高考全國卷Ⅰ文科數學解析幾何匯編

1、新課標全國卷文科數學匯編解 析 幾 何一、選擇題【2020， 5】已知f是雙曲線22:13ycx的右焦點，p是c上一點，且pf與x軸垂直，點a的坐標是(1,3)， 則apf的面積為（）a13b12c23d32【解法】選d由2224cab得2c， 所以(2,0)f， 將2x代入2213yx， 得3y， 所以3pf， 又 a 的坐標是 (1,3)， 故 apf 的面積為133 (21)22， 選 d【2020， 12】設 a、b 是橢圓 c：2213xym長軸的兩個端點，若 c 上存在點m 滿足 amb =120 ， 則m 的取值范圍是( ) a(0,19,)ub(0,39,)uc(0,14,)u

2、d(0,34,)u【解法】選a圖 1 圖 2 解法一：設ef、是橢圓 c 短軸的兩個端點，易知當點m是橢圓 c 短軸的端點時amb最大， 依題意只需使0120aeb1當 03m時， 如圖 1，03tantan6032aebabm， 解得1m， 故 01m；2 當3m時， 如圖 2，0tantan60323aebamb， 解得9m綜上可知，m的取值范圍是(0,19,)u， 故選 a解法二：設ef、是橢圓 c 短軸的兩個端點，易知當點m是橢圓 c 短軸的端點時amb最大， 依題意只需使0120aeb1當 03m時， 如圖 1，01cos,cos1202ea ebuuu r u uu r， 即12e

3、a ebea ebuu u ruu u ru u u r uuu r，帶入向量坐標，解得1m， 故 01m；2 當3m時， 如圖 2，01cos,cos1202ea ebuu u r u uu r， 即12ea ebea ebuu u ruu u ru u u r uuu r，帶入向量坐標，解得9m綜上可知，m的取值范圍是(0,19,)u， 故選 a【2016， 5】直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的14， 則該橢圓的離心率為（）a13b12c23d34解析：選 b 由等面積法可得1112224bcab， 故12ca， 從而12cea故選 b【2015， 5】

4、已知橢圓e 的中心為坐標原點，離心率為12， e 的右焦點與拋物線c: y2=8x， 的焦點重合，a,b 是 c 的準線與e 的兩個交點，則|ab|=( ) a3 b 6 c9 d12 解：選b拋物線的焦點為(2,0)， 準線為x=-2， 所以 c=2， 從而 a=4， 所以 b2=12， 所以橢圓方程為2211612xy， 將 x=-2 代入解得 y= 3， 所以 |ab|=6， 故選 b 【2014， 10】10已知拋物線c：y2=x 的焦點為f， a(x0,y0)是 c 上一點，|af|=054x， 則 x0=( )a a1 b2 c4 d8 解：根據拋物線的定義可知|af|=00154

5、4xx， 解之得 x0=1 故選 a 【2014， 4】4已知雙曲線)0(13222ayax的離心率為2， 則 a= ( ) d a2 b26c25d1 解：2222232cabaeaaa， 解得 a=1， 故選 d 【2013， 4】已知雙曲線c：2222=1xyab(a0， b0)的離心率為52， 則 c 的漸近線方程為()ay14xby13xc y12xdy x解析：選c52e， 52ca， 即2254ca c2a2b2， 2214ba12ba雙曲線的漸近線方程為byxa， 漸近線方程為12yx故選 c【2013， 8】o 為坐標原點，f 為拋物線c： y24 2x的焦點， p 為 c

6、上一點， 若|pf|4 2， 則 pof的面積為 ()a2 b2 2c2 3d4 答案： c 解析：利用 |pf|24 2px， 可得 xp3 2， yp26 spof12|of| |yp|2 3故選 c【2012， 4】4設1f、2f是橢圓 e：2222xyab（0ab）的左、右焦點，p 為直線32ax上一點，21f pf是底角為30 的等腰三角形，則 e 的離心率為（）a12b23c34d45【解析】如圖所示，21f pf是等腰三角形，212130f f pf pf，212| |2f pf fc，260pf q，230f pq，2|f qc，又23|2af qc， 所以32acc， 解得3

7、4ca， 因此34cea， 故選擇 c【2012， 10】10等軸雙曲線c 的中心在原點，焦點在x軸上，c 與拋物線216yx的準線交于a， b兩點，| 4 3ab， 則 c 的實軸長為（）a2b2 2c4 d8 【解析】設等軸雙曲線c 的方程為22221xyaa， 即222xya（0a） ，拋物線216yx的準線方程為4x， 聯(lián)立方程2224xyax， 解得2216ya，因為|4 3ab， 所以222|(2 |)448abyy， 從而212y， 所以21612a，24a，2a， 因此 c 的實軸長為24a， 故選擇 c【2011， 4】橢圓221168xy的離心率為（）a13b12c33d2

8、2【解析】選 d因為221168xy中，2216,8ab，所以2228cab， 所以2 2242cea【2011， 9】已知直線l過拋物線的焦點，且與c的對稱軸垂直，l與c交于a，b兩點，12ab，p為c的準線上一點，則abp的面積為（）a18b24c36d48【解析】不妨設拋物線的標準方程為220ypx p， 由于l垂直于對稱軸且過焦點，故直線l的方程為2px代入22ypx得yp， 即2abp， 又12ab， 故6p， 所以拋物線的準線方程為3x， 故16 12362abps故選 c二、填空題【2016， 15】設直線2yxa與圓22:220cxyay相交于,a b兩點， 若2 3ab， 則

9、圓c的面積為解析：4由題意直線即為20 xya， 圓的標準方程為2222xyaa，所以圓心到直線的距離2ad， 所以22222aaba2222 32a，故2224ar， 所以24sr故填4【2015， 16】已知 f 是雙曲線c:2218yx的右焦點，p 是 c 左支上一點，(0,66)a， 當 apf 周長最小時，該三角形的面積為解：12 6 a=1，b2=8， c=3，f(3,0) 設雙曲線的的左焦點為f1， 由雙曲線定義知|pf|= 2+|pf1|， apf 的周長為 |p a|+ |pf|+|af|=|pa|+|af|+|pf1|+ 2， 由于 |af|是定值，只要 |pa|+|pf1

10、|最小，即 a,p,f1共線，(0,66)a， f1(-3,0)， 直線af1的方程為136 6xy， 聯(lián)立8x2-y2=8 消去x 整理得y2+6 6y-96=0， 解得 y=2 6或 y=8 6(舍去 )， 此時 s apf=s aff 1-s pff13 (662 6)12 6三、解答題【2020， 20】設 a， b 為曲線 c：42xy上兩點，a 與 b 的橫坐標之和為4（1）求直線ab的斜率；（2） 設 m 為曲線 c 上一點， c 在 m 處的切線與直線ab平行， 且bmam， 求直線 ab 的方程解析：第一問： 【解法 1】設1122(,),(,)a x yb xy,ab 直線

11、的斜率為k， 又因為 a,b 都在曲線c 上， 所以4/211xy4/222xy-得2221122121()()44xxxxxxyy由已知條件124xx所以，21211yyxx即直線 ab的斜率 k=1【解法 2】設),(),(2211yxbyxa,ab 直線的方程為y=kx+b, 所以4/2xybkxy整理得：,4, 044212kxxbkxx且421xx所以 k=1 第二問：設00(,)m xy所以200/ 4yx又12yx所以00011,2,12kxxy所以 m（2,1） ，11(2,1)maxy，22(2,1)mbxy， 且ambm，0am bmg即05)()(221212121yyy

12、yxxxx， 設 ab 直線的方程為yxb，,4/2xybxy化簡得0442bxx， 所以2212121,24,4byybyybxx由得0772bb所以 b=7 或者 b=-1(舍去 ) 所以 ab 直線的方程為y=x+7 【2016，20】在直角坐標系xoy中，直線:(0)lyt t交y軸于點m，交拋物線2:2(0)cypx p于點p，m關于點p的對稱點為n， 連結on并延長交c于點h（1）求ohon；（ 2）除h以外，直線mh與c是否有其他公共點？請說明理由解析（1）如圖 ，由題意不妨設0t，可知點,m p n的坐標分別為0,mt，2,2tptp，2,nttp，hnpmoyx從而可得直線o

13、n的方程為yxpt， 聯(lián)立方程22pxtypxy， 解得22xtp，2yt即點h的坐標為22,2ttp， 從而由三角形相似可知22hnohytonyt（2）由于0,mt，22,2thtp， 可得直線mh的方程為22tytxtp，整理得2220typxt， 聯(lián)立方程222202tyypxtpx， 整理得22440tyyt，則2216160tt， 從而可知mh和c只有一個公共點h【2015， 20】已知過點 a(0, 1)且斜率為 k的直線 l與圓c：(x-2)2+(y-3)2=1交于m,n兩點. ()求k的取值范圍；()uuuu r uuu rom on =12， 其中o為坐標原點，求|mn|.

14、 解：()依題可設直線 l的方程為 y=kx+1， 則圓心 c(2,3)到的l距離2|231|11kdk. 解得474733k-+. 所以k的取值范圍是4747(,)33. ()將y=kx+1代入圓c的方程整理得 (k2+1)x2-4(k+1)x+7=0. 設m(x1, y1),n(x2, y2)， 則1212224(1)7,.11kxxx xkk所以uuuu r uuu rom on =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+k (x1+x2)+1 24 ( +1)8+1k kk=12， 解得k=1 =1k， 所以l的方程為 y=x+1. 故圓心在直

15、線 l上， 所以|mn|=2. 【 2013， 21 】已知圓 m：(x1)2y21，圓n：(x1)2y29，動圓 p與圓 m外切并且與圓n內切，圓心 p的軌跡為曲線 c. (1)求c的方程；(2)l是與圓 p， 圓 m都相切的一條直線，l與曲線 c交于 a， b兩點，當圓 p的半徑最長時，求 |ab|. 解：由已知得圓m 的圓心為m(1,0)， 半徑 r1 1；圓 n 的圓心為n(1,0)， 半徑 r2 3.設圓 p 的圓心為 p(x， y)， 半徑為 r. (1)因為圓 p 與圓 m 外切并且與圓n 內切，所以 |pm|pn|(r r1)(r2r)r1r2 4. 由橢圓的定義可知，曲線 c

16、 是以 m， n 為左、右焦點，長半軸長為2， 短半軸長為3的橢圓 (左頂點除外 )， 其方程為22=143xy(x2)(2)對于曲線c 上任意一點p(x， y)， 由于 |pm|pn|2r2 2，所以 r2， 當且僅當圓p 的圓心為 (2,0)時， r2. 所以當圓p 的半徑最長時，其方程為 (x2)2y24. 若 l 的傾斜角為90 ， 則 l 與 y軸重合，可得 |ab|2 3. 若 l 的傾斜角不為90 ， 由 r1 r 知 l 不平行于 x 軸， 設 l 與 x 軸的交點為q， 則1|qprqmr， 可求得 q(4,0)， 所以可設l：yk(x4)由 l 與圓 m 相切得2|3 |1

17、kk1， 解得 k24. 當 k24時， 將224yx代入22=143xy，并整理得7x28x80，解得 x1,246 27，所以 |ab|21k|x2x1|187. 當 k24時， 由圖形的對稱性可知|ab|187. 綜上，|ab|2 3或 |ab|187. 【2011， 20】在平面直角坐標系xoy中， 曲線261yxx與坐標軸的交點都在圓c上（1）求圓c的方程；（ 2）若圓c與直線0 xya交于a，b兩點， 且oaob，求a的值【解析】（ 1）曲線261yxx與y軸的交點為(0,1)， 與x軸的交點為322,0 ,32 2,0故可設c的圓心為3,t，則有2222312 2tt，解得1t則

18、圓c的半徑為22313t， 所以圓c的方程為22319xy（2）設11,a x y，22,b xy， 其坐標滿足方程組220,319.xyaxy消去y， 得方程22228210 xaxaa由已知可得，判別式2561640aa， 因此21,28256 1644aaax，從而124xxa，212212aax x由于oaob， 可得12120 x xy y又11yxa，22yxa所以212122()0 x xa xxa由得1a， 滿足0， 故1a【2012， 20】設拋物線c：pyx22（0p）的焦點為f， 準線為l， a 為 c上一點，已知以 f為圓心，fa為半徑的圓f交l于 b， d 兩點。（1）若 bfd =90，abd 的面積為24， 求p的