平面向量題型歸納

1、平面向量題型歸納向量有關(guān)概念：【任何時候?qū)懴蛄繒r都要帶箭頭】uur r1,向量的概念：既有大小又有方向的量， 記作：AB或a。注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示,注意不能說向量就是有向線段 ，為什么？（向量可以平移）。uuu r例：已知A （1,2）, B （4,2）,則把向量 AB按向量a = （ 1,3）平移后得到的向量是uuu r2 .向量的模：向量的大小（或長度），記作：|人8|或|2|。3 .零向量：長度為0的向量叫零向量，記作： 0,注意零向量的方向是任意的；rruuuuuu4,單位向量：單位向量：長度為1的向量。若e是單位向量，則|e| 1。（與AB共線的單位向量是4B

2、-）；|AB|5 .相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；6 .平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作： a /6,規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：/相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等;兩個向量平行包含兩個向量共線，但兩條直線平行/兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念: 不包含兩條直線重合；/平行向量無傳遞性?。ㄒ驗橛?三點A B、C共線uuuAB、r0）；uurAC共線;如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中正確的是uuuuuuuuuuuiruuirA. ABCDB. ABADBDuuruuuuuiruui

3、ruurC. ADABACD. ADBC07.相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。若 1a1 1bb。（2）若 a b,b c,貝U auura的相反向量是一 a、ABr r r r r r平行四邊形。（4）若ABCD是平行四邊形，則c。（6）若 a/b,b/c ,則 a/c。（3） uur uuirAB DC 。其中正確的是uurBA。例：下列命題：（1）uuu uuir若 AB DC ,貝U ABCD 是題型1、基本概念1 ：給出下列命題:/if|a|=|b|,r r則a = b ； /向量可以比較大??；/方向不相同的兩個向量一定不平行;b=r,貝ua=c；”若abFr-.rr

4、r r_r,b c ,則 a c ； /0 a0 ； /0 a0;其中正確的序號是2、基本概念判斷正誤：（1）共線向量就是在同一條直線上的向量。(2)若兩個向量不相等，則它們的終點不可能是同一點。(3)與已知向量共線的單位向量是唯一的。uuu uuu(4)四邊形ABCD是平行四邊形的條件是 AB CD 。uur uur(5)若AB CD ,則A、B、C、D四點構(gòu)成平行四邊形。(6)因為向量就是有向線段，所以數(shù)軸是向量。r r r rr r(7)若a與b共線，b與c共線，則a與c共線。r r r r(8)若 ma mb ,則 a b。r r(9)若 ma na ,貝U m n。r rr r(10

5、)若a與b不共線，則a與b都不是零向量。r r r r r r (11)若 a b |a| |b|,則 a/b。r r r r r (12)若 |a b| |a b|,則 a二、向量加減運算8 .三角形法則：uuruuruuu uuruuruuuruurABBCAC; ABBCCDDEuum uuu uuurAE； AB ACuuuCb (指向被減數(shù))9 .平行四邊形法則：r rr rr r以a,b為臨邊的平行四邊形的兩條對角線分別為a b, a b。題型2.向量的加減運算uuu uuiruuur uuuruuuu1、化簡(AB MB) (BO BC) OMuuu uuur uur2、已知|

6、OA| 5,| OB| 3,則| AB |的最大值和最小值分別為uur uuir3、在平行四邊形 ABCD中，若 AB ADuuu uuirAB AD ,則必有uiur rA. AD 0uuur r uuirB. AB 0 或 ADr0 C. ABCD是矩形D. ABCD是正方形題型3.向量的數(shù)乘運算r r r r1、計算：(1) 3(a b) 2(a b)r rr r(2) 2(2a 5b 3c) 3( 2a 3b 2c)題型4.作圖法求向量的和r rr 1r r 3r1、已知向量a,b,如下圖，請做出向量 3a b和2a b。22題型5.根據(jù)圖形由已知向量求未知向量uur uuuruuir

7、r uuu uuurb ,求 AB和 AD 。1、已知在 ABC中，D是BC的中點，請用向量 AB,AC表示AD。uuur r uur2、在平行四邊形 ABCD中，已知AC a, BD題型6.向量的坐標運算一，rrr 1 r1、已知 a (1, 4),b ( 3,8),則 3a -b練習(xí)：若物體受三個力rrrF1(1,2) , F2( 2,3), F3( 1, 4),則合力的坐標為uiLT2、已知PQ(3, 5) , P(3,7),則點Q的坐標是rrrr rr r r3、.已知 a( 3,4) , b(5,2)，求 ab, ab, 3a2b。, 一- 一 ，-r2、已知 A(1,2), B(3

8、,2)，向量 auuu(x 2,x 3y 2)與AB相等，求x, y的值。5、已知O是坐標原點,uuuuuur rumrA(2, 1),B( 4,8),且 AB 3BC 0 ,求 OC 的坐標。三.平面向量的基本定理 ：如果8和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a,只有一對實數(shù) 1、2 ,使a= 1 e1 + 2 e2?；祝喝我獠还簿€的兩個向量稱為一組基底。題型7.判斷兩個向量能否作為一組基底ur uu1、已知0,62是平面內(nèi)的一組基底，判斷下列每組向量是否能構(gòu)成一組基底：有且iruu ur ur uriuiuiriruuiuurA. ee2和ee，B.3e2e2和

9、4e26eC. e(3e2和623eiu nrurD. 62和e2e練習(xí)：下列各組向量中，可以作為基底的是()(A) 61(0,0), 62(1, 2)(B)&( 1,2), 62(5,7)(C) 61(3,5), 62 (6,10)(D)6i(2, 3), 62(1,3)2616224rr .2、.已知a (3,4),能與a構(gòu)成基底的是()3 4A.(5,5)4 33 44B.(5,5)C.( 5, 5D.( 1, 33、知向量ei、e2不共線，實數(shù)(3x-4y)ei+(2x-3y)e =6ei+3e2，則x y的值等于4、設(shè)ei,e2是兩個不共線的向量，AB2eikq,CBs3q,

10、CD2ee2,若A、B、D三點共線，求k的值.5、平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點介3=1，則x, y所滿足的關(guān)系式為(A(3,1),B(-1,3),若點 C(x, y)滿足 Or = "OA + 3OB ,其中 % 之 R 且 )A. 3x+2y-11=0 B. (x-1)2+(y-2)2=5C. 2x-y=0 D. x+2y-5=0四.平面向量的數(shù)量積：urn r uur r1 .兩個向量的夾角：對于非零向量a , b ,作OA a,OB b , AOB稱為向量a, b的夾角，當 =0時，a, b同向，當時，a , b反向，當 =時，a , b垂直。實數(shù)與向量的積：實數(shù)

11、與向量a的積是一個向量，記作 a,它的長度和方向規(guī)定如下：1當 >0時， a的方向與a的方向相同，當 <0時，a的方向與a的方向相反，當 =0時,r ra | a , 2r ra 0,注意：a wqurnr uuuuuir r uuuf r uuur r例1、已知AD,BE分別是 ABC的邊BC, AC上的中線，且AD a,BE b,則BC可用向量a,b表示為例2、已知 ABC中，點D在BC邊上，且CD 2DB, CD r AB sAC ,則r s的值是 2 .平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量 a, 積(或內(nèi)積或點積)，記作：a ? b ,即a ? bb,它們的夾角為r r=a

12、b cos 。規(guī)定:r r，我們把數(shù)量|a|b|cos叫做a與b的數(shù)量零向量與任一向量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量3.向量的運算律r r r r1.交換律：abba,r r r r ra, a?b b?a；r r r2.結(jié)合律：a b crrr rrrrabc, abcar ra ?br r r r a?b a? b ;rrrr raaa, a br r r r r r ra b ?c a?c b?c。r , r r r ,c當且僅當a 0時成立;題型8:有關(guān)向量數(shù)量積的判斷1:判斷下列各命題正確與否：r ,rr r ，r(1) (a b) c a (b c) ； (2)

13、右 a b a c ,則 b(3) (ab) cr ,r.b c； (4) (a b)r r r r _ rrr,1, ,、c a (b c)對任息a,b,c向重都成立;.r(5)若 a0,ar , 對任息向重a ,有2 aa2。b) =m a +m b其中正確的序2、下列命題中:(b c)a b a c ； /a (b c) (a b)(a b)2|a|22|a|2|b| |b|2； / 若 a b0,0;rrr rrr/若 abc b,則ac；22r aa btrar r 2 ；H (a b)r2 ar2 b ;r r 2II (a b)r2 ar2ar2 bO其中正確的是題型9、求單位向

14、量r【與a平行的單位向量:r星】 |a|1.與a(12,5)平行的單位向量是。2.與 m1 1,-1)平行的單位向量是題型10、數(shù)量積與夾角公式:r r rb |a| |b|cos ；cos-r|a|b|r向量的模：若a (x, y)r則|a|r|ar b|(a b)21、 / ABC 中，| AB | 3| AC |4, |BC5,則ABBC.1 r2、已知 a (1-),b2(0,二),c a 2r u kb,dr uc與d的夾角為-,則k等于r 一3、已知 |a| 3,|b|4,且a與b的夾角為60°,r r ,r .r、 b ,(2) a (a b),，、 r .(3) (a

15、 -b)(4)r rb) (ar3b)。4、已知a,b是兩個非零向量，且5、已知a (3,1),b (6、已知A(1,0), B(0,1),7、已知非零向量a,b滿足8：已知 ABC中 ABCrb的夾角為273,2)，求a與b的夾角。C(2,5),求 cos BAC。|b|,b(b 2a) ,則a與b的夾角為uuu uur50o, BC BA,則BA與AC的夾角為r a則十的值為br b r a21 r a2r a9：已知向量a與向量b的夾角為120°,若向量c = a + b,且a/c,r r r rr r r10： /已知|a|=1|b |= 2, |a + b |=2,則b與2

16、a-b的夾角余弦值為 .rr r rr r r r11：已知向量I al=7r2, I b I =2, a和b的夾角為135 ,當向量a+ b與 a+ b的夾角為銳角時，求 的取值范圍。rr題型11、求向量的模的問題如向量的模：若a (x, y),則|a |1、已知零向量 a (2,1) ,a.b 10, a b5<2!,則 b 2、已知向量a,b滿足a 訓(xùn) 2,|a b| 2,則|a b 3、已知向量 a(173), b ( 2,0),則 |a b 4、已知向量a (1,sin ),b (1, cos，則a b的最大值為 5、設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，(A) 8(B)

17、4(C) 2(D) 16、設(shè)向量a, b滿足a付1及4a 3b 3,求3a 5b的值練習(xí)：已知向量a,b滿足a 21b 5ab 3求a b和a b|7、設(shè)向量a, b滿足a 1,|b| 2, a (a 2b),則2a b的值為 r8、已知向量a、b滿足a 1, |b| 4 ,則|a b |的最大值是 最小值是題型12、結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標uururn1 .已知O是坐標原點，點 A在第二象限，|OA| 2, xOA 150°,求OA的坐標。uuruuu 一2 .已知O是原點，點A在第一象限，|OA| 4J3, xOA 60°,求OA的坐標。 r rrr五、平行與垂直知識點：

18、a/babx1y2x2y1；題型13：向量共線問題1、已知平面向量a (2,3x),平面向量b ( 2, 18),若a /b,則實數(shù)x2、設(shè)向量a(2,1) ,b(2若向量ab與向量c ( 4, 7)共線，則3、已知向量 a (1,1),b (2, X)若 a 4b2a平行，則實數(shù)x的值是(A. -2 B. 0C. 1D. 2uuuuuu練習(xí)：設(shè) PA (k,12),PBurnr(4,5), PC (10,k),則 k=時，A,B,C共線5、已知a,b不共線，cka b,d a b ,如果 c / d ,那么 k=1與5的方向關(guān)系是r rr練習(xí)：已知 a (1,1),b (4,x), urr

19、rrr r ra2b , v2ab,且 u/v,則 x=6、已知向量a (1,2) ,b (2, m),且 a /b,貝U 2a 3b題型14、向量的垂直問題1、已知向量a (x,1) ,b (3,6)且a b,則實數(shù)x的值為2、已知向量 a (1, n) ,b ( 1, n),若 2a bWb直，則 a 練習(xí)：已知a= (1, 2), b = (-3, 2)若ka+2b與2a-4b垂直，求實數(shù) k的值3、已知單位向量 m和n的夾角為一，求證：(2n m) m34、a(3,1),b (1,3),c(k,2),若(a c)b,則 k 練習(xí)：a (1,2),b (2, 3),若向量c滿足于(c岳/

20、b, c ( b),則c 5、以原點。和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB , B 90 ,則點B的坐標是 r題型15、b在a上的投影 為|b|cos ,它是一個 實數(shù)，但不一定大于0。1、已知| a | 3 , | b | 5,且a b 12,則向量a在向量b上的投影為r rr r2、已知a 8, e是單位向量，當它們之間的夾角為一時，a在e方向上的投影為 3練習(xí)：已知日5, b 4, a與b的夾角2一,則向量b在向量a上的投影為 題型16、三點共線問題1 .已知 A(0, 2), B(2,2), C(3,4),求證：A,B,C 三點共線。uuu. 2 rruuurrr uuur

21、rr2 .設(shè) AB(a5b), BC2a8b,CD3(ab),求證：A B、D 三點共線。2uurrr uuir r r uuinrr練習(xí)：已知ABa2b, BC5a6b,CD7a2b,則一定共線的三點是 。3 .已知A(1, 3), B(8, 1),若點C(2a 1,a 2)在直線AB上，求a的值。uuu uuu uuur4 .已知四個點的坐標 O(0,0), A(3,4), B( 1,2), C(1,1),是否存在常數(shù)t,使OA tOB OC成立？5：e1,1是平面內(nèi)不共線兩向量，已知abe1ke2,cb25e2,cd35e2,若A, B, D三點共線，則k=6: /設(shè)O是直線l外一定點，

22、A、B、C在直線l上，且 oB 3OA xoC , x =7：設(shè)a, b是兩個不共線向量，若 a與b起點相同，t/R, t=時，a , tb ,1 (a + b )三向量的終點在一條直線上。38:如圖，在AABC中，點。是BC的中點，過點 O的直線分別交直線 AB、AC于不同的兩點 M、N ,若AB = mAM , AC= nAN ,則m + n的值為.9:在AOAB的邊OA, OB上分別取點 M, N,使|oM| OA|= 1 §, |ON| 我而|=1A4,設(shè)線段 AN與BM交于點 P,記OA = a, OB=b,用a, b表示向量OP.練習(xí)：如圖，在 AOAB 中，(Oc =

23、4(Oa, OD = 2(OB, AD 與 BC 交于點 M,設(shè) OA = a, OB=b.(1)用 a、b 表示 OM ;(2)已知在線段 AC上取一點E,在線段BD上取一點F,使EF過M點，設(shè)OE = pOA , OF = qOB,求證:3_7q=1.六、線段的定比分點：urnruuir1 .定比分點的概念：設(shè)點P是直線P1P2上異于P-P2的任意一點，若存在一個實數(shù)，使PPPF2,uuuruuur則 叫做點P分有向線段PP2所成的比，P點叫做有向線段 P1P2的以定比為的定比分點；2 .的符號與分點 P的位置之間的關(guān)系：當P點在線段 P1P2上時 >0；當P點在線段 P1P2的延長

24、線上時 <1；當P點在線段P2 Pl的延長線上時10；uuu3uuu例1、若點P分AB所成的比為3 ,則A分BP所成的比為4uuuuu3.線段的定比分點公式：設(shè)P（xi,yi）、P2（X2,y2）,P（x, y）分有向線段P1P2所成的比為X，則yXiX2iyiy2i特別地，當 =1時，就得到線段P1P2的中點公式y(tǒng)XiX22yiy2 °2題型i7、定比分點 i2、若 M （-3,-2）, N （6, -i）,且 MPMN,則點 P 的坐標為3iuuuuuiuir3、已知A（a,0）, B（3,2 a）,直線y -aX與線段AB交于M ,且AM 2MB ,則a等于r.七、平移公

25、式：如果點P（X,y）按向量a h,k平移至P（X,y）,則X X h ；曲線f （x, y） 0按向量 y y kra h,k平移得曲線f （x h, y k） 0.注意：（i）函數(shù)按向量平移與平常左加右減”有何聯(lián)系？（2）向量平移具有坐標不變性，題型i8、平移rri、按向量a把（2, 3）平移到（i, 2）,則按向量a把點（7,2）平移到點 2、函數(shù)y sin 2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是y cos2x i,則a =八、向量中一些常用的結(jié)論：（1） 一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用;r（2） |a|r r r r rr rr|b|a b| |a| |b|

26、,特別地，當& b同向或有0r r r r|a b| |a| |b|r r r r r r rr r r r r|a| |b| |a b| ；當 a、b 反向或有0 |a b| |a| |b|a| |b| |a b| |a| |b |（這些和實數(shù)比較類似）.r r r r , r r 八八|a| |b| |a b| ；當 a、b 不共線（3）在 ABC 中，A x1，y1，B x2,y2 ,C x3, y3,則其重心的坐標為XiX2X3 yiy2y33,31、若 ABC的三邊的中點分別為（2, 1）、（-3, 4）、（-1, -1）,則 4ABC 的重心的坐標為 uuurd uuu u

27、ur uiur PG PA PB PC）uuu uuu uuir rG為ABC的重心，特別地PA PB PC 0 P為ABC的重心;uuur uuuPC PAP為ABC的垂心;uuu uur uur uuu PA PB PB PCuuu uur向量(_ABL -AC)(0)所在直線過 ABC的內(nèi)心(是 BAC的角平分線所在直線)；|AB| |AC|uuu uur uuur uuu urn uuu rP ABC的內(nèi)心;|AB|PC |BC|PA |CA|PB 0uurMP，點M為平面內(nèi)的任一點，則uuur(3)若P分有向線段PP2所成的比為uuur uuuu中點能0I呼；2uuur uuurMP

28、MP2，特別地P為PP2的1uur uuu uuir(4)向量PA、PR PC中三終點 A B、C共線存在實數(shù)uuruuruur使得PAPBPC且1.如2、平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A(3,1) , B( 1,3)，若點C滿足OC i OA 2 OB淇中1, 2 R且121,則點C的軌跡是題型19、判斷多邊形的形狀uuu r uuur"AB 3e, CDr uur uur5e,且|AD| | BC |,則四邊形的形狀是2.已知 A(1,0),B(4,3) , C(2,4), D(0,2),證明四邊形 ABCD是梯形。3.已知 A( 2,1), B(6, 3), C(0,

29、5),求證:ABC是直角三角形。4、在 / ABC 中，若 BA BA AB CB0 ，則/ ABC的形狀為A.等腰三角形B.等邊三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形5、在平面直角坐標系內(nèi),ABC是等腰直角三角形。uuruuruuurOA ( 1,8),OB ( 4,1),OC (1,3),求證:6、平面四邊形 ABCD中，AB a, BCb, CD c, DA d ,且a b bc cd da,判斷四邊形 ABCD的形狀.題型20:三角形四心uuv uuv uuuv v1、已知 ABC的三個頂點A、B、C及 ABC所在平面內(nèi)的一點 P,若PA PB PC 0則點P是ABC的 ()A.重心B

30、.垂心 C.內(nèi)心 D.外心uur uuu uiruuuru uuruuui2.已知點O是三角形所在平面上一點，若 OAOB OBOC OCOA則O是三角形ABC的()(A)內(nèi)心(B)外心重心(D)垂心3、已知點O是三角形所在平面上一點，若uuu2 uu 2 uur 2OA OB OC ,則O是三角形 ABC的(A)內(nèi)心(B)外心(C)重心(D)垂心練習(xí)、已知 O , N ,P在 ABC所在平且OAOBOC , NANBPA?PB PB?PCPC ? PA ,則點 O,N,P依次是ABC 的()(A)重心外心垂心(B)重心夕卜心內(nèi)心(C)外心重心垂心(D)夕卜心重心內(nèi)心4、/在平面內(nèi)有ABC和點

31、O,uuuurAB (OAuurOB)uuuACuur uur(OC OA)ABC的A.重心B.垂心C.內(nèi)心D.夕卜心5、已知點O是平面上一個定點,A、B、C是平面內(nèi)不共線三點,uuir動點P滿足OPuurOAuur (ABuurAC), R ,則動點P 一定通過 ABC的(A)內(nèi)心(B)外心(C)重心(D)垂心6、已知點O是平面上一個定點， A、B、C是平面內(nèi)不共線三點,uur動點P滿足OPuurOAuur uurAB ACuuir +-uutFI AB|AC|R ,則動點P 一定通過 ABC的(A)內(nèi)心(B)外心(C)重心(D)垂心7、已知點O是平面上一個定點,A、 B、C是平面內(nèi)不共線八、5uuu滿足OPuurrO