)的定義卻可以幫助我們理解分形的含義。在這些定義中，最為流行的一個定義是：分在這些定義中，最為流行

6、的一個定義是：分形是一種具有自相似特性的現(xiàn)象、圖象或者形是一種具有自相似特性的現(xiàn)象、圖象或者物理過程。也就是說，在分形中，每一組成物理過程。也就是說，在分形中，每一組成部分都在特征上和整體相似，只僅僅是變小部分都在特征上和整體相似，只僅僅是變小了一些而已。了一些而已。 讓我們來看下面的一個例子。下圖是讓我們來看下面的一個例子。下圖是一棵厥類植物，仔細(xì)觀察，你會發(fā)現(xiàn)，它一棵厥類植物，仔細(xì)觀察，你會發(fā)現(xiàn)，它的每個枝杈都在外形上和整體相同，僅僅的每個枝杈都在外形上和整體相同，僅僅在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整體相同，只是變得更加小了。那么，枝杈體相同，只是變

7、得更加小了。那么，枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必贅言。的枝杈的枝杈呢？自不必贅言。 如果你是個有心人，你一定會發(fā)現(xiàn)在自如果你是個有心人，你一定會發(fā)現(xiàn)在自然界中，有許多景物和都在某種程度上存在然界中，有許多景物和都在某種程度上存在這種自相似特性，即它們中的一個部分和它這種自相似特性，即它們中的一個部分和它的整體或者其它部分都十分形似。其實，遠(yuǎn)的整體或者其它部分都十分形似。其實，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些。從心臟的跳動、變幻莫測的天遠(yuǎn)不止這些。從心臟的跳動、變幻莫測的天氣到股票的起落等許多現(xiàn)象都具有分形特性。氣到股票的起落等許多現(xiàn)象都具有分形特性。這正是研究分形的意義所在。例如，在道這正是研究分形的意義所在。例如，

8、在道瓊瓊斯指數(shù)中，某一個階段的曲線圖總和另外一斯指數(shù)中，某一個階段的曲線圖總和另外一個更長的階段的曲線圖極為相似。個更長的階段的曲線圖極為相似。 上圖中的風(fēng)景圖片又是說明分形的另一很上圖中的風(fēng)景圖片又是說明分形的另一很好的例子。這張美麗的圖片是利用分形技術(shù)生好的例子。這張美麗的圖片是利用分形技術(shù)生成的。在生成自然真實的景物中，分形具有獨成的。在生成自然真實的景物中，分形具有獨特的優(yōu)勢，因為分形可以很好地構(gòu)建自然景物特的優(yōu)勢，因為分形可以很好地構(gòu)建自然景物的模型。的模型。 除了自相似性以外，分行具有的另一除了自相似性以外，分行具有的另一個普遍特征是具有無限的細(xì)致性。上面的個普遍特征是具有無限的細(xì)

9、致性。上面的動畫所演示的是對動畫所演示的是對MandelbrotMandelbrot集的放大，集的放大，只要選對位置進(jìn)行放大，就會發(fā)現(xiàn)：無論只要選對位置進(jìn)行放大，就會發(fā)現(xiàn)：無論放大多少倍，圖象的復(fù)雜性依然絲毫不會放大多少倍，圖象的復(fù)雜性依然絲毫不會減少。但是，注意觀察上圖，我們會發(fā)現(xiàn)：減少。但是，注意觀察上圖，我們會發(fā)現(xiàn)：每次放大的圖形卻并不和原來的圖形完全每次放大的圖形卻并不和原來的圖形完全相似。這告訴我們：其實，分形并不要求相似。這告訴我們：其實，分形并不要求具有完全的自相似特性。具有完全的自相似特性。 不管你信不信，上面的這張月球表面的照片不管你信不信，上面的這張月球表面的照片也是用分形

10、技術(shù)生成的。如果你把圖片放大觀看，也是用分形技術(shù)生成的。如果你把圖片放大觀看，也可以看到更加細(xì)致的東西。因為，分形能夠保也可以看到更加細(xì)致的東西。因為，分形能夠保持自然物體無限細(xì)致的特性，所以，無論你怎么持自然物體無限細(xì)致的特性，所以，無論你怎么放大，最終，還是可以看見清晰的細(xì)節(jié)。放大，最終，還是可以看見清晰的細(xì)節(jié)。 Kohn雪花和雪花和Sierpinski三角形也是比較三角形也是比較典型的分形圖形，它們都具有嚴(yán)格的自相典型的分形圖形，它們都具有嚴(yán)格的自相似特性（仔細(xì)看看，是不是這樣？）。但似特性（仔細(xì)看看，是不是這樣？）。但是在前面說述的是在前面說述的MandelbrotMandelbrot

11、集合卻并不嚴(yán)集合卻并不嚴(yán)格自相似。所以，用格自相似。所以，用“具有自相似具有自相似”特性來特性來定義分形已經(jīng)有許多局限了。定義分形已經(jīng)有許多局限了。 研究對象 有一類問題卻比較特別，Mandelbrot就提出了這樣一個問題：英國的海岸線有多長？英國的海岸線地圖Koch 曲線Koch 曲線（續(xù)） Koch曲線曾經(jīng)在數(shù)學(xué)界成為一個魔鬼。 同樣的道理：長度無限、面積為零、而曲線還有“界”。 另外，有一個特點：當(dāng)取其中的一部分展開，與整體有完全的自相似性，似乎是一個什么東西的無數(shù)次的自我復(fù)制。 LogisticLogistic集集 所謂無限嵌套的自相似結(jié)構(gòu)說得通俗所謂無限嵌套的自相似結(jié)構(gòu)說得通俗一些即

12、局部與整體相似。對局部放大后的一些即局部與整體相似。對局部放大后的形象與整體形象相同或近似相同。除上面形象與整體形象相同或近似相同。除上面講到的周期窗口外，以下一些時間或空間講到的周期窗口外，以下一些時間或空間序列的自相似結(jié)構(gòu)實例也必將有助于我們序列的自相似結(jié)構(gòu)實例也必將有助于我們的理解。的理解。 雪花，雪花，(2)(2)閃電，閃電，(3)(3)血管系統(tǒng)，血管系統(tǒng)，(4)(4)海海岸線，岸線，(5)(5)鸚鵡螺，鸚鵡螺，(6)(6)菜花，菜花，(7)(7)雛型村，雛型村，(8)(8)謝爾賓斯基墊片，謝爾賓斯基墊片，(9)(9)某人在看電視，某人在看電視，電視中還是某人在看電視電視中還是某人在看

13、電視，(10)(10)布朗運動，布朗運動，(11)(11)社會經(jīng)濟(jì)的許多演化社會經(jīng)濟(jì)的許多演化過程，過程，(12)(12)一個故事：從前有座山，山上一個故事：從前有座山，山上有座廟，廟里有一個老和尚給小和尚講故有座廟，廟里有一個老和尚給小和尚講故事：從前有座山事：從前有座山請大家充分請大家充分發(fā)揮想像力，舉更多的例子。發(fā)揮想像力，舉更多的例子。 具有無限嵌套的自相似結(jié)構(gòu)是混沌具有無限嵌套的自相似結(jié)構(gòu)是混沌現(xiàn)象的普遍特性?，F(xiàn)象的普遍特性。Julia Set Julia Set: Zn+1 = Zn2 + C 令複數(shù) C 為一定值，將 Z 平面上任意一點代入，則 Z 平面上部分區(qū)域收斂，部分區(qū)域發(fā)

14、散， 而發(fā)散與收斂區(qū)域間的邊界，即為 Julia Set 的圖形。 根據(jù)C、Z0的不同會生成不同的Julia集合 混沌 混沌可以說他是確定性的行為； 或者，若考慮他出現(xiàn)在稍微有點隨機性的實際系統(tǒng)中，也可以說他是近似與確定性的，然而卻不是看起來像確定性的。 在某些動力系統(tǒng)中，兩個幾乎一致的狀態(tài)經(jīng)過充分長的時間后會變得毫無一致性。Mandelbrot Set 在復(fù)平面中，M集是通過下述迭代式產(chǎn)生的： Zn+1=Zn2+C。 其中，Z和c都是復(fù)數(shù)，由各自的實部 和虛部組成 Xn+1+iYn+1 = (Xn+iYn)2+Cx+iCy 曼德勃羅集是人類有史以來做出的最奇異曼德勃羅集是人類有史以來做出的最

15、奇異, ,最瑰最瑰麗的幾何圖形麗的幾何圖形. .這個點集均出自公式這個點集均出自公式:Zn+1=Z2n+C,:Zn+1=Z2n+C,這這是一個迭代公式是一個迭代公式, ,式中的變量都是復(fù)數(shù)式中的變量都是復(fù)數(shù). .這是一個大這是一個大千世界千世界, ,從他出發(fā)可以產(chǎn)生無窮無盡美麗圖案從他出發(fā)可以產(chǎn)生無窮無盡美麗圖案, ,他是他是曼德勃羅教授在二十世紀(jì)七十年代發(fā)現(xiàn)的曼德勃羅教授在二十世紀(jì)七十年代發(fā)現(xiàn)的. . 你看上圖中你看上圖中,有的地方象日冕有的地方象日冕,有的地方象有的地方象燃燒的火焰燃燒的火焰,只要你計算的點足夠多只要你計算的點足夠多,不管你不管你把圖案放大多少倍把圖案放大多少倍,都能顯示出更加復(fù)雜的都能顯示出更加復(fù)雜的局部局部.這些局部既與整體不同這些局部既與整體不同,又有某種相似又有某種相似的地方的地方,好像著夢幻般的圖案具有無窮無盡好像著夢幻般的圖案具有無窮無盡的細(xì)節(jié)和自相似性的細(xì)節(jié)和自相似性.曼德勃羅教授稱此為曼德勃羅教授稱此為魔魔鬼的聚合物鬼的聚合物.為此為此,曼德勃羅在曼德勃羅在1988年獲得年獲得了了科學(xué)為藝術(shù)大獎科學(xué)