IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)課程

1、5.1 5.1 數(shù)字濾波類型與指標(biāo) 5.2 5.2 模擬濾波器設(shè)計(jì)5.3 5.3 設(shè)計(jì)IIRIIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法5.4 5.4 設(shè)計(jì)IIRIIR濾波器的雙線性變換法5.5 5.5 設(shè)計(jì)IIRIIR數(shù)字濾波器頻率變換法5.6 5.6 數(shù)字陷波器設(shè)計(jì)5.7 5.7 IIRIIR數(shù)字濾波器的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì) 第第5章章 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 第1頁(yè)/共133頁(yè)第一頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。 濾波的目的 為了壓制輸入信號(hào)的某些頻率成分，從而改變信號(hào)頻譜中各頻率分量的相對(duì)比例 廣義濾波包括對(duì)信號(hào)的檢測(cè)與參量的估計(jì) 信號(hào)的檢測(cè):確定在干擾背景中信號(hào)是否存在 信號(hào)參量的估計(jì):為識(shí)

2、別信號(hào)而確定信號(hào)的某一個(gè)或某幾個(gè)參量的估值 5.1 數(shù)字濾波類型與指標(biāo)數(shù)字濾波類型與指標(biāo) 第2頁(yè)/共133頁(yè)第二頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。 濾波技術(shù)包括: 濾波器設(shè)計(jì):根據(jù)給定濾波器的頻率特性，求得滿足該特性的傳輸函數(shù)， 濾波過(guò)程的實(shí)現(xiàn)：獲得傳輸函數(shù)后，以何種方式達(dá)到對(duì)輸入信號(hào)的進(jìn)行濾波的目的第3頁(yè)/共133頁(yè)第三頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。1.1.數(shù)字濾波器的頻率特性 數(shù)字濾波器 具有某種特定頻率特性的線性時(shí)不變系統(tǒng) 廣義上，任何線性時(shí)不變離散系統(tǒng)都是一個(gè)數(shù)字濾波器 設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的任務(wù) 尋求一個(gè)因果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)，使其系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有指定的頻率特性0)()()(nn

3、jezjenhzHeHj第4頁(yè)/共133頁(yè)第四頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。0)()()(nnjezjenhzHeHj對(duì)因果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)：)(jeH:濾波器的傳輸函數(shù)H(z):系統(tǒng)函數(shù)h(n) :濾波器的單位脈沖響應(yīng))()()(jjeHeH)(Im)(Re)(22jjeHeHH)(Re)(Im)(jjeHeHarctg)(H：幅度響應(yīng))(：相位響應(yīng)第5頁(yè)/共133頁(yè)第五頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。22Tfss2/sDF按頻率特性分類可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通特點(diǎn)為l數(shù)字頻率以 周期2l頻率特性只限于 范圍，依取樣定理， 對(duì)應(yīng)于實(shí)際模擬抽樣頻率的一半 )(sfT頻率變量

4、以數(shù)字頻率 表示 其中 模擬角頻率，T抽樣時(shí)間間隔，fs 抽樣頻率第6頁(yè)/共133頁(yè)第六頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。理想濾波器的頻率響應(yīng) 第7頁(yè)/共133頁(yè)第七頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。)e (Hj0sp1p：通帶波紋s：阻帶波紋：過(guò)渡帶：通帶截止頻率p：阻帶截止頻率sDF的性能要求（低通為例）11112cst)(jeH第8頁(yè)/共133頁(yè)第八頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。 從信號(hào)不失真角度講通常要求 相位線性)(為時(shí)延常數(shù)具有群恒時(shí)延特性 常數(shù))()(dd)(相位響應(yīng)第9頁(yè)/共133頁(yè)第九頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。2 2IIRIIR和FIRFIR數(shù)字濾波器 IIR濾波

5、器的系統(tǒng)函數(shù)通?？杀硎境傻挠欣矸质?FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)則可表示為的多項(xiàng)式 設(shè)計(jì)過(guò)程一般包括以下三個(gè)基本問(wèn)題： 根據(jù)實(shí)際要求確定濾波器性能指標(biāo)； 用一個(gè)因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個(gè)指標(biāo)； 用一個(gè)有限精度的運(yùn)算去實(shí)現(xiàn)這個(gè)傳輸函數(shù) 問(wèn)題1、3與實(shí)際的要求及實(shí)現(xiàn)的硬件條件有關(guān) 本章主要討論問(wèn)題2，即系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計(jì)(或逼近)問(wèn)題。 第10頁(yè)/共133頁(yè)第十頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。3 3設(shè)計(jì)IIRIIR濾波器的幾種方法 IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可表示為的有理分式 11101)(zazbzHkNkkNk 設(shè)計(jì)IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，就是要確定H(z)的階數(shù)N（通常稱N為濾波器的階數(shù)）以及分子

6、分母多項(xiàng)式的系數(shù)jezjkkzHeHba)()(，使其、 滿足指定的頻率特性第11頁(yè)/共133頁(yè)第十一頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。(1)(1)利用模擬濾波器的理論來(lái)設(shè)計(jì) 模擬濾波器研究較早，理論已經(jīng)十分成熟，有許多簡(jiǎn)單而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑O(shè)計(jì)公式和大量的圖表可以利用，利用這些現(xiàn)有技術(shù)來(lái)解決數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)問(wèn)題 采用這種方法時(shí)，要先要設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后將它轉(zhuǎn)換成滿足給定指標(biāo)的數(shù)字濾波器 這種方法適合于設(shè)計(jì)幅頻特性比較規(guī)則的濾波器，例如低通、高通、帶通、帶阻等第12頁(yè)/共133頁(yè)第十二頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。當(dāng)把模擬濾波器的H(s) )轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的H(z) ) 時(shí)，要實(shí)現(xiàn)S

7、S平面向Z Z平面的映射，必須滿足兩個(gè)條件 必須保證模擬頻率映射為數(shù)字頻率，且保證兩者的頻率特性基本一致 要求變換后代表S平面的虛軸j應(yīng)映射到Z片面的單位圓 且數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器頻率響應(yīng)的形狀應(yīng)基本保持不變； 因果穩(wěn)定的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)H(z)后，仍然是因果穩(wěn)定的 要求S平面左半平面的極點(diǎn)必須映射到Z平面的單位圓內(nèi) 兩種常用的方法 脈沖響應(yīng)不變法：從時(shí)域的角度出發(fā)進(jìn)行映射 雙線性不變法：從頻域角度出發(fā)進(jìn)行映射第13頁(yè)/共133頁(yè)第十三頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。(2)(2)利用最優(yōu)化技術(shù)進(jìn)行CADCAD設(shè)計(jì) 若需設(shè)計(jì)濾波器的幅頻特性是任意的

8、或者形狀比較復(fù)雜，可采用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)思想)(jdeH 希望濾波器的幅頻響應(yīng)： )(jeH 設(shè)計(jì)濾波器的幅頻響應(yīng)： 選擇一種最優(yōu)化的準(zhǔn)則，例如采用最小均方誤差準(zhǔn)則 )()(jjdeHeH、設(shè)在指定的一組離散的頻率點(diǎn) Mii,2, 1,的均方誤差 第14頁(yè)/共133頁(yè)第十四頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。212)()(jjdMieHeH求解H(z)的系數(shù)，、kkba使均方誤差最小 當(dāng)濾波器階數(shù) N 較高時(shí)，轉(zhuǎn)換為一個(gè)多變量最優(yōu)化問(wèn)題，需要大量的迭代運(yùn)算，因此必須采用CAD的方法。 第15頁(yè)/共133頁(yè)第十五頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。5.2 模擬濾波器設(shè)計(jì)

9、模擬濾波器設(shè)計(jì) IIR濾波器的設(shè)計(jì)是基于模擬濾波器的成熟技術(shù)而完成的 簡(jiǎn)單介紹模擬濾波器設(shè)計(jì)的一些基本概念，并介紹兩種常用的濾波器的設(shè)計(jì)方法 ： 巴特沃思(Butterworth)濾波器 切比雪夫(Chebyshev)濾波器第16頁(yè)/共133頁(yè)第十六頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。521模擬濾波器設(shè)計(jì)的基本概念模擬濾波器設(shè)計(jì)的基本概念 1 . 模擬濾波器的頻率特性與衰減特性 濾波器的頻率特性主要取決于構(gòu)成濾波器系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) jssHjH| )()( 工程設(shè)計(jì)中給定的指標(biāo)往往是通帶和阻帶的衰減，它一般用反映功率增益的幅度平方函數(shù)或稱模方函數(shù)來(lái)定義dBjHjHA| )(|lg20| )(|lg

10、10)(2 當(dāng)要求濾波器具有線性相位特性（延時(shí)為常數(shù)）時(shí)濾波器的頻率特性為H jH jej()|()|()(，第17頁(yè)/共133頁(yè)第十七頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。2. 歸一化與頻率變換 采用歸一化參數(shù) 設(shè)計(jì)結(jié)果具有普遍性 計(jì)算方便 歸一化包含： 電路參數(shù)歸一化：將系統(tǒng)中無(wú)源元件的阻抗或運(yùn)算阻抗分別除以基準(zhǔn)電阻(系統(tǒng)的負(fù)載電阻值)。 頻率歸一化：將所有的頻率都除以基準(zhǔn)頻率（濾波器的截止頻率） 計(jì)算實(shí)際電路參數(shù)時(shí)應(yīng)要將歸一化頻率乘以截止頻率，進(jìn)行反歸一化 頻率變換：從歸一化低通原型濾波器到高通、帶通、帶阻等其它類型的濾波器的變換方法第18頁(yè)/共133頁(yè)第十八頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分

11、。3 . 從模方函數(shù) 求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s) 當(dāng)不含有源器件，作為一個(gè)因果穩(wěn)定、物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)必須滿足的條件 |()|H j2a、是一個(gè)具有實(shí)系數(shù)的s有理函數(shù) )(/ )()(sDsNsHb、所有極點(diǎn)必須全部分布在s的左半平面內(nèi) c、分子多項(xiàng)式式N(s)的階次必須小于或等于分母多項(xiàng)式D(s)的階次 正實(shí)函數(shù) 第19頁(yè)/共133頁(yè)第十九頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。實(shí)函數(shù)的傅立葉變換存在共軛對(duì)稱的性質(zhì) HjHj*()()()(| )(|2jHjHjH)()(sHsHjs|()|()*()()()H jH jHjH jHj2有 得平面的虛軸，解析延拓代表sj第20頁(yè)/共133頁(yè)第

12、二十頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。從給定的模方函數(shù)求出所需要的系統(tǒng)函數(shù)的方法 a、解析延拓,令s= 代入模方函數(shù)得到 ,并求其零極點(diǎn) jH s Hs( )()b、取 所有在左半平面的極點(diǎn)作為 的極點(diǎn) )(sHH s Hs( )()c、按需要的相位條件(最小相位,混合相位等)取一半的零點(diǎn)構(gòu)成 的零點(diǎn) )(sHH s Hs( )()第21頁(yè)/共133頁(yè)第二十一頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。4 模擬濾波器的設(shè)計(jì)-逼近問(wèn)題 pAsA：通帶衰減：阻帶衰減,：與通帶衰減、阻帶衰減有關(guān)的系數(shù) ：通帶截止頻率：阻帶截止頻率ps第22頁(yè)/共133頁(yè)第二十二頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。 尋找一個(gè)恰當(dāng)

13、的近似函數(shù)來(lái)逼近理想特性謂逼近問(wèn)題 最常用的具有優(yōu)良性能的濾波器： 巴特沃思(Butterworth)濾波器 切比雪夫(Chebyshev)濾波器 橢圓(elliptic)函數(shù)或考爾（Cauer）濾波器 實(shí)現(xiàn)線性相位的貝塞爾濾波器)1log(20)11log(102ppAssAlog20)11log(102之間的關(guān)系、與sPAA,第23頁(yè)/共133頁(yè)第二十三頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。522巴特沃思巴特沃思Butterworth低通濾波器低通濾波器 1基本性質(zhì) BW濾波器以巴特沃思函數(shù)來(lái)近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù)BW的低通模平方函數(shù)表示 , 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc指定

14、 、 后，帶 到上式，得pApp21 . 0222)1 (1011)/(11| )(|pANcpppjH10101 . Ap13時(shí)，當(dāng)dBAp第24頁(yè)/共133頁(yè)第二十四頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。指定 、 后，帶 到上式，得sAss21 . 02221011)/(11| )(|sANcsssjH1010 1 . As用3dB截止頻率 來(lái)規(guī)一化：對(duì)頻率進(jìn)行 ，下式變?yōu)?c /c, 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc|()|()H jN2211第25頁(yè)/共133頁(yè)第二十五頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。討論：|()|()H jN2211當(dāng) =0 時(shí)， =1 ,取最大值|()

15、|H j2當(dāng) 時(shí)， =0.5,取3dB值)( 1c|()|H j21)(/, 1/22接近時(shí)，很小，通帶jHNNcc0)(/, 1/22接近時(shí)，很大，通帶jHNNcc第26頁(yè)/共133頁(yè)第二十六頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。阻帶內(nèi)，由于|() |()HjjjcN221 或 AH jNjjsc 10202lg|()|lg()幅度隨著 N的增加阻帶衰減近似為6N db/倍頻程。 N越大，頻帶特性越接近理想矩形特性 第27頁(yè)/共133頁(yè)第二十七頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。|()|()H jN2211上式的臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開為 ：NNjH4221| )(|12 , 2 , 1, 0| )(|02N

16、kjHddk =0處函數(shù)對(duì)2Nl階導(dǎo)數(shù)都等于零曲線在 =0附近是最“平坦”,巴特沃思濾波器又叫做“最大平坦濾波器”第28頁(yè)/共133頁(yè)第二十八頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。 歸一化巴特沃思低通濾波器的幅度特性 第29頁(yè)/共133頁(yè)第二十九頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。2設(shè)計(jì)過(guò)程 (a)按給定指標(biāo)確定階次N 222)(Nps)/lg()110/() 110lg(21)/lg()/lg(1 . 01 . 0psAApspsN)/lg()110lg()/lg()lg()/lg()/lg(1 . 0csAcscssN實(shí)際計(jì)算時(shí)，要對(duì)上式求得的數(shù)值取整加1。若給定的指標(biāo) =3dB, 即通帶邊頻

17、時(shí), =1,可求得cppA第30頁(yè)/共133頁(yè)第三十頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。(b)從模方函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)H(s) 求得極點(diǎn) , 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc帶入上式，得： js0)(12Ncjs)12() 1(kje由于NkesNNkjck2 , 2 , 12/)12(第31頁(yè)/共133頁(yè)第三十一頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。分析討論c在歸一化頻率的情況 =1，極點(diǎn)均勻分布在單位圓上 NkesNNkjk2 , 2 , 12/)12(對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng),它的所有極點(diǎn)均應(yīng)在 s的左半平面上 第32頁(yè)/共133頁(yè)第三十二頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)成

18、 濾波器的極點(diǎn)求出后，可取左平面上的所有極點(diǎn)構(gòu)成系統(tǒng)函數(shù) )(1)(1iNissAsH對(duì)于低通濾波器，為了保證在頻率零點(diǎn) =0處， =1，可取| )(|jHNiiNsA1) 1()() 1()(1iiNiNssssH因此得 第33頁(yè)/共133頁(yè)第三十三頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。例5-2-1舉例說(shuō)明系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)成 設(shè)計(jì)一巴特沃思濾波器，使其滿足以下指標(biāo): 通帶邊頻 =100k rad/s, 通帶的最大衰減為 =3dB，阻帶邊頻為 =400k rad/s,阻帶的最小衰減為 =35 dBpApsAs解:由于通帶邊頻就是3dB 截止頻率，即 cp11101 . 0pA2 .561101 . 0

19、sA確定階次N，9 . 24lg2 .56lg)/lg()/lg(csN3N取第34頁(yè)/共133頁(yè)第三十四頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。求左半平面的極點(diǎn): sekkcjkNN() /, ,21212 3,3/21jces,2jcessecj323/得極點(diǎn)：構(gòu)成巴特沃思濾波器傳輸函數(shù)H(s)為 H ss s sssssssssscccc( )()()()1 231233322322相對(duì)截止頻率 歸一化，得歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數(shù) cHsa( )Hssssa( ) 122132第35頁(yè)/共133頁(yè)第三十五頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。一般N階歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數(shù) 表示 Hsss

20、a sa sassaiNiNNN( )()111112211是 =1時(shí)的極點(diǎn)，分布在單位圓上 sic分母一般稱為巴特沃思多項(xiàng)式，其系數(shù)可通過(guò)查表求得,見(jiàn)表5-2-1 第36頁(yè)/共133頁(yè)第三十六頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。表5-2-1 巴特沃思多項(xiàng)式系數(shù) Na1a2a3a4a5a6a7a8a9 21.4142 32.00002.0000 42.61313.41422.6131 53.23615.23615.23613.2361 63.86377.46419.14167.46413.8637 74.494010.09714.59214.59210.0974.4940 85.152813.1

21、3721.84625.68821.84613.1375.1528 95.758816.58131.16341.98641.98631.16316.5815.7588106.392520.43142.80264.88274.23364.88242.80220.4316.3925第37頁(yè)/共133頁(yè)第三十七頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。表5-2-2 巴特沃思多項(xiàng)式因式分解 N 巴 特 沃 思 多 項(xiàng) 式1 s+12s2+1.4142s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180+1)6(s

22、2+0.5176s+1)(s2 +1.412s+1)(s2 +1.9319s+1)7(s+1)(s2+0.4450s+1)(s2+1.2470s+1)(s2+1.8019s+1)8(s2+0.3092s+1)(s2+1.1111s+1)(s2+1.6629s+1)(s2+1.9616s+1)9(s+1)(s2+0.3473s+1)(s2+s+1)(s2+1.5321s+1)(s2+1.8794s+1)第38頁(yè)/共133頁(yè)第三十八頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。 上述歸一化公式和表格是相對(duì)3dB 截止頻率 給出的。由指定的技術(shù)指標(biāo) 利用上述公式和表格進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，最關(guān)鍵的2個(gè)參數(shù)是濾波器的節(jié)數(shù)N

23、和3dB 截止頻率 。 N用來(lái)求巴特沃思多項(xiàng)式， 用來(lái)反歸一化，求實(shí)際濾波器的參數(shù)。ssPpAA,ccc第39頁(yè)/共133頁(yè)第三十九頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。523 切比雪夫?yàn)V波器切比雪夫?yàn)V波器 第40頁(yè)/共133頁(yè)第四十頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。53 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法濾波器的脈沖響應(yīng)不變法 1 1設(shè)計(jì)的基本原理和方法 原理：從時(shí)域響應(yīng)出發(fā)，使求得的數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)等于模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)h(t)的抽樣值。 nTtthnh)()(如果： )(,)(1）（則由：已知sHLthsH則可有下式求的H（z）： )()()(nThZnhZzH第41

24、頁(yè)/共133頁(yè)第四十一頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。 方法：將H(s)表示為部分分式形式 kkNkssAsH1)( 其拉氏反變換為 得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng) 對(duì)上式兩邊取Z變換得 )()(1tueAthtskNkkNknTskNknTsknueAnTueAnhkk11)()()()(111)(zeAzHTskNkk（5-2-3） 第42頁(yè)/共133頁(yè)第四十二頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。 如果模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是穩(wěn)定的，其極點(diǎn)應(yīng)位于左半平面 111)(zeAzHTskNkk（5-2-3） 0kesR 對(duì)Z平面的極點(diǎn)有 1Tskkez 位于單位園內(nèi)。因此H(z)是一個(gè)穩(wěn)定的離散系統(tǒng)

25、函數(shù)，這說(shuō)明由一個(gè)穩(wěn)定的模擬濾波器得到了一個(gè)穩(wěn)定的數(shù)字濾波器 第43頁(yè)/共133頁(yè)第四十三頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。2 2脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng) 根據(jù)抽樣定理，序列h(n)的頻譜是原模擬信號(hào)頻譜的周期延拓 原模擬濾波器的頻率響應(yīng)為 ，)( jH由于h(n)是h(t)的等間隔抽樣 H eTH jTjTmjn()()12第44頁(yè)/共133頁(yè)第四十四頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。如果模擬濾波器的頻率響應(yīng)是帶限于折疊頻率之內(nèi)，即 這樣數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)才能等于模擬濾波器的頻率響應(yīng) 然而，高通和帶阻濾波器不能滿足(-2-)式的要求，將會(huì)產(chǎn)生混疊脈沖響應(yīng)不變法不適合用來(lái)設(shè)計(jì)高通

26、和帶阻數(shù)字濾波器。 H jTs()02H eTH jTj()()1第45頁(yè)/共133頁(yè)第四十五頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。3 3幾點(diǎn)修正 1 1）、消去T T的影響 H eTH jTj()()1由上式可見(jiàn)，數(shù)字頻率響應(yīng)與模擬頻率響應(yīng)的第一差別是具有一個(gè)乘法因子(1/(1/T)=T)= f fS S，當(dāng)采樣頻率f fS S很高時(shí)，將會(huì)使濾波器的增益很大，這往往是不希望的，為此可對(duì)下式作修正：nTtthnh)()(h nTh ttnT( )( )令第46頁(yè)/共133頁(yè)第四十六頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。2 2）、直接用數(shù)字頻率表示的求H( (z) )的公式在實(shí)際濾波器設(shè)計(jì)中，因模擬濾波

27、器系統(tǒng)函數(shù)的表格大都是歸一化低通原型 ，其濾波器3 3dBdB點(diǎn)截止頻率都?xì)w一化在c 1Hsa( )原因：可將設(shè)計(jì)公式及有關(guān)參數(shù)表格化，使之更通用。我們只要知道濾波器的階數(shù)，就可直接查出低通原型的系統(tǒng)函數(shù)。Hsa( )c當(dāng)濾波器的實(shí)際截止頻率不等于1 1時(shí)，須進(jìn)行所謂反歸一化，以( (s/ )s/ )代替 中的s s，即實(shí)際低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H( (s) )應(yīng)為H sHsac( )(/)第47頁(yè)/共133頁(yè)第四十七頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。H sHsAssAssackNkckkNkckc( )()(/)11H sHsac( )(/)H sAsskNkk( ) 1為模擬歸一化原型系統(tǒng)函

28、數(shù)的極點(diǎn) skH zZ Th tTAezkNkcs Tkc( )( )111有由,TccH zAezkNkcskc( ) 111第48頁(yè)/共133頁(yè)第四十八頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。例5-3-15-3-1利用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)4 4階巴特沃斯型數(shù)字低通濾波器，滿足以下指標(biāo)(A) 若采樣周期T=10s，求實(shí)際模擬截止頻率fc， (B) 3dB截止頻率=0.2弧度。kHzfsradfTcccc102,/1020102.035有由,Tcc解：先計(jì)算模擬截止頻率，第49頁(yè)/共133頁(yè)第四十九頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器分三步：4 , 1,) 18478. 1)(17

29、654. 0(1)(8)142(22kessssssHkjka第一步 查巴特沃斯數(shù)字低通濾波器原型表，求得系統(tǒng)函數(shù) 第50頁(yè)/共133頁(yè)第五十頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。第二步 部分分式分解并求AkHsAssAsskakkkkkiik( ),(),144114第51頁(yè)/共133頁(yè)第五十一頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。第三步 將 代入下式，kcksA及、整理并化簡(jiǎn)求得H(z)的實(shí)系數(shù)二次形式 H zAezkNkcskc( ) 111H zAezkkcskc( ) 1411101847760884821 1314950618231847760409811 1087040313171121

30、12.zzzzzz第52頁(yè)/共133頁(yè)第五十二頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。54 設(shè)計(jì)IIR濾波器的雙線性變換法1 1設(shè)計(jì)方法)( jH)(jeH 從頻域響應(yīng)出發(fā)，直接使數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng) ，逼近模擬濾波器的頻域響應(yīng) , ,進(jìn)而求出H H( (z z) )。第53頁(yè)/共133頁(yè)第五十三頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。 脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)： 對(duì)時(shí)域的采樣會(huì)造成頻域的混疊效應(yīng)，因而有可能使設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的頻域響應(yīng)與原來(lái)模擬濾波器的頻域響應(yīng)相差很大，而且不能用來(lái)設(shè)計(jì)高通和帶阻濾波器原因：從S S平面到Z Z平面的映射是多值的映射關(guān)系第54頁(yè)/共133頁(yè)第五十四頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn)

31、四十七分。雙線性變換的映射過(guò)程 脈沖響應(yīng)不變法的映射過(guò)程 第55頁(yè)/共133頁(yè)第五十五頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。雙線性變換法的改進(jìn)雙線性變換法的改進(jìn) 為避免頻域的混疊，分兩步完成S S平面到Z Z平面的映射TT，v將S S平面壓縮到某一中介的S S1 1平面的一條橫帶域v通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的變換將此橫帶域映射到整個(gè)Z Z平面上去，第56頁(yè)/共133頁(yè)第五十六頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。實(shí)現(xiàn)方法： t gT()12再通過(guò)Z變換，將1映射到Z平面的單位圓上 通過(guò)下面的正切變換，將S平面的j軸壓縮到S1平面的j1軸上的 TjTj,Tsez1第57頁(yè)/共133頁(yè)第五十七頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十

32、七分。將正切變換延拓到整個(gè)S平面，得到S平面到S1平面的映射關(guān)系 st hs Tees Ts T()121111再將S1平面按關(guān)系式 映射到Z平面得到 zes T1szz1111zss11雙線性變換 或第58頁(yè)/共133頁(yè)第五十八頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。雙線性變換的映射關(guān)系滿足關(guān)于映射關(guān)系可行性的兩個(gè)條件 （1）S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上；（2）位于S左半平面的極點(diǎn)應(yīng)映射到Z平面的單位圓內(nèi)。 seej t gjjj112(),jez 令szz1111帶入表達(dá)式得：說(shuō)明S平面的虛軸 映射成了Z平面的單位圓第59頁(yè)/共133頁(yè)第五十九頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。sj令 ,帶

33、入表達(dá)式zss11得：zjj112222)1()1(z顯然當(dāng) 時(shí)， 1， 0zS平面的左半平面軸映射到了Z平面的單位圓內(nèi)，保證系統(tǒng)函數(shù)經(jīng)映射后穩(wěn)定性不變 第60頁(yè)/共133頁(yè)第六十頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。雙線性變換的頻率對(duì)應(yīng)關(guān)系 模擬頻率與數(shù)字頻率是一種非線性的關(guān)系 t gT()12模擬濾波器與數(shù)字濾波器的響應(yīng)與對(duì)應(yīng)的頻率關(guān)系上發(fā)生了畸變，也造成了相位的非線性變化，這是雙線性變換法的主要缺點(diǎn) 雙線性變換法除了不能用于線性相位濾波器設(shè)計(jì)外，仍然是應(yīng)用最為廣泛的設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的方法。 在上刻度為均勻的頻率點(diǎn)映射到上時(shí)變成了非均勻的點(diǎn)，而且隨頻率增加越來(lái)越密第61頁(yè)/共133頁(yè)第六十

34、一頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。2頻率預(yù)畸變 為了保證各邊界頻率點(diǎn)為預(yù)先指定的頻率，在確定模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)之前必須按下式進(jìn)行所謂頻率預(yù)畸變 cct g()2然后將預(yù)畸變后的頻率代入歸一化低通原型Ha(s) 確定H sHsac( )(/)最后求得數(shù)字系統(tǒng)函數(shù) H zH sszz( )( )111111111)(zzsacsH第62頁(yè)/共133頁(yè)第六十二頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。3.有關(guān)雙線性變換公式的說(shuō)明（抽樣間隔T的選取有些文獻(xiàn)中雙線性變換的關(guān)系為: 11112zzTsszz1111與右式有一個(gè)2/T的系數(shù)的差別?，F(xiàn)說(shuō)明T的取值。 第63頁(yè)/共133頁(yè)第六十三頁(yè)，編輯于星期六

35、：一點(diǎn) 四十七分。上式可由用數(shù)值計(jì)算的方法求解一階輸入-輸出模擬系統(tǒng)的過(guò)程中推得。設(shè)一階模擬系統(tǒng)函數(shù)為 bsasHa)(對(duì)應(yīng)的一階微分方程為 )()()(taxtbytyaaa)(tya將 表示成 的積分形式 )(tya)()()(00tydtytyattaa11112zzTs第64頁(yè)/共133頁(yè)第六十四頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。采用梯形法近似計(jì)算定積分，令步長(zhǎng)為T，并設(shè)t=nT，t0=（n-1）T，用T代替d，以上積分式可近似為： ) 1() 1()(21)(TnyTTnynTynTyaaaa帶入一階微分方程) 1() 1()()(2) 1()(TnaxTnbynTaxnTbyTTn

36、ynTyaaaaaa第65頁(yè)/共133頁(yè)第六十五頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。令 、)()(nTxnxa)()(nTynya)1()()1()(2)1()(nxnxanynybTnyny一階差分方程化為： bzzTazXzYzH11112)()()(對(duì)上式兩邊進(jìn)行Z變換，得到： 第66頁(yè)/共133頁(yè)第六十六頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。得到了雙線性變換的關(guān)系 11112zzTs其中T為用梯形法近似計(jì)算定積分的步長(zhǎng)，或?qū)⒛M信號(hào)離散為抽樣信號(hào)時(shí)的抽樣間隔 由以上的推導(dǎo)過(guò)程可見(jiàn)，T的取值可以任選，只要滿足 Ts即只要保證將模擬頻率帶限在之間，不會(huì)產(chǎn)生因多值映射產(chǎn)生頻率混迭現(xiàn)象。 第67頁(yè)/

37、共133頁(yè)第六十七頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。另一方面，當(dāng)變換關(guān)系采用下式時(shí) 11112zzTs將有關(guān)系式sTsTz)2/(1)2/(1)2(2tgT和第68頁(yè)/共133頁(yè)第六十八頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。11)2/tan(1112)2/tan(12zzzzTTspccc當(dāng)由歸一化的模擬變量p變到數(shù)字變量Z的過(guò)程中，系數(shù)2/T已被消去。這再一次說(shuō)明T取值的大小是不重要的。 考慮到利用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的過(guò)程 cspapHsH| )()(11112)()(zzTssHzH第69頁(yè)/共133頁(yè)第六十九頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。例：利用雙線性變換法設(shè)計(jì)巴特沃斯型數(shù)字低通

38、濾波器 設(shè)計(jì)參數(shù)：通帶數(shù)字截止率 ，通帶內(nèi)最大衰減 阻帶數(shù)字截止率 ，阻帶內(nèi)最小衰減 dBAp5 . 0dBAs1525. 0p55. 0s解 第一步 進(jìn)行頻率預(yù)畸變求 sp 、0.4142136tg0.125)2(pptg1.1708496tg0.275)2(sstg第70頁(yè)/共133頁(yè)第七十頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。第二步 計(jì)算巴特沃斯型數(shù)字低通濾波器的階數(shù) 2.6586997)/lg()110/() 110lg(21)/lg()/lg(1 . 01 . 0psAApspsN取N=3 第三步 通過(guò)查表求得3階巴特沃斯低通濾波器原型的系統(tǒng)函數(shù) )1)(1(1)(2ssssHa第71頁(yè)

39、/共133頁(yè)第七十一頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。第四步 求3dB截止頻率 ，并反歸一化求得 cH sHsac( )(/)pANcppjH1 . 02210)/(11| )(|解得： ，反歸一化求 得0.588148c)345918.0588148.0)(588148.0(203451.0)/()(2ssssHsHca第五步 求得H(z)代入雙線性變換公式，化簡(jiǎn)后求得 1111)()(zzssHzH)3917468.06762858.01)(259328.01()1(0662272.0)(21131zzzzzH第72頁(yè)/共133頁(yè)第七十二頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。11111)()(

40、zzsacsHzH也可按下式將第三步與第四步可合并在一起進(jìn)行，求出H(z) 設(shè)計(jì)濾波器的幅度響應(yīng)與相位響應(yīng) 第73頁(yè)/共133頁(yè)第七十三頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。進(jìn)行頻率變換有以下兩種基本方法 ：55 設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器頻率變換法數(shù)字濾波器頻率變換法第74頁(yè)/共133頁(yè)第七十四頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。 第一種方法的簡(jiǎn)化的形式： 找出歸一化模擬低通原型與數(shù)字高通，帶通和帶阻濾波器之間的從S域到Z域的變換關(guān)系 直接由歸一化模型低通原型變換成所需的數(shù)字濾波器第75頁(yè)/共133頁(yè)第七十五頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。551從從S域到域到Z域的頻率變換法域的頻率變換法 1歸一

41、化模擬低通原型到數(shù)字高通濾波器的頻率變換 設(shè)歸一化模擬低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 )(pHaLp為模擬域內(nèi)的拉氏變量 ，模擬域內(nèi)從低通到高通的變換為以p-1代替p： HpHpaHaL( )(/)1第76頁(yè)/共133頁(yè)第七十六頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。反歸一化，即以 帶入上式 csp求得反歸一化后的高通濾波器的傳輸函數(shù)H(s) H sHsHsaHcaLc( )()()雙線性變換，得數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z) 11111111)()()(zzpaLzzscpHsHzHHpHpaHaL( )(/)1第77頁(yè)/共133頁(yè)第七十七頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。變換關(guān)系 1111zzpc

42、 模擬濾波器與數(shù)字濾波器的頻率以及3dB截頻 與 之間的關(guān)系： cc2cctg直接由歸一化低通原型變換成數(shù)字高通濾波器的由： 可得22ccctgcjp/第78頁(yè)/共133頁(yè)第七十八頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。例 設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴特沃斯型高通數(shù)字濾波器，3dB數(shù)字截頻為0.2弧度，求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 解 三階巴特沃斯型歸一化模擬低通原型的系統(tǒng)函數(shù)為 HppppaL( ) 122132頻率預(yù)畸變 /s)0.3249(rad)tg(0.12cctg得到數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 1111113249. 023111221)()(zzpzzpaLppppHzHc3213157016. 02419

43、76. 23358. 3859208. 1)1 (zzzz第79頁(yè)/共133頁(yè)第七十九頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。解 1、頻率預(yù)畸變求模擬低通的截頻 和阻帶下邊頻 cscs例5-5-2 設(shè)計(jì)一巴特沃斯型高通數(shù)字濾波器，3dB的 0.2弧度阻帶下邊頻 0.05弧度，阻帶衰減 AS48dB，求濾波器的系統(tǒng)函數(shù)/s)0.3249(rad)tg(0.12cctgad/s)1.341267(r 22scsctg2、計(jì)算低通濾波器的階數(shù)N , 3.8976)/lg()110lg(211.0csAsN取N4第80頁(yè)/共133頁(yè)第八十頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。4 、 利用直接變換關(guān)系求數(shù)字濾波器

44、的系統(tǒng)函數(shù)H(z) 1111)()(zzpaLcpHzH4321414324. 04366. 2346. 54743. 53103. 2)1 (zzzzz3、查表5-2-2，得N=4時(shí)巴特沃斯低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 HpppppaL( )(.)(.)107654118478122第81頁(yè)/共133頁(yè)第八十一頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。設(shè)計(jì)的高通濾波器的幅度響應(yīng)與相位響應(yīng)第82頁(yè)/共133頁(yè)第八十二頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。2歸一化模擬低通原型到數(shù)字帶通濾波器的頻率變換 直接尋求模擬低通到數(shù)字帶通之間的映射關(guān)系 l0uslsus ： 中心頻率 ：下邊頻和上邊頻 ：下阻帶上邊頻

45、：上阻帶下邊頻 ：模擬的阻帶下邊頻 第83頁(yè)/共133頁(yè)第八十三頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。 0000zesj(零點(diǎn)) 01,zsj(極點(diǎn)) 數(shù)字帶通到模擬低通的映射應(yīng)滿足的映射關(guān)系 第84頁(yè)/共133頁(yè)第八十四頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。滿足以上關(guān)系的變換式為: sszezezzzzzjj( )()()()()cos0011211202穩(wěn)定變換：S平面穩(wěn)定的函數(shù)變換到Z平面也是穩(wěn)定的 例如設(shè)0z=r1,則有 01)cos1 (2)1 (11cos2202202rrrrrrs表明：Z平面單位圓內(nèi)的極點(diǎn)變到了S平面的左半平面 第85頁(yè)/共133頁(yè)第八十五頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七

46、分。jez 其次令 代入上式，可得頻率變換關(guān)系 jjeeesjjjsincoscos11cos20202表明：Z平面單位圓變換到了S平面的虛軸 第86頁(yè)/共133頁(yè)第八十六頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。 模擬低通與數(shù)字帶通的頻率變換 sususbsincoscos01c當(dāng) 時(shí)，反歸一化處理csp/) 1(1cos2202zzzspcc)2cos()2cos(cos0luuluucsincoscos0第87頁(yè)/共133頁(yè)第八十七頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。例5-5-3 設(shè)計(jì)一個(gè)三階巴氏數(shù)字帶通濾波器對(duì)模擬信號(hào)濾波,上下邊帶的3dB截止頻率為 =12.5kHz, =37.5kHz,阻帶邊

47、頻 = 45.125 kHz,采樣頻率為 =100kHz。并求阻帶的最小衰減。 f21f2sfsf解: 1）先確定上下邊帶的3dB數(shù)字截止頻率，及上阻帶下邊頻 radffs75. 010/105 .372/25311radffs25. 010/105 .122/25322radffssu925. 010/10125.452/25322）確定數(shù)字中心頻率: 0)2cos()2cos(cos212105 . 00得：第88頁(yè)/共133頁(yè)第八十八頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。3）求模擬低通截止頻率和阻帶下邊頻 c1011050750751coscossincos .cos .sin .1653.

48、 4)925. 0sin()925. 0cos()5 . 0cos(sincoscos0uus4）求 , 當(dāng) =1時(shí),三階巴氏低通濾波器的傳輸函數(shù)為: Hsa( )cHssssa( ) 1221325）求H(z),將 代入上式得 szzzzz2022221111cosH zHszzzzaszz( )( )22112464121333第89頁(yè)/共133頁(yè)第八十九頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。fs26）求相對(duì) =45.125kHz處的阻帶的最小衰減。由下式 sANcssjH1 . 02210)/(11| )(|得：)/(11log10210NcssA代入 和 及N=3，求得 csdBAs18.

49、37第90頁(yè)/共133頁(yè)第九十頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。例5-5-3設(shè)計(jì)的帶通濾波器的幅度響應(yīng)與相位響應(yīng)第91頁(yè)/共133頁(yè)第九十一頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。直接由歸一化模擬低通原型求數(shù)字濾波器的頻率變換公式表 表5-5-1 第92頁(yè)/共133頁(yè)第九十二頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。552 數(shù)字域頻率變換法數(shù)字域頻率變換法 在已知數(shù)字低通濾波器時(shí)，通過(guò)在Z域內(nèi)的數(shù)字頻域變換得到所需類型的數(shù)字濾波器 假定變換前的平面為z平面，變換后的為Z平面，這種變換就是要將z平面的系統(tǒng)函數(shù) 映射成Z平面的系統(tǒng)函數(shù) 。假設(shè)從z到Z的映射關(guān)系為 )(zHL)(ZHd)(11ZGz)(11| )

50、()(ZGzLdzHZH則有：第93頁(yè)/共133頁(yè)第九十三頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。變換函數(shù) 必須滿足以下三個(gè)條件： )(1ZG（1）為滿足一定的頻率響應(yīng)要求，z域的頻率必須變換成Z域的頻率，也就是說(shuō)平面的單位圓必須映射到Z平面的單位圓上； （2）為保證由因果穩(wěn)定的系統(tǒng)變換得到的系統(tǒng)也是因果穩(wěn)定的，要求平面的單位圓內(nèi)部必須映射到Z平面的單位圓內(nèi)部； （3）由于 是z-1的有理函數(shù)，為了保證變換后的 也是Z-1的有理函數(shù)，要求變換函數(shù) 必須是Z-1的有理函數(shù)。 )(zHL)(ZHd)(1ZG第94頁(yè)/共133頁(yè)第九十四頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。設(shè) 和 分別為z 平面和Z 平面的數(shù)

51、字頻率變量，即 jez jeZ 得帶入)(11ZGz)(arg| )(|)(jeGjjjeeGeGe有：1| )(|jeG)(argjeG表明函數(shù) 在單位圓上的幅度必須恒等于1全通函數(shù)，任何全通函數(shù)都可以表示為NiiiZZZG11*111)()(1ZG第95頁(yè)/共133頁(yè)第九十五頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。全通函數(shù)的特點(diǎn)保證極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，即 ，以保證變換后穩(wěn)定性不變 1|iNiiiZZZG11*111)()(1ZG的所有零點(diǎn)都是其極點(diǎn)的共軛倒數(shù) ，)/1 (*i當(dāng) 由0變到 時(shí)，全通函數(shù)相角 的變化量為 。選擇合適的N和 ，則可得到各類變換 )(argjeGNia第96頁(yè)/共133頁(yè)第

52、九十六頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。1數(shù)字低通 數(shù)字低通 )(zHL)(ZHd 和 都是低通系統(tǒng)函數(shù)，只是截止頻率不同)(zHL)(ZHd 從0變到 時(shí)， 也應(yīng)從0變到 ，由全通函數(shù)相角變化為 ，可確定此處階數(shù)應(yīng)為 ，故變換函數(shù)為一階全通函數(shù) N1N11111)(ZZZGzjjeZez,帶入，注意為實(shí)數(shù)。得頻率間關(guān)系為 ：jjjeee1第97頁(yè)/共133頁(yè)第九十七頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。cos1sinarctan2cos)1 (2sin)1 (arctan22由此求得 與 之間的關(guān)系：，線性時(shí)，0時(shí)，頻率壓縮0時(shí)，頻率擴(kuò)張0第98頁(yè)/共133頁(yè)第九十八頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十

53、七分。對(duì)于幅度響應(yīng)為分段常數(shù)的濾波器，變換后仍可得類似的頻率響應(yīng) 設(shè)低通原型的截止頻率為 ，變換后的對(duì)應(yīng)截止頻率為cc帶入下式得：jjjeee122sincccc 由截頻為 的 得到截頻為 的 變換關(guān)系：cc)(zHL)(ZHd1111| )()(ZzzLdzHZH第99頁(yè)/共133頁(yè)第九十九頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。2數(shù)字低通數(shù)字高通 低通變成高通，只需將頻率響應(yīng)旋轉(zhuǎn)180，即將Z變換成-Z即可旋轉(zhuǎn)變換 11111)(ZZZGz將下式中的 用 代替，1Z1 Z得到低通到高通的變換1111ZZz2cos2coscccc第100頁(yè)/共133頁(yè)第一百頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。3數(shù)字

54、低通數(shù)字帶通 數(shù)字帶通映射到數(shù)字低通必須滿足的映射關(guān)系： 數(shù)字帶通 數(shù)字低通 數(shù)字帶通 數(shù)字低通 1000zeZj11, 0zZ 從0變到 時(shí)， 也應(yīng)從0變到 ，因而全通函數(shù)的階數(shù)應(yīng)為22N第101頁(yè)/共133頁(yè)第一百零一頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。則有：111111*11*)(ZZZZZGz111222112ZZZZ變換函數(shù)參數(shù)的確定列于表5-5-4 第102頁(yè)/共133頁(yè)第一百零二頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。4數(shù)字低通數(shù)字帶阻 數(shù)字帶阻映射到數(shù)字低通必須滿足的映射關(guān)系： 100zeZj110, 0zZ 從0變到 時(shí)， 也從0變到 ，因而全通函數(shù)階數(shù)為22N時(shí)，當(dāng)11Z1) 1

55、(1Gz，得變換關(guān)系：1111111*1)(ZZZZZGz111222112ZZZZ變換函數(shù)參數(shù)的確定列于表5-5-4 第103頁(yè)/共133頁(yè)第一百零三頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。 截止頻率為 的低通數(shù)字濾波器變換成各型數(shù)字濾波器 c變換公式見(jiàn)表5-5-4 ，P第104頁(yè)/共133頁(yè)第一百零四頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。5.6 數(shù)字陷波器設(shè)計(jì) 也被稱為點(diǎn)阻濾波器 一種特殊的帶阻濾波器，其阻帶在理想情況下只有一個(gè)頻率點(diǎn) 主要用于消除某個(gè)特殊的頻率干擾 在各種測(cè)量?jī)x器和數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)中用于消除電源干擾的工頻陷波器 一般為IIR濾波器 設(shè)計(jì)方法 雙線性變換進(jìn)行設(shè)計(jì) 零極點(diǎn)累試的方法 第10

56、5頁(yè)/共133頁(yè)第一百零五頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。1、陷波器的頻率特性 設(shè)信號(hào)為 ， 為干擾頻率,需要將其濾掉 x ts tAt( )( )sin00則要求濾波器的傳輸函數(shù)為: |()|H j1000其數(shù)字域的傳輸函數(shù)為: |()|H ej1000/ fTs其中數(shù)字陷波器的頻率響應(yīng) 第106頁(yè)/共133頁(yè)第一百零六頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。2、利用雙線性變換設(shè)計(jì)數(shù)字陷波器 二階模擬陷波器傳輸函數(shù)為 202202)(BssssH其幅度響應(yīng)為 22220220)(| )(|BjH3dB帶寬為 分別為在陷波頻率的上邊頻和下邊頻幅度增益為-3dB的頻率。 1212,、B采用雙線性變換

57、，可求得二階數(shù)字陷波器傳輸函數(shù)如下 第107頁(yè)/共133頁(yè)第一百零七頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。1111| )()(zzssHzH2201202022012020)1 ()1 (2)1 ()1 ()1 (2)1 (zBzBzz2121)1 (1)1 ()1 (2)1 (21)(zzzzzHBB202011202011)2/tan(1)2/tan(1BB0cos采用雙線性變換，可求得二階數(shù)字陷波器傳輸函數(shù)如下 可改寫成 其中：陷波頻率 ，數(shù)字3dB帶寬 與 之間的關(guān)系： 012B,第108頁(yè)/共133頁(yè)第一百零八頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。例5-6-1 設(shè)計(jì)一個(gè)二階數(shù)字陷波器，其模擬

58、陷波頻率為60Hz，3dB帶寬為6Hz，采樣頻率為400Hz 解：先求數(shù)字陷波頻率和數(shù)字3dB帶寬： 3 . 0)400/60(2003. 0)400/6(2B0.8816186)2/tan(1)2/tan(1BB0.587785cos0數(shù)字傳輸函數(shù)為 2121881618. 0105987. 11940809. 0105987. 1940809. 0zzzz2121)1 (1)1 ()1 (2)1 (21)(zzzzzH第109頁(yè)/共133頁(yè)第一百零九頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。3、零極點(diǎn)累試的設(shè)計(jì)方法 1）、基本方法 IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可表示為 H zb za zc zd zkN

59、kkNkrMrkNk( )()()01111111111由于零極點(diǎn)的共軛成對(duì),先討論二階的情況: H zz ez ezpzpijjii( )()()()()*1111111100傳輸函數(shù)在 處具有無(wú)限大的衰減，為了保證在 時(shí),信號(hào)無(wú)衰減,必須在 附近配置上兩個(gè)極點(diǎn) ，使 000|( )|H z 1第110頁(yè)/共133頁(yè)第一百一十頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。若一個(gè)二階的系統(tǒng)不能滿足要求,可采用多個(gè)二階系統(tǒng)的級(jí)聯(lián) 三個(gè)二階系統(tǒng)的 級(jí)聯(lián) 第111頁(yè)/共133頁(yè)第一百一十一頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。二階系統(tǒng)的零極點(diǎn) 分布：3個(gè)零點(diǎn)在 ，極點(diǎn)分布在以為半徑,以 為圓心的圓弧上，以保證 0j

60、ez 0jez |( )|H z 1第112頁(yè)/共133頁(yè)第一百一十二頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。極點(diǎn)坐標(biāo)為 ：)(00ijjieep320111iiii其中總的傳輸函數(shù)為 H zH z Hz Hz( )( )( )( )123設(shè)計(jì)的問(wèn)題就是如何選取 使 時(shí)，使即如何選取參數(shù)及 pizzej00|( )|H z 1i3)、參數(shù)及 的選擇1將 和 代下式：pi1H zz ez ezpzpijjii( )()()()()*1111111100第113頁(yè)/共133頁(yè)第一百一十三頁(yè)，編輯于星期六：一點(diǎn) 四十七分。可得： 2*1210)(1cos21)(zppppzzzzHiiiii其中：ppii