課題：圓錐曲線定義探析

1、課題：圓錐曲線定義探析摘 要：通過案例對高中數(shù)學(xué)中圓錐曲線定義進(jìn)行探析。關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)圓錐曲線定義探析一、案例的背景高一高二期間，學(xué)生在學(xué)習(xí)橢圓和雙曲線，拋物線的定義以及標(biāo)準(zhǔn)方 程的過程中，對于給定幾何條件的動點(diǎn)，已學(xué)過通過建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系， 根據(jù)約束動點(diǎn)變動的條件，從而求出動點(diǎn)的軌跡方程的方法。現(xiàn)在學(xué)生在 高三復(fù)習(xí)時，在解決動點(diǎn)的軌跡或者軌跡方程中遇到了一個較明顯的困難 就是不知道怎么怎么去分類討論，以及如何考慮全面。案例主題：數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史表明，每一個重要的數(shù)學(xué)概念的形成和發(fā)展，其屮都 冇豐富的經(jīng)歷。教師應(yīng)從數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程中進(jìn)行設(shè)計，學(xué)生的 思維不一定真實(shí)的重演了人類對數(shù)學(xué)概念

2、探索的全過程，但確確實(shí)實(shí)可以 在通過實(shí)驗(yàn)、觀察、比較、分析、歸納、抽象、概括等思維活動，在探索 中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化，因此教師需要去掉教材冰冷的外表，打開學(xué)生火熱的思考, 注意平時課堂上學(xué)生的積淀，提高引導(dǎo)的有效性，從而使學(xué)生有對數(shù)學(xué)學(xué) 習(xí)的樂趣，培養(yǎng)一定的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和能力。二、案例的展示人教版選修2-1習(xí)題2.2 a組第7題：例1： 一動圓與圓同時與圓求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么 曲線?課堂練習(xí)：1、（2011廣東理）設(shè)圓c與兩圓，中的一個內(nèi)切，另一個外切求c 的圓心軌跡l的方程；例題1講解完以后，讓學(xué)生做練習(xí)題1,我原本以為習(xí)題1大部分學(xué) 牛通過模仿應(yīng)該可以很好的做出答案，可事實(shí)令人吃驚

3、，習(xí)題1只有少部 分學(xué)生可以做出來完整答案，大部分學(xué)生書寫的過程只有一個差為定值， 得到的結(jié)果只是雙曲線一支。人教版選修2-1習(xí)題2.2 b組第2題：例2：圖略，圓0的半徑為定長a是圓0內(nèi)的一個定點(diǎn)，p是圓 上任意一點(diǎn)，線段ap的垂直平分線in和半徑0p相交于點(diǎn)q,當(dāng)點(diǎn)p在圓 上運(yùn)動時，點(diǎn)q的軌跡是什么？為什么？師：通過分析只要連接qa,通過屮垂線的性質(zhì)很容易得到qa二qp,這 樣就能得到q0+qa二q0+qp二0p二再利用橢圓定義，很快得到q點(diǎn)的軌跡是橢圓。課堂上一學(xué)牛突然舉手問我：“老師，若把a(bǔ)是圓0內(nèi)的一個定點(diǎn)改 寫成a是圓0所在平面的一個動點(diǎn)，半徑op改成直線0p,那么點(diǎn)q的軌 跡是什

4、么？為什么？ ”師：這個問題提得很好，下面請同學(xué)們分小組，先自己思考一下，探 討一下。三分鐘后學(xué)牛：我們都會了，但這個題我們?nèi)齻€人得出的結(jié)論都不同，我得的是雙曲線，他得的是橢圓，還有答案是雙曲線一支，還有是圓，到底誰的 對呢，應(yīng)當(dāng)怎么樣考慮？師：你們的結(jié)果為什么不同呢？還有其它結(jié)果沒有？什么原因產(chǎn)生 的？生：可我們?nèi)绾尾拍苤溃肚闆r下要討論，啥情況下不討論呀？如 何去偽存真？另外一個班的反饋記錄：學(xué)生a：今天的課，用幾何畫版直觀的演示，挺難的題也感覺很容易 懂，很美妙！學(xué)生b：想不到，在一次次的探討過程中，能得出這么多的結(jié)論，學(xué) 到這么多東西，挺有成就感的！學(xué)牛c：這樣學(xué)起來，又輕松，又容易

5、懂，自己發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，就不易 忘記了 o（三）案例的反思1、從學(xué)生對圓錐曲線的定義理解的“不踏實(shí)”，可以看出，學(xué)生的學(xué) 習(xí)是被動的。究其原因是由于過去教師在教學(xué)中只注意新概念強(qiáng)制性地注 入學(xué)生腦中，置學(xué)牛于被動地位，使思維呈依賴性，因而學(xué)生只能消極被 動地接受這個定義而未能內(nèi)化這個新知識，無法達(dá)到有意義的理解和靈活 運(yùn)用。2、從問題結(jié)論的不確定性可以看出，學(xué)生的分類討論與考慮問題的 全面性等數(shù)學(xué)思維還欠缺。比如，由于各種條件限制下，很多的時候老師 在上圓錐曲線這塊知識的時候，很少去使用多媒體，無法讓學(xué)牛直觀發(fā)現(xiàn) 動點(diǎn)變化的情況，或者上課時沒有那么多的探究活動與實(shí)驗(yàn)，學(xué)生就會難 以理解結(jié)論產(chǎn)牛的原

6、因。即使是教師在教學(xué)過程中反復(fù)強(qiáng)調(diào)，或引導(dǎo)學(xué)牛 思考，學(xué)生也僅僅只能記住教師所講的結(jié)論，沒有自己的探究和思考，知 英然而不知英所以然。用幾何畫板演示點(diǎn)q的軌跡后，效果明顯要好3、“學(xué)貴質(zhì)疑”，兩個班其中有一個班有一個學(xué)生提問題，而另外一 個班就沒有人提出來，為什么課堂上的學(xué)生的有效提問總是那么少，是不 是平時我們提問太多了，講太多了，就沒有多少時間給學(xué)生去思考，慢慢 地學(xué)生也就沒有了思考和質(zhì)疑的習(xí)慣。遇到難些的題自己就不會分析和思 考了。（四）案例對教學(xué)的啟示：1、在新課程實(shí)施過程屮，高三的復(fù)習(xí)課很難像高一，高二那樣，因 此有時候在一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)時，一些重要的概念，知識點(diǎn)也是老師直接注入 到學(xué)生

7、腦子的，反復(fù)強(qiáng)調(diào)。那這樣的做法到底能有多大的效果呢？從考試 屮可以看出來，為什么一些老師反復(fù)強(qiáng)調(diào)的知識點(diǎn)，學(xué)生仍是老在同一個 地方犯錯。作為老師我們經(jīng)常強(qiáng)調(diào)學(xué)生要注意學(xué)習(xí)的積累，反過來看看， 我們是不是也要注意平時課堂的積累。尤其是一些重耍的內(nèi)容，比如圓錐 曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的講解就應(yīng)該落到實(shí)處，努力去掉課本冰冷的外 表，打開學(xué)生火熱的思考2、雖然學(xué)生要學(xué)的數(shù)學(xué)是歷史上前人己建構(gòu)好了的，但對他們而言, 仍是全新的、未知的，需要用他們自己的學(xué)習(xí)活動來再現(xiàn)類似的過程。教 師的工作是把教學(xué)設(shè)計成學(xué)生動手操作、觀察猜想、揭示規(guī)律等一系列過 程，側(cè)重于學(xué)生的探索、分析與思考，側(cè)重于過程的探究及在此過程中所 形成的一般數(shù)學(xué)能力。3、教師的地位應(yīng)由主導(dǎo)者轉(zhuǎn)變?yōu)橐龑?dǎo)者。在教學(xué)過程中，把學(xué)習(xí)的 主動權(quán)交給學(xué)生，在時間和空間上保證學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生自己獨(dú) 立自主的探究學(xué)習(xí)，在教學(xué)方法上，充分注意學(xué)化的差異性，加強(qiáng)課堂