信號的傅立葉級數(shù)和頻譜分析——周期性矩形脈沖信號的分解與疊加

1、29沈陽理工大學成 績 評 定 表學生姓名劉磊班級學號1203060315專 業(yè)通信工程課程設計題目周期性矩形脈沖信號的分解與疊加評語組長簽字：成績?nèi)掌?2014 年6 月 日課程設計任務書學 院信息科學與工程專 業(yè)通信工程學生姓名劉磊班級學號 1203060315課程設計題目信號的傅立葉級數(shù)和頻譜分析周期性矩形脈沖信號的分解與疊加實踐教學要求與任務:1、 學習Matlab軟件及應用；2、 學習并研究信號的傅立葉級數(shù)和頻譜分析有關(guān)理論；3、利用Matlab編程，完成周期性矩形脈沖信號的分解與疊加課題；4、寫出課程設計報告，打印程序，給出運行結(jié)果。工作計劃與進度安排:第1-2天： 1、學習使用M

2、atlab軟件、上機練習2、明確課題內(nèi)容，初步編程 第3-5天： 1、上機編程、調(diào)試2、撰寫課程設計報告書3、檢查編程、運行結(jié)果、答辯4、上交課程設計報告指導教師：2014 年6 月 日專業(yè)負責人：2014 年 6 月 日學院教學副院長：2014 年6 月 日目錄一、引言4二、Matlab入門62.1 Matlab7.0介紹62.2利用Matlab7.0編程完成習題設計6三、Matlab7.0實現(xiàn)周期性矩形脈沖信號的分解與疊加 83.1周期性矩形脈沖信號的分解與疊加的原理83.2指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)83.3連續(xù)時間周期信號的傅里葉綜合9 3.4吉布斯現(xiàn)象.10 3.5單邊與雙邊頻譜關(guān)系.11

3、四、運行代碼.12 五、編程實現(xiàn).18六、結(jié)論26七、參考文獻28一、引言人們之間的交流是通過消息的傳播來實現(xiàn)的，信號則是消息的表現(xiàn)形式，消息是信號的具體內(nèi)容。信號與系統(tǒng)課程是一門實用性較強、涉及面較廣的專業(yè)基礎(chǔ)課，該課程是將學生從電路分析的知識領(lǐng)域引入信號處理與傳輸領(lǐng)域的關(guān)鍵性課程,對后續(xù)專業(yè)課起著承上啟下的作用. 該課的基本方法和理論大量應用于計算機信息處理的各個領(lǐng)域,特別是通信、數(shù)字語音處理、數(shù)字圖像處理、數(shù)字信號分析等領(lǐng)域,應用更為廣泛。近年來，計算機多媒體教序手段的運用逐步普及，大量優(yōu)秀的科學計算和系統(tǒng)仿真軟件不斷涌現(xiàn)，為我們實現(xiàn)計算機輔助教學和學生上機實驗提供了很好的平臺。通過對這

4、些軟件的分析和對比，我們選擇MATLAB語言作為輔助教學工具，借助MATLAB強大的計算能力和圖形表現(xiàn)能力，將信號與系統(tǒng)中的概念、方法和相應的結(jié)果，以圖形的形式直觀地展現(xiàn)給我們，大大的方便我們迅速掌握和理解老師上課教的有關(guān)信號與系統(tǒng)的知識。MATLAB是當前最優(yōu)秀的科學計算軟件之一，也是許多科學領(lǐng)域中分析、應用和開發(fā)的基本工具。MATLAB全稱是Matrix Laboratory,是由美國Mathworks公司于20世紀80年代推出的數(shù)學軟件，最初她是一種專門用于矩陣運算的軟件，經(jīng)過多年的發(fā)展，MATLAB已經(jīng)發(fā)展成為一種功能全面的軟件，幾乎可以解決科學計算中的所有問題。而且MATLAB編寫簡

5、單、代碼效率高等優(yōu)點使得MATLAB在通信、信號處理、金融計算等領(lǐng)域都已經(jīng)被廣泛應用。它具有強大的矩陣計算能力和良好的圖形可視化功能，為用戶提供了非常直觀和簡潔的程序開發(fā)環(huán)境，因此被稱為第四代計算機語言。MATLAB 強大的圖形處理功能及符號運算功能，為我們實現(xiàn)信號的可視化及系統(tǒng)分析提供了強有力的工具。MATLAB 強大的工具箱函數(shù)可以分析連續(xù)信號、連續(xù)系統(tǒng)，同樣也可以分析離散信號、離散系統(tǒng)，并可以對信號進行各種分析域計算，如相加、相乘、移位、反折、傅里葉變換、拉氏變換、Z 變換等等多種計算。作為信號與系統(tǒng)的基本分析軟件之一，利用MATLAB進行信號與系統(tǒng)的分析與設計是通信以及信息工程學科的學

6、生所要掌握的必要技能之一。通過學習并使用MATLAB語言進行編程實現(xiàn)課題的要求，對學生能力的培養(yǎng)極為重要。尤其會提高綜合運用所學理論知識進行分析問題、解決問題的能力，也便于將理論知識與實踐相結(jié)合，并得以更好地掌握信號分析與處理的基本方法與實現(xiàn)。這也將為后續(xù)相關(guān)的課程學習打下一定的基礎(chǔ),從而在以后相關(guān)課程設計與分析的時候達到對MATLAB的熟練應用與融會貫通。二、Matlab入門2.1 Matlab7.0介紹Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更強的新功能和更全面、更方便的聯(lián)機幫助信息。當然也比以前的版本對于軟件、硬件提出了更高的要求。在國內(nèi)外Matlab已經(jīng)經(jīng)受了多年的考驗。Ma

7、tlab7.0功能強大，適用范圍很廣。其可以用來線性代數(shù)里的向量、數(shù)組、矩陣運算，復數(shù)運算，高次方程求根，插值與數(shù)值微商運算，數(shù)值積分運算，常微分方程的數(shù)值積分運算、數(shù)值逼近、最優(yōu)化方法等，即差不多所有科學研究與工程技術(shù)應用需要的各方面的計算，均可用Matlab來解決。 MATLAB7.0提供了豐富的庫函數(shù)（稱為M文件），既有常用的基本庫函數(shù)，又有種類齊全、功能豐富多樣的的專用工具箱Toolbox函數(shù)。函數(shù)即是預先編制好的子程序。在編制程序時，這些庫函數(shù)都可以被直接調(diào)用。無疑，這會大大提高編程效率。MATLAB7.0的基本數(shù)據(jù)編程單元是不需要指定維數(shù)的復數(shù)矩陣，所以在MATLAB環(huán)境下，數(shù)組的

8、操作都如數(shù)的操作一樣簡單方便。而且，MATLAB7.0界面友好，用戶使用方便。首先，MATLAB具有友好的用戶界面與易學易用的幫助系統(tǒng)。用戶在命令窗里通過help命令可以查詢某個函數(shù)的功能及用法，命令的格式極為簡單。其次，MATLAB程序設計語言把編輯、編譯、連接、執(zhí)行、調(diào)試等多個步驟融為一體，操作極為簡單。除此之外，MATLAB7.0還具有強大的圖形功能，可以用來繪制多姿多彩的圖形，直觀而形象。綜上，在進行信號的分析與仿真時，MATLAB7.0無疑是一個強大而實用的工具。尤其對于信號的分析起到了直觀而形象的作用，非常適合與相關(guān)課題的研究與分析。2.2利用Matlab7.0編程完成習題設計在熟

9、悉了MATLAB7.0的基本界面之后，可以通過簡單的編程與相關(guān)函數(shù)的調(diào)用，實現(xiàn)一些常用時間信號的可視化操作。例如：編程實現(xiàn)正弦波的仿真。程序如下，直接在命令窗口鍵入如下程序：t=0:0.001:2*pi; w0=2;phi=0; ft1=sin(w0*t+phi); plot(t,ft1)仿真圖形如下： 圖a三Matlab7.0實現(xiàn)周期性矩形脈沖信號的分解與疊加的設計3.1周期性矩形脈沖信號的分解與疊加的原理頻域分析法即傅里葉分析法，它是變換域分析法的基石。其中，傅里葉級數(shù)是變換域分析法的理論基礎(chǔ)，傅里葉變換作為頻域分析法的重要數(shù)學工具，具有明確的物理意義，在不同的領(lǐng)域得到廣泛的應用矩形形式的

10、傅里葉級數(shù)為：式中系數(shù)、稱為傅里葉系數(shù)，可由下式求得。 其中，為基波頻率,為n次諧波頻率。3.2 指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)根據(jù)歐拉公式： 并考慮和奇偶性可將改寫為指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)： 即周期信號可分解為一系列不同頻率的虛指數(shù)信號之和，式中稱為傅里葉復系數(shù)，可由下式求得： 3.3 連續(xù)時間周期信號的傅里葉綜合任何滿足狄里赫里條件的周期信號，可以表示成式或的和式形式，或式常稱為連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)綜合公式。一般來說，傅里葉級數(shù)系數(shù)有無限個非零值，即任何具有有限個間斷點的周期信號都一定有一個無限項非零系數(shù)的傅里葉級數(shù)表示。但對數(shù)值計算來說，這是無法實現(xiàn)的。在實際的應用中，但我們可以用有限項的傅里葉

11、級數(shù)求和來逼近。為了比較有限項諧波的逼近情況，本次課設編寫了程序來繪制波形以給讀者一個直觀的感受。調(diào)用xiebo.m函數(shù)文件，即可繪出周期矩形波信號各次諧波的合成波形。如圖2.1所示。圖2.1 周期矩形脈沖信號的合成由圖2.1可見，當它所包含的諧波分量越多時，合成波形愈接近于原來的矩形波脈沖（。由圖2.1還可以看到，合成波形所包含的諧波分量愈多時，除間斷點附近外，它越接近于原矩形波脈沖。在間斷點附近，隨著所含諧波次數(shù)的增加，合成波形的尖峰愈接近間斷點，但尖峰幅度并未明顯減少?？梢宰C明，即使合成波形所含諧波次數(shù)時，在間斷點處仍有約9%的偏差，這種現(xiàn)象稱為吉布斯（Gibbs）現(xiàn)象。在傅里葉級數(shù)的項

12、數(shù)取得很大時，間斷點處尖峰下的面積非常小以致趨近于零，因而在均方的意義上合成波形同原波形的真值之間沒有區(qū)別4。3.4 吉布斯現(xiàn)象 上一節(jié)中我們提到了吉布斯現(xiàn)象，本節(jié)我們將作重點來討論。我們知道滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)表示成的傅立葉級數(shù)都收斂。狄里赫利條件如下：1. 在任何周期內(nèi)，x(t)必須絕對可積；2. 在任一有限區(qū)間中，x(t)只能取有限個最大值或最小值；3. 在任何有限區(qū)間上，x(t)只能有有限個第一類間斷點。 所謂的吉布斯現(xiàn)象就是：在x(t)的不可導點上，如果我們只取x(t)等式右邊的無窮級數(shù)中的有限項作和X(t)，那么X(t)在這些點上會有起伏1。具體現(xiàn)象如下圖所示，以下分別為諧波

13、次數(shù)為N=50，N=100，N=500合成波的情況。圖2.2 不同時N值時的合成波 從上面的圖像中可以看出，當N=500的時候，合成波與原來的方波擬合得非常好，但是在不可導的點上，即為x=-1.5,x=-0.5,x=0.5,x=1.5這樣的點的時候，合成波會有較大的波動，這就是非常明顯的吉布斯現(xiàn)象。3.5單邊與雙邊頻譜關(guān)系如前所述，周期信號可以分解成一系列正弦（余弦）信號或虛指數(shù)信號之和，為了直觀地表示出信號所含各分量的振幅或，隨頻率的變化情況，通常以角頻率為橫坐標，以各次諧波的振幅或虛指數(shù)函數(shù)的幅度為縱坐標，畫出如圖3.1和3.2所示的各諧波的振幅或與角頻率的關(guān)系圖，稱為周期信號的幅度（振幅

14、）頻譜，簡稱幅度譜。圖中每條豎線代表該頻率分量的幅度，稱為譜線。各譜線頂點連線的曲線（如圖中原點所示）稱為頻譜包絡線，它反映了各諧波分量幅度隨頻率變化的情況。圖3.5.1中幅度譜為單邊幅度譜（用繪制的頻譜）。圖3.2中幅度譜為雙邊幅度譜（用繪制的頻譜）。類似地，也可畫出各諧波初相角與角頻率的關(guān)系圖，如圖3.1和3.2中各諧波初相角與角頻率的關(guān)系圖，稱為相位頻譜，簡稱相位譜。圖3.5.1中相位譜為單邊相位譜。圖3.2中相位譜為雙邊相位譜。如果為實數(shù)，那么可用的正負來表示為0或也可把幅度譜和相位譜畫在一張圖上。由圖可見，周期信號的譜線只出現(xiàn)在頻率為等原周期信號頻率的整數(shù)倍的離散頻率上，即周期信號的

15、頻譜是離散譜。圖3.5.1 周期信號的雙邊幅度譜和相位譜由此可見周期信號頻譜具有三個特點：（1）離散性，即譜線是離散的；（2）諧波性，即譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上；（3）收斂性，即諧波的幅度隨諧波次數(shù)的增高而減小。單邊頻譜和雙邊頻譜的區(qū)別就是求值的范圍不同，單邊頻譜求的是頻率大于0的情況，而雙邊頻譜求的是所有頻率的情況，即包括頻率小于0的情況，這個區(qū)別在上面的兩張圖中可以非常明顯地看出來。四.運行代碼4.1吉布斯效應t=-2:0.001:2;N=input('N=');% N為輸入要達到的最高次諧波的次數(shù)c0=0.5;fN=c0*ones(1,length(t);for n

16、=1:2:NfN=fN+cos(pi*n*t)*sinc(n/2);%sinc抽樣函數(shù)endfigureplot(t,fN)axis(-2 2 -0.2 1.2)4.2畫方波t=-2*pi/100:pi/1024:2*pi/100;y=square(2*pi*30*t,50);%脈寬50plot(t,y);grid ylim(-1.5 1.5)4.3 方波信號的合成clear all; %將原來的信號清楚close all; %關(guān)閉該程序N=200; dt=2/N; %數(shù)據(jù)點數(shù)和采樣間隔for n=1:N %得到方波信號if(n*dt+1>=2) %方波跳變 x(n)=1; else x

17、(n)=-1;end endfigure(1); %畫振幅譜subplot(211); plot(1:N)*dt,x); hold on; %hold on稍等plot(1:N)*dt,zeros(1,N),'r');xlabel('時間/s');title('振幅');a=zeros(1,N);b=zeros(1,N);mm=floor(N/2)+1;for k=0:mm-1 a(k+1)=0;b(k+1)=0;for i=0:N-1a(k+1)=a(k+1)+2/N*x(i+1)*cos(2*pi*k*i/N);b(k+1)=b(k+1)+2

18、/N*x(i+1)*sin(2*pi*k*i/N);endc(k+1)=sqrt(a(k+1).2+b(k+1).2);endsubplot(212);plot(0:mm-1)/(N*dt),c);title('Fourier變換');xlabel(頻率/HZ');ylabel('振幅');%繪制振幅譜axis(0 25 0 1);m=input('輸入諧波最大階數(shù)');%輸入最大K值if(m>floor(N/2)+1)error('諧波次數(shù)必須小于頻率對應的階數(shù)');endif(mod(N,2)=1)a(mm)=a

19、(mm)/2;end %此時b(nn)為零a(nn)減半for i=0:N-1 %合成信號xx(i+1)=a(1)/2;for k=1:mxx(i+1)=xx(i+1)+a(k+1)*cos(2*pi*k*i/N)+b(k+1)*sin(2*pi*k*i/N);endendfigure(2);plot(1:N)*dt,xx,(0:N-1)*dt,x);%繪制合成信號與方波信號圖便于比較hold on;plot(1:N)*dt,zeros(1,N),'r');xlabel('繪制橫軸');ylabel('振幅An');title(信號合成圖'

20、;);4.4 方波的分解clear all;close all;N=200; dt=2/N; %數(shù)據(jù)點數(shù)和采樣間隔for n=1:N %得到方波信號if(n*dt>=1) %半個周期幅值分別為 1、-1x(n)=1;else x(n)=-1;end endfigure(1);plot(1:N)*dt,x); axis(0 2 -1.5 1.5);hold on;plot(1:N)*dt,zeros(1,N),'r');xlabel('時間/s');ylabel('振幅');title('原始信號');a=zeros(1,N)

21、;m=input('輸入諧波的最高次數(shù)');for k=0:m-1a(k+1)=0;b(k+1)=0;for i=0:N-1a(k+1)=a(k+1)+2/N*x(i+1)*cos(2*pi*k*i/N);b=zeros(1,N);b(k+1)=b(k+1)+2/N*x(i+1)*sin(2*pi*k*i/N);endAn(k+1)=sqrt(a(k+1).2+b(k+1).2);ph(k+1)=(atan(b(k+1)/a(k+1)+2*pi*k*i/N);%反正切函數(shù)，即求相位角end subplot(211); stem(0:m-1)/(N*dt),An); xlabel

22、('頻率(HZ)');ylabel('振幅(An)');title('Fourier變換'); subplot(212); stem(0:m-1)/(N*dt),ph);title('Fourier Fourier變換');xlabel('頻率(HZ)');ylabel('相位（rad）');4.5 周期矩形脈沖信號的幅度譜 n=-12:12;E=1;t=1;T=5*t;w=2/T;Fn=(E*t/T)*sinc(w*t*n/2);stem(n,abs(Fn),'filled

23、9;);hold on k=-12:0.01:12;f=abs(E*t/T)*sinc(w*t*k/2);plot(k,abs(f),'-');4.6 周期矩形脈沖信號的頻譜 a. 取E=1，tao=1, 畫出周期矩形脈沖的傅里葉級數(shù)的頻譜；n=-12:12;E=1;t=1;T=5*t;w=2/T;Fn=(E*t/T)*sinc(w*t*n/2);stem(n,Fn,'filled');hold on k=-12:0.01:12;f=abs(E*t/T)*sinc(w*t*k/2);plot(k,f,'-');五、編

24、程實現(xiàn)原始方波輸入諧波的最高次數(shù)5輸入諧波的最高次數(shù)25輸入諧波的最高次數(shù)50輸入諧波的最高次數(shù)100周期信號幅度圖 周期信號頻譜圖 六、結(jié)論本次的信號與系統(tǒng)課程設計中，我查閱了相關(guān)資料，并且進行了反復練習。由于是第一次做信號與系統(tǒng)的課程設計，對于相關(guān)設計過程和分析方法以及MATLAB軟件的使用并不大熟練。 但功夫不負有心人，最終還算順利完成，這對我以后學習相關(guān)的課程以及進行更高層次的信號與系統(tǒng)設計都奠定了一定的基礎(chǔ)。設計過程中，出現(xiàn)了各種各樣的問題，有些是單一原因引起的，有的是綜合原因引起的，這些都很考驗我的毅力與堅持。但是我掌握了研究這類問題的方法，即問題解決的過程就是要從問題所表現(xiàn)出來的情況出發(fā)，通過反復推敲，作出相應判斷，逐步找出問題的癥結(jié)所在，從而一舉擊破。對于信號與系統(tǒng)課程設計，尤其在使用M