方差協(xié)方差矩陣中文翻譯

1、第二部分：投資組合模型第10章 ：計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣10.1 本章概述 要計(jì)算有效投資組合，必須要計(jì)算收益數(shù)據(jù)的方差-協(xié)方差矩陣。本章中，我們將在EXCEL中實(shí)現(xiàn)這個(gè)計(jì)算。其中最顯而易見的是計(jì)算樣本的方差協(xié)方差矩陣。這是直接由歷史收益計(jì)算而得來的矩陣。我們介紹幾種計(jì)算方差-協(xié)方差的方法，包括在電子表格中使用超額收益矩陣直接計(jì)算。 即使樣本的方差-協(xié)方差矩陣看起來像一個(gè)明顯的選擇，但我們用大量的文字說明它也許不是方差和協(xié)方差最好的估計(jì)。樣本的方差協(xié)方差矩陣有兩個(gè)明顯的缺陷：一是它常使用不現(xiàn)實(shí)的參數(shù)，二是它難以用于預(yù)測(cè)。這些將在10.5和10.6中討論。作為樣本矩陣的替換，第10.9和第10.1

2、0節(jié)將討論用于優(yōu)化方差協(xié)方差陣估計(jì)得壓縮方法。10.2 計(jì)算樣本的方差-協(xié)方差矩陣 假設(shè)我們有N個(gè)資產(chǎn)在M期上的收益數(shù)據(jù)。我們可以將資產(chǎn)i在時(shí)間t的收益寫為rit。資產(chǎn)i的平均收益寫為。那么資產(chǎn)i和資產(chǎn)j收益協(xié)方差的計(jì)算就為 這些協(xié)方差的矩陣為樣本的方差-協(xié)方差矩陣。我們的問題就是要有效地計(jì)算這些協(xié)方差。定義超額收益矩陣為：A的每一列減去每項(xiàng)資產(chǎn)的平均收益，該矩陣的轉(zhuǎn)置為AT乘以A再除以M-1得到樣本的方差-協(xié)方差矩陣 考慮到計(jì)算方面，我們使用股票數(shù)N=6，年數(shù)M=11的年收益數(shù)據(jù)，下面的電子表記錄了價(jià)格數(shù)據(jù)（股利調(diào)整后）及計(jì)算出的收益。 我們用數(shù)字例子來說明計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣的矩陣方法。我

3、們通過減去資產(chǎn)各自的平均收益，得到超額收益矩陣（下面的表格中42到52行）在第55-61行中我們計(jì)算樣本方差-協(xié)方差矩陣。10.2.1一個(gè)稍微更有效率的替代方法 正如你所期望的那樣，的確存在其他計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣的可選方法。這里講的方法跳過了超額收益的計(jì)算，并且直接使用單元格B71:B76中的公式進(jìn)行計(jì)算。他通過使用數(shù)組函數(shù)=MMULT(TRANSPOSE(B23:G33-B35:G35),B23:G33-B35:G35)/10.通過寫B(tài)23:G33-B35,我們直接將每項(xiàng)收益減去平均收益得到超額收益向量。10.3我們應(yīng)該是除以M還是M-1?EXCEL與統(tǒng)計(jì)量 在前面的計(jì)算中，我們是除以M-

4、1而不是M，一次得到無偏的方差-協(xié)方差估計(jì)。不過這個(gè)選擇似乎沒有多大的影響。我們引用主流教材:對(duì)于為什么除以M-1取代M這兒有一段很長的歷史。如果你在計(jì)算一個(gè)分布的方差時(shí)，這個(gè)分布存在已知的先驗(yàn)的均值，而不需要從歷史數(shù)據(jù)估計(jì)的時(shí)候，那么M-1應(yīng)該變回M EXCEL本身某些程度上除以M-1還是M這個(gè)問題上也是很混亂的。在下面的表格中我們介紹了幾種計(jì)算均值，方差，標(biāo)準(zhǔn)差和協(xié)方差的方法。 EXCEL區(qū)分總體方差（Varp, 除以M），樣本方差（Var,除以M-1)，以及總體和樣本標(biāo)準(zhǔn)差（分別為Stdevp和Stdev).但是EXCEL并沒有在協(xié)方差函數(shù)中作此區(qū)別。你可以看到單元格B30中Covar除

5、以M，和VARP 一樣。如果你想得到一個(gè)相應(yīng)的除以M-1的協(xié)方差函數(shù)，那么你得像單元格B33那樣用COVAR乘以M/M-1,或者你需要使用像單元格B32那樣的數(shù)組函數(shù)=MMULT(TRANSPOSE(B3:B13-B16),C3:C13-C16)/10，如果EXCEL是完全合理的，他應(yīng)該有兩個(gè)函數(shù)：covarp,它除以M，以及covar,它除以M-1（對(duì)應(yīng)VAR或STDEV) 困惑了嗎？沒關(guān)系！正如本部分開始的教科書引用指出的那樣，他不是一個(gè)至關(guān)重要的問題。 10.4 計(jì)算全局最小方差投資組合 方差-協(xié)方差矩陣兩個(gè)最突出的作用是用于尋找全局最小方差投資組合（GMVP)和有效投資組合。這兩種方法

6、均揭示了使用樣本數(shù)據(jù)所產(chǎn)生的問題，第10.7-10.10節(jié)為我們做了必要的介紹，討論替代樣本方差-協(xié)方差矩陣的方法，本節(jié)中我們討論GMVP。 假設(shè)我們有N個(gè)資產(chǎn)，它有方差-協(xié)方差矩陣S。GMVP即在所有可行的投資組合中擁有最小方差的投資組合.最小方差投資組合定義為： 這個(gè)公式是由MERTON提出的。最小方差投資組合特別吸引人的地方在于它是有效前沿上的唯一的投資組合，計(jì)算時(shí)不需要資產(chǎn)的期望收益，該最小方差投資組合的均值和方差分別為以下是這些公式在特定例子中的實(shí)施。 應(yīng)注意，以上6只股票的GMVP包含兩個(gè)空頭（BA和MSFT）且在GE及IBM上有一個(gè)非常大的正向頭寸。這是一個(gè)潛在的不主張使用樣本方

7、差-協(xié)方差矩陣計(jì)算GMVP的例子，一個(gè)尋找最小方差的投資者是不會(huì)將77%的BA和10%的MSFT的賣空所得資金，投放到投資組合的61%的GE和100%的IBM上去的。這些用樣本方差-協(xié)方差矩陣計(jì)算產(chǎn)生的不合理的投資組合使得我們必須尋找各種其他方法來計(jì)算該矩陣，它們將在第10.7-10.9節(jié)中討論。但在進(jìn)入這些主題之前，我們還是先討論有效投資組合的計(jì)算。10.5計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣 在接下來的電子表格中我們給出了相關(guān)系數(shù)矩陣。在調(diào)查期內(nèi)，最大的相關(guān)系數(shù)（通用汽車公司和波音公司）之間為0.89，檢查該矩陣顯示 一些非常大且不像真實(shí)的相關(guān)系數(shù)，有6個(gè)相關(guān)系數(shù)大于0.5.這是難以置信的，最小的相關(guān)系數(shù)（波

8、音公司和家樂氏公司）為-0.1，這也許也是個(gè)問題，當(dāng)波音公司的收益上升時(shí)，谷類食品銷量會(huì)下降？10.7樣本方差-協(xié)方差矩陣的替代方法：單指數(shù)模型 樣本方差協(xié)方差矩陣很容易由歷史數(shù)據(jù)計(jì)算得到，但是正如上一節(jié)所討論那樣一-它有它自身的問題。特別的，樣本方差-協(xié)方差矩陣會(huì)使預(yù)測(cè)GMVP變得異常困難，而且用它優(yōu)化投資組合常會(huì)導(dǎo)致不合理的資產(chǎn)頭寸（多頭和空頭都有）。在本節(jié)和下一節(jié)中，我們將用幾種使用樣本矩陣的替代方法，這些方法有兩個(gè)共同的特征：它們不需要考慮方差-它們將從樣本方差中計(jì)算而得。它們改變?cè)摲讲?協(xié)方差矩陣的協(xié)方差元素。10.7.1 單指數(shù)模型(市場(chǎng)模型） 單指數(shù)模型（SIM）的初衷為試圖簡化

9、計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣計(jì)算的復(fù)雜性。模型的基本假定是每個(gè)資產(chǎn)的收益是市場(chǎng)指數(shù)x上的線性回歸： 這里和之間的相關(guān)系數(shù)為0.根據(jù)這個(gè)假定，很容易建立下面兩個(gè)式子： 本質(zhì)上SIM假設(shè)包含在協(xié)方差估計(jì)中的變化，而并非樣本方差。我們用我們的6投資組合例子來說明，并在第7例中增加一列標(biāo)普500指數(shù)。每個(gè)資產(chǎn)收益對(duì)標(biāo)普指數(shù)500投資組合作回歸，我們?cè)诘?0行得到值，見下面表格： 使用EXCEL中的數(shù)組函數(shù)，我們可以計(jì)算SIM方差-協(xié)方差函數(shù)。這個(gè)數(shù)組函數(shù)需要被單獨(dú)提取出來：1. 它包含了一個(gè)IF函數(shù)，我們知道它包含三個(gè)部分：IF（codition,answer if conditon is ture,answ

10、er if conditon is false).2. 條件B24：G24=A25:A30表示在行向量B24:G24的“跨越輸入”是和列向量A25:A30的輸入相等。為了讓大家更清楚地看到這個(gè)條件，我們?cè)谙旅娴碾娮颖砀裰胁迦肓斯剑梢园l(fā)現(xiàn)它生成了一個(gè)對(duì)角線上為1，而其余為0 的電子表格： 首先，在我們的SIM方差協(xié)方差矩陣中的第一次IF條件為IF(B24:G24=A25:A30,B18:G18.)這說明了假如我們?cè)趯?duì)角線上，我們應(yīng)該放在資產(chǎn)的收益方差中。其次，IF條件說明當(dāng)不在對(duì)角線上，我們應(yīng)該輸入MMULT(TRANSPOSE(B20:G20),B20:G20)*H18)公式TRANSPO

11、SE(B20:G20),B20:G20)生成一個(gè)矩陣，該公式用的方差乘以該矩陣，在H列給出。10.8 收縮方法 收縮方法是假設(shè)方差協(xié)方差矩陣是樣本協(xié)方差矩陣與其他矩陣的凸集。在下面的例子中“其他矩陣”是一個(gè)僅有方差的對(duì)角陣，其余元素為0，該收縮估計(jì)的（單元格B20） 目前很少理論涉及怎么選擇合適的收縮估計(jì)。我們建議選擇一個(gè)收縮因子使得GMVP所有權(quán)數(shù)均為正。10.10 方差協(xié)方差矩陣的替代方法：對(duì)最小方差投資組合和最優(yōu)投資組合的影響本章給出了不同計(jì)算方差-協(xié)方差矩陣的方法1. 樣本方差-協(xié)方差2. 單指數(shù)模型3.收縮方法我們?nèi)绾伪容^這些可選方法呢？在本節(jié)中用兩個(gè)例子來說明：首先分別用四種方法計(jì)

12、算最小方差投資組合然后分別用四種方法計(jì)算最有投資組合10.10.1 用樣本方差-協(xié)方差計(jì)算最小方差投資組合正如其名，全局最小方差投資組合是可選擇的所有投資組合中給出的最低方差的那一個(gè)。如第10.5所講的，計(jì)算GMVP的公式為這里的S為投資組合的方差-協(xié)方差矩陣，而1則為全為1的列向量在下面的電子表格中，我們將用6只股票的數(shù)據(jù)，使用樣本方差-協(xié)方差矩陣計(jì)算GMVPGMVP的平均收益為12.73%（單元格F17），標(biāo)準(zhǔn)差為7.73%(單元格F19)下面有一個(gè)更為簡潔的計(jì)算方法：這是一個(gè)更簡潔的方法，它借用了數(shù)組函數(shù)來計(jì)算1的向量10.10.2 用替代方差-協(xié)方差矩陣的方法計(jì)算GMVP 在本節(jié)中我們用另外三種計(jì)算方差-協(xié)方差的方法來重復(fù)上