第2講相關(guān)性、最小二乘估計與統(tǒng)計案例

1、第2講 相關(guān)性、最小二乘估計與統(tǒng)計案例一、選擇題1在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)(n2，x1，x2，xn不全相等)的散點圖中，若所有樣本點(xi，yi)(i1,2，n)都在直線yx1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為()A1 B0 C. D1答案D2已知x，y取值如下表：x014568y1.31.85.66.17.49.3從所得的散點圖分析可知：y與x線性相關(guān)，且0.95xa，則a()A1.30 B1.45 C1.65 D1.80解析依題意得，×(014568)4，×(1.31.85.66.17.49.3)5.25.又直線0.95xa必過樣本中

2、心點(，)，即點(4,5.25)，于是有5.250.95×4a，由此解得a1.45，選B.答案B3. 設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)是變量x和y的n個樣本點，直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖)，以下結(jié)論正確的是 ()A直線l過點(，)Bx和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率Cx和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間D當(dāng)n為偶數(shù)時，分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同解析由樣本的中心(，)落在回歸直線上可知A正確；x和y的相關(guān)系數(shù)表示為x與y之間的線性相關(guān)程度，不表示直線l的斜率，故B錯；x和y的相關(guān)系數(shù)應(yīng)在1到1之間，故C錯；分布在回歸直線兩側(cè)的樣本點的個數(shù)并不

3、絕對平均，即無論樣本點個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，故D錯答案A4某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程x中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為 ()A63.6萬元 B65.5萬元C67.7萬元 D72.0萬元解析3.5(萬元)，42(萬元)，429.4×3.59.1，回歸方程為9.4x9.1，當(dāng)x6(萬元)時，9.4×69.165.5(萬元)答案B5為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機抽取5對父子的身高數(shù)據(jù)如下：父親身高x/cm174176176176178兒子身高y/cm1751

4、75176177177則y對x的線性回歸方程為 ()Ayx1 Byx1Cy88x Dy176解析由題意得176(cm)，176(cm)，由于(，)一定滿足線性回歸方程，經(jīng)驗證知選C.答案C6下列說法：將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差恒不變；設(shè)有一個回歸方程35x，變量x增加一個單位時，y平均增加5個單位；線性回歸方程x必過(，)；在一個2×2列聯(lián)表中，由計算得213.079，則有99%以上的把握認為這兩個變量間有關(guān)系其中錯誤的個數(shù)是 ()A0 B1 C2 D3解析只有錯誤，應(yīng)該是y平均減少5個單位答案B二、填空題7已知施化肥量x與水稻產(chǎn)量y的試驗數(shù)據(jù)如下表，則變量

5、x與變量y是_相關(guān)(填“正”或“負”).施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455解析因為散點圖能直觀地反映兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系，所以畫出散點圖如圖所示：通過觀察圖象可知變量x與變量y是正相關(guān) 答案正8考古學(xué)家通過始祖鳥化石標(biāo)本發(fā)現(xiàn)：其股骨長度x(cm)與肱骨長度y(cm)的線性回歸方程為1.197x3.660，由此估計，當(dāng)股骨長度為50 cm時，肱骨長度的估計值為_ cm.解析根據(jù)線性回歸方程1.197x3.660，將x50代入得y56.19，則肱骨長度的估計值為56.19 cm.答案56.199為了判斷高中三年級學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)

6、系，現(xiàn)隨機抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科男1310女72024.844.則認為選修文科與性別有關(guān)系的可能性約為_解析24.844，這表明小概率事件發(fā)生根據(jù)假設(shè)檢驗的基本原理，應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷正確的可能性約為95%.答案95%10某數(shù)學(xué)老師身高176 cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173 cm、170 cm和182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測他孫子的身高為_ cm.解析由題意父親身高x cm與兒子身高y cm對應(yīng)關(guān)系如下表：x173170176y170176182則173，176，(

7、xi)(yi)(173173)×(170176)(170173)×(176176)(176173)(182176)18，(xi)2(173173)2(170173)2(176173)218.1. 1761733.線性回歸直線方程xx3.可估計孫子身高為1823185(cm)答案185三、解答題11某班主任對全班50名學(xué)生進行了作業(yè)量多少的調(diào)查數(shù)據(jù)如下表：認為作業(yè)多認為作業(yè)不多合計喜歡玩游戲189不喜歡玩游戲815合計(1)請完善上表中所缺的有關(guān)數(shù)據(jù)；(2)試通過計算說明有多大把握認為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關(guān)系？解(1)認為作業(yè)多認為作業(yè)不多合計喜歡玩游戲18927不喜歡

8、玩游戲81523合計262450(2)將表中的數(shù)據(jù)代入公式25.059>3.841，即說明有95%以上的把握認為喜歡玩游戲與作業(yè)量的多少有關(guān)系12下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對照數(shù)據(jù).x3456y2.5344.5(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程x；(3)已知該廠技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？(參考數(shù)值：3×2.54×35

9、15;46×4.566.5)解(1)由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點圖如圖所示(2)由對照數(shù)據(jù)，計算得：86，4.5(噸)，3.5(噸)已知iyi66.5，所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為：0.7，3.50.7×4.50.35.因此，所求的線性回歸方程為y0.7x0.35.(3)由(2)的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗，得降低的生產(chǎn)能耗為：90(0.7×1000.35)19.65(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)13 某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中

10、的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日溫差x/101113128發(fā)芽數(shù)y/顆2325302616該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率；(2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程ybxa.解(1)設(shè)抽到不相鄰兩組數(shù)據(jù)為事件A，因為從5組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況，每種情況都是等可能出現(xiàn)的，其中抽到相鄰兩組數(shù)據(jù)的情況有4種，所以P(A)1.(2)由數(shù)據(jù)，求得12

11、，27.11×2513×3012×26977，112132122434，由公式，求得b，ab 3.所以y關(guān)于x的線性回歸方程為yx3.14有甲、乙兩個班級進行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯(lián)表.優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10乙班30合計105已知從全部105人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為.(1)請完成上面的列聯(lián)表；(2)根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能否認為“成績與班級有關(guān)系”；(3)若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生中抽取一人：把甲班優(yōu)秀的10名學(xué)生從2到11進行編號，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點數(shù)之和為被抽取人的序號試求抽到6號或10號的概率解(1)優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班104555乙班203050合計3075105(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到26.109