七年級數(shù)學(xué)下冊知識點(diǎn)歸納

1、1 第一章：整式的運(yùn)算單項(xiàng)式整式多項(xiàng)式同底數(shù)冪的乘法冪的乘方積的乘方冪運(yùn)算同底數(shù)冪的除法零指數(shù)冪負(fù)指數(shù)冪整式的加減單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘整式的乘法多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘整式運(yùn)算平方差公式完全平方公式單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式整式的除法多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式一、單項(xiàng)式1、都是數(shù)字與字母的乘積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式。2、單項(xiàng)式的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)。3、單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)。4、單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式。5、只含有字母因式的單項(xiàng)式的系數(shù)是1 或 1。6、單獨(dú)的一個(gè)數(shù)字是單項(xiàng)式，它的系數(shù)是它本身。7、單獨(dú)的一個(gè)非零常數(shù)的次數(shù)是0。8、單項(xiàng)式中只能含有乘法或乘方運(yùn)算，而不能含有加、

2、減等其他運(yùn)算。9、單項(xiàng)式的系數(shù)包括它前面的符號。10、單項(xiàng)式的系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)化成假分?jǐn)?shù)。11、單項(xiàng)式的系數(shù)是1 或 1 時(shí)，通常省略數(shù)字“1” 。12、單項(xiàng)式的次數(shù)僅與字母有關(guān)，與單項(xiàng)式的系數(shù)無關(guān)。二、多項(xiàng)式1、幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。2、多項(xiàng)式中的每一個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)。3、多項(xiàng)式中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。4、一個(gè)多項(xiàng)式有幾項(xiàng)，就叫做幾項(xiàng)式。5、多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括項(xiàng)前面的符號。6、多項(xiàng)式?jīng)]有系數(shù)的概念，但有次數(shù)的概念。7、多項(xiàng)式中次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。三、整式1、單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。2、單項(xiàng)式或多項(xiàng)式都是整式。3、整式不一定是單項(xiàng)式。4、整式不一定是多項(xiàng)

3、式。整式的運(yùn)算2 5、分母中含有字母的代數(shù)式不是整式；而是今后將要學(xué)習(xí)的分式。四、整式的加減1、整式加減的理論根據(jù)是：去括號法則，合并同類項(xiàng)法則，以及乘法分配率。2、幾個(gè)整式相加減，關(guān)鍵是正確地運(yùn)用去括號法則，然后準(zhǔn)確合并同類項(xiàng)。3、幾個(gè)整式相加減的一般步驟：（1）列出代數(shù)式：用括號把每個(gè)整式括起來，再用加減號連接。（2）按去括號法則去括號。（3）合并同類項(xiàng)。4、代數(shù)式求值的一般步驟：（1）代數(shù)式化簡。（2）代入計(jì)算（3）對于某些特殊的代數(shù)式，可采用“整體代入”進(jìn)行計(jì)算。五、同底數(shù)冪的乘法1、 n個(gè)相同因式（或因數(shù)）a 相乘，記作an，讀作 a 的 n 次方（冪），其中 a 為底數(shù)， n 為指

4、數(shù)， an的結(jié)果叫做冪。2、底數(shù)相同的冪叫做同底數(shù)冪。3、同底數(shù)冪乘法的運(yùn)算法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。即：aman=am+n。4、此法則也可以逆用，即：am+n = aman。5、開始底數(shù)不相同的冪的乘法，如果可以化成底數(shù)相同的冪的乘法，先化成同底數(shù)冪再運(yùn)用法則。六、冪的乘方1、冪的乘方是指幾個(gè)相同的冪相乘。（am）n表示 n 個(gè) am相乘。2、冪的乘方運(yùn)算法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。（ am）n =amn。3、此法則也可以逆用，即：amn = （ am）n=（ an）m。七、積的乘方1、積的乘方是指底數(shù)是乘積形式的乘方。2、積的乘方運(yùn)算法則：積的乘方，等于把積中的每個(gè)因

5、式分別乘方，然后把所得的冪相乘。即（ab）n=anbn。3、此法則也可以逆用，即：anbn = （ab）n。八、三種“冪的運(yùn)算法則”異同點(diǎn)1、共同點(diǎn)：（1）法則中的底數(shù)不變，只對指數(shù)做運(yùn)算。（2）法則中的底數(shù)（不為零）和指數(shù)具有普遍性，即可以是數(shù)，也可以是式（單項(xiàng)式或多項(xiàng)式）。（3）對于含有3 個(gè)或 3 個(gè)以上的運(yùn)算，法則仍然成立。2、不同點(diǎn)：（1）同底數(shù)冪相乘是指數(shù)相加。（2）冪的乘方是指數(shù)相乘。（3）積的乘方是每個(gè)因式分別乘方，再將結(jié)果相乘。九、同底數(shù)冪的除法1、同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即：aman=am-n（a 0） 。2、此法則也可以逆用，即：am-n =

6、 aman（a0） 。十、零指數(shù)冪1、零指數(shù)冪的意義：任何不等于0 的數(shù)的 0 次冪都等于1，即： a0=1（a0） 。十一、負(fù)指數(shù)冪1、任何不等于零的數(shù)的p 次冪，等于這個(gè)數(shù)的p 次冪的倒數(shù)，即：1(0)ppaaa注：在同底數(shù)冪的除法、零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪中底數(shù)不為0。十二、整式的乘法3 （一）單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘1、單項(xiàng)式乘法法則：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。2、系數(shù)相乘時(shí)，注意符號。3、相同字母的冪相乘時(shí)，底數(shù)不變，指數(shù)相加。4、對于只在一個(gè)單項(xiàng)式中含有的字母，連同它的指數(shù)一起寫在積里，作為積的因式。5、單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的結(jié)

7、果仍是單項(xiàng)式。6、單項(xiàng)式的乘法法則對于三個(gè)或三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用。（二）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘1、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是根據(jù)分配率用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。即： m(a+b+c)=ma+mb+mc 。2、運(yùn)算時(shí)注意積的符號，多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號。3、積是一個(gè)多項(xiàng)式，其項(xiàng)數(shù)與多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。4、混合運(yùn)算中，注意運(yùn)算順序，結(jié)果有同類項(xiàng)時(shí)要合并同類項(xiàng)，從而得到最簡結(jié)果。（三）多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘1、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。即： (m+n)(a+b)=ma

8、+mb+na+nb。2、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，必須做到不重不漏。相乘時(shí)，要按一定的順序進(jìn)行，即一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)。在未合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)等于兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積。3、多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包含它前面的符號，確定積中每一項(xiàng)的符號時(shí)應(yīng)用“同號得正，異號得負(fù)”。4、運(yùn)算結(jié)果中有同類項(xiàng)的要合并同類項(xiàng)。5 、 對 于 含 有 同 一 個(gè) 字 母 的 一 次 項(xiàng) 系 數(shù) 是1 的 兩 個(gè) 一 次 二 項(xiàng) 式 相 乘 時(shí) ， 可 以 運(yùn) 用 下 面 的 公 式 簡 化 運(yùn) 算 ：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 。十三、平方差公式1、 （a+b）(a-b)=a2-b2，即：

9、兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積，等于它們的平方之差。2、平方差公式中的a、 b可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。3、平方差公式可以逆用，即：a2-b2=（a+b）(a-b) 。4、平方差公式還能簡化兩數(shù)之積的運(yùn)算，解這類題，首先看兩個(gè)數(shù)能否轉(zhuǎn)化成（a+b）?(a-b) 的形式，然后看a2與 b2是否容易計(jì)算。十四、完全平方公式1、222222()2,()2,abaabbabaabb即：兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2 倍。2、公式中的a，b 可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。3、掌握理解完全平方公式的變形公式：（1）22222212()2()2()() abababababab

10、ab（2）22()()4ababab（3）2214()() ababab4、完全平方式：我們把形如:22222,2,aabbaabb的二次三項(xiàng)式稱作完全平方式。5、當(dāng)計(jì)算較大數(shù)的平方時(shí)，利用完全平方公式可以簡化數(shù)的運(yùn)算。6、完全平方公式可以逆用，即：2222222() ,2() .aabbabaabbab4 十五、整式的除法（一）單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則1、單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：一般地，單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式。2、根據(jù)法則可知， 單項(xiàng)式相除與單項(xiàng)式相乘計(jì)算方法類似，也是分成系數(shù)、 相同字母與不相同字母

11、三部分分別進(jìn)行考慮。（二）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則1、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加。用字母表示為：().abcmambmcm2、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，注意多項(xiàng)式各項(xiàng)都包括前面的符號。第二章平行線與相交線余角余角補(bǔ)角補(bǔ)角角兩線相交對頂角同位角三線八角內(nèi)錯(cuò)角同旁內(nèi)角平行線的判定平行線平行線的性質(zhì)尺規(guī)作圖一、平行線與相交線平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。若兩條直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，我們稱這兩條直線為相交線。二、余角與補(bǔ)角1、如果兩個(gè)角的和是直角，那么稱這兩個(gè)角互為余角，簡稱為互余，稱其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角。2、如果兩個(gè)

12、角的和是平角，那么稱這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，簡稱為互補(bǔ)，稱其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角。3、互余和互補(bǔ)是指兩角和為直角或兩角和為平角，它們只與角的度數(shù)有關(guān)，與角的位置無關(guān)。4、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)：同角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等。5、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)用數(shù)學(xué)語言可表示為：（1）00001290 (180 ),1390 (180 ),則23( 同角的余角（或補(bǔ)角）相等) 。（2）00001290 (180 ),3490 (180 ),且14,則23( 等角的余角（或補(bǔ)角）相等)。6、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)是證明兩角相等的一個(gè)重要方法。三、對頂角1、兩條直線相交成四個(gè)角，其中不相鄰的兩個(gè)角是對頂角。2、一

13、個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線，這兩個(gè)角叫做對頂角。平行線與相交線5 3、對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。4、對頂角的性質(zhì)在今后的推理說明中應(yīng)用非常廣泛，它是證明兩個(gè)角相等的依據(jù)及重要橋梁。5、對頂角是從位置上定義的，對頂角一定相等，但相等的角不一定是對頂角。四、垂線及其性質(zhì)1、垂線：兩條直線相交成直角時(shí)，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線。2、垂線的性質(zhì)：性質(zhì) 1：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。性質(zhì) 2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短。五、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角1、兩條直線被第三條直線所截，形成了8 個(gè)角。2、同位角：兩個(gè)角都在兩條直線的同側(cè)，并且在第

14、三條直線（截線）的同旁，這樣的一對角叫做同位角。3、內(nèi)錯(cuò)角：兩個(gè)角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，這樣的一對角叫做內(nèi)錯(cuò)角。4、同旁內(nèi)角：兩個(gè)角都在兩條直線之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，這樣的一對角叫同旁內(nèi)角。5、這三種角只與位置有關(guān)，與大小無關(guān)，通常情況下，它們之間不存在固定的大小關(guān)系。六、六類角1、補(bǔ)角、余角、對頂角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角六類角都是對兩角來說的。2、余角、補(bǔ)角只有數(shù)量上的關(guān)系，與其位置無關(guān)。3、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角只有位置上的關(guān)系，與其數(shù)量無關(guān)。4、對頂角既有數(shù)量關(guān)系，又有位置關(guān)系。七、平行線的判定方法1、同位角相等，兩直線平行。2、內(nèi)錯(cuò)角相

15、等，兩直線平行。3、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。4、在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行。5、在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于第三條直線，那么這兩條直線平行。八、平行線的性質(zhì)1、兩直線平行，同位角相等。2、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。3、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。4、平行線的判定與性質(zhì)具備互逆的特征，其關(guān)系如下：在應(yīng)用時(shí)要正確區(qū)分積極向上的題設(shè)和結(jié)論。九、尺規(guī)作線段和角1、在幾何里，只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖稱為尺規(guī)作圖。2、尺規(guī)作圖是最基本、最常見的作圖方法，通常叫基本作圖。3、尺規(guī)作圖中直尺的功能是：（1）在兩點(diǎn)間連接一條線段；6 （2）將線段向兩方延長。4、尺規(guī)

16、作圖中圓規(guī)的功能是：（1）以任意一點(diǎn)為圓心，任意長為半徑作一個(gè)圓；（2）以任意一點(diǎn)為圓心，任意長為半徑畫一段弧；5、熟練掌握以下作圖語言：（1）作射線；（2）在射線上截取=；（3）在射線上依次截取= =；（4）以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)；（5）分別以點(diǎn)、點(diǎn)為圓心，以、為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)；（6）過點(diǎn)和點(diǎn)畫直線（或畫射線）；（7）在的外部（或內(nèi)部）畫=；6、在作較復(fù)雜圖形時(shí)，涉及基本作圖的地方，不必重復(fù)作圖的詳細(xì)過程，只用一句話概括敘述就可以了。（1）畫線段 =；（2）畫 =；第三章變量之間的關(guān)系自變量變量的概念因變量變量之間的關(guān)系表格法關(guān)系式法變量的表達(dá)方法速度時(shí)間圖象圖象法路程時(shí)間圖

17、象一、變量、自變量、因變量1、在某一變化過程中，不斷變化的量叫做變量。2、如果一個(gè)變量y 隨另一個(gè)變量x 的變化而變化，則把x 叫做自變量， y 叫做因變量。3、自變量與因變量的確定：（1）自變量是先發(fā)生變化的量；因變量是后發(fā)生變化的量。（2）自變量是主動(dòng)發(fā)生變化的量，因變量是隨著自變量的變化而發(fā)生變化的量。（3）利用具體情境來體會(huì)兩者的依存關(guān)系。二、表格1、表格是表達(dá)、反映數(shù)據(jù)的一種重要形式，從中獲取信息、研究不同量之間的關(guān)系。（1）首先要明確表格中所列的是哪兩個(gè)量；（2）分清哪一個(gè)量為自變量，哪一個(gè)量為因變量；（3）結(jié)合實(shí)際情境理解它們之間的關(guān)系。2、繪制表格表示兩個(gè)變量之間關(guān)系（1）列表

18、時(shí)首先要確定各行、各列的欄目；（2）一般有兩行，第一行表示自變量，第二行表示因變量；（3）寫出欄目名稱，有時(shí)還根據(jù)問題內(nèi)容寫上單位；（4）在第一行列出自變量的各個(gè)變化取值；第二行對應(yīng)列出因變量的各個(gè)變化取值。（5）一般情況下，自變量的取值從左到右應(yīng)按由小到大的順序排列，這樣便于反映因變量與自變量之間的關(guān)系。三、關(guān)系式7 1、用關(guān)系式表示因變量與自變量之間的關(guān)系時(shí)，通常是用含有自變量（用字母表示）的代數(shù)式表示因變量（也用字母表示） ，這樣的數(shù)學(xué)式子（等式）叫做關(guān)系式。2、關(guān)系式的寫法不同于方程，必須將因變量單獨(dú)寫在等號的左邊。3、求兩個(gè)變量之間關(guān)系式的途徑：（1）將自變量和因變量看作兩個(gè)未知數(shù)，

19、根據(jù)題意列出關(guān)于未知數(shù)的方程，并最終寫成關(guān)系式的形式。（2）根據(jù)表格中所列的數(shù)據(jù)寫出變量之間的關(guān)系式；（3）根據(jù)實(shí)際問題中的基本數(shù)量關(guān)系寫出變量之間的關(guān)系式；（4）根據(jù)圖象寫出與之對應(yīng)的變量之間的關(guān)系式。4、關(guān)系式的應(yīng)用：（1）利用關(guān)系式能根據(jù)任何一個(gè)自變量的值求出相應(yīng)的因變量的值；（2）同樣也可以根據(jù)任何一個(gè)因變量的值求出相應(yīng)的自變量的值；（3）根據(jù)關(guān)系式求值的實(shí)質(zhì)就是解一元一次方程（求自變量的值）或求代數(shù)式的值（求因變量的值）。四、圖象1、圖象是刻畫變量之間關(guān)系的又一重要方法，其特點(diǎn)是非常直觀、形象。2、圖象能清楚地反映出因變量隨自變量變化而變化的情況。3、用圖象表示變量之間的關(guān)系時(shí)，通常

20、用水平方向的數(shù)軸（又稱橫軸）上的點(diǎn)表示自變量，用豎直方向的數(shù)軸（又稱縱軸）上的點(diǎn)表示因變量。4、圖象上的點(diǎn)：（1）對于某個(gè)具體圖象上的點(diǎn)，過該點(diǎn)作橫軸的垂線，垂足的數(shù)據(jù)即為該點(diǎn)自變量的取值；（2）過該點(diǎn)作縱軸的垂線，垂足的數(shù)據(jù)即為該點(diǎn)相應(yīng)因變量的值。（3）由自變量的值求對應(yīng)的因變量的值時(shí)，可在橫軸上找到表示自變量的值的點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)作橫軸的垂線與圖象交于某點(diǎn)，再過交點(diǎn)作縱軸的垂線，縱軸上垂足所表示的數(shù)據(jù)即為因變量的相應(yīng)值。（4）把以上作垂線的過程過來可由因變量的值求得相應(yīng)的自變量的值。5、圖象理解（1）理解圖象上某一個(gè)點(diǎn)的意義，一要看橫軸、縱軸分別表示哪個(gè)變量；（2）看該點(diǎn)所對應(yīng)的橫軸、縱軸的位

21、置（數(shù)據(jù)）；（3）從圖象上還可以得到隨著自變量的變化，因變量的變化趨勢。五、速度圖象1、弄清哪一條軸（通常是縱軸）表示速度，哪一條軸（通常是橫軸）表示時(shí)間；2、準(zhǔn)確讀懂不同走向的線所表示的意義：（1）上升的線：從左向右呈上升狀的線，其代表速度增加；（2）水平的線：與水平軸（橫軸）平行的線，其代表勻速行駛或靜止；（3）下降的線：從左向右呈下降狀的線，其代表速度減小。六、路程圖象1、弄清哪一條軸（通常是縱軸）表示路程，哪一條軸（通常是橫軸）表示時(shí)間；2、準(zhǔn)確讀懂不同走向的線所表示的意義：（1）上升的線：從左向右呈上升狀的線，其代表勻速遠(yuǎn)離起點(diǎn)（或已知定點(diǎn)）；（2）水平的線：與水平軸（橫軸）平行的線

22、，其代表靜止；（3）下降的線：從左向右呈下降狀的線，其代表反向運(yùn)動(dòng)返回起點(diǎn)（或已知定點(diǎn)）。七、三種變量之間關(guān)系的表達(dá)方法與特點(diǎn)：表達(dá)方法特點(diǎn)表格法多個(gè)變量可以同時(shí)出現(xiàn)在同一張表格中關(guān)系式法準(zhǔn)確地反映了因變量與自變量的數(shù)值關(guān)系圖象法直觀、形象地給出了因變量隨自變量的變化趨勢8 第四章三角形三角形三邊關(guān)系三角形三角形內(nèi)角和定理角平分線三條重要線段中線高線全等圖形的概念全等三角形的性質(zhì)sss 三角形sas 全等三角形全等三角形的判定asa aas hl（適用于rt）全等三角形的應(yīng)用利用全等三角形測距離作三角形一、三角形概念1、不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形，稱為三角形，可以用符號

23、“”表示。2、頂點(diǎn)是a、b 、 c的三角形，記作“abc ” ，讀作“三角形abc ” 。3、組成三角形的三條線段叫做三角形的邊，即邊ab 、bc 、ac ，有時(shí)也用a，b，c 來表示，頂點(diǎn)a所對的邊 bc用 a 表示，邊 ac 、ab分別用 b，c 來表示；4、 a 、 b、 c為 abc的三個(gè)內(nèi)角。二、三角形中三邊的關(guān)系1、三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。用字母可表示為a+bc,a+cb,b+ca ；a-bc,a-cb,b-cc,a+cb,b+ca同時(shí)成立時(shí)，能組成三角形；（2）當(dāng)兩條較短線段之和大于最長線段時(shí)，則可以組成三角形。3、確定第三邊（未知邊）的取

24、值范圍時(shí)，它的取值范圍為大于兩邊的差而小于兩邊的和，即abcab. 三、三角形中三角的關(guān)系1、三角形內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于1800。2、三角形按內(nèi)角的大小可分為三類：（1）銳角三角形，即三角形的三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形；（2）直角三角形，即有一個(gè)內(nèi)角是直角的三角形，我們通常用“rt ”表示“直角三角形”, 其中直角 c 所對的邊ab稱為直角三角表的斜邊，夾直角的兩邊稱為直角三角形的直角邊。注：直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。（3）鈍角三角形，即有一個(gè)內(nèi)角是鈍角的三角形。3、判定一個(gè)三角形的形狀主要看三角形中最大角的度數(shù)。4、直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半。5、

25、任意一個(gè)三角形都具備六個(gè)元素，即三條邊和三個(gè)內(nèi)角。都具有三邊關(guān)系和三內(nèi)角之和為1800的性質(zhì)。6、三角形內(nèi)角和定理包含一個(gè)等式，它是我們列出有關(guān)角的方程的重要等量關(guān)系。9 四、三角形的三條重要線段1、三角形的三條重要線段是指三角形的角平分線、中線和高線。2、三角形的角平分線：（1）三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。（2）任意三角形都有三條角平分線，并且它們相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)。3、三角形的中線：（1）在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對邊中點(diǎn)的線段，叫做這個(gè)三角形的中線。（2）三角形有三條中線，它們相交于三角形內(nèi)一點(diǎn)。4、三角形的高線：（1）

26、從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱為三角形的高。（2）任意三角形都有三條高線，它們所在的直線相交于一點(diǎn)。區(qū)別相同中線平分對邊三條中線交于三角形內(nèi)部（1）都是線段（2）都從頂點(diǎn)畫出（3）所在直線相交于一點(diǎn)角平分線平分內(nèi)角三條角平分線交于三角表內(nèi)部高線垂 直 于 對邊（或其延長線）銳角三角形：三條高線都在三角形內(nèi)部直角三角形：其中兩條恰好是直角邊鈍角三角形：其中兩條在三角表外部五、全等圖形1、兩個(gè)能夠重合的圖形稱為全等圖形。2、全等圖形的性質(zhì)：全等圖形的形狀和大小都相同。3、全等圖形的面積或周長均相等。4、判斷兩個(gè)圖形是否全等時(shí)，形狀相同與大小

27、相等兩者缺一不可。5、全等圖形在平移、旋轉(zhuǎn)、折疊過程中仍然全等。6、全等圖形中的對應(yīng)角和對應(yīng)線段都分別相等。六、全等分割1、把一個(gè)圖形分割成兩個(gè)或幾個(gè)全等圖形叫做把一個(gè)圖形全等分割。2、對一個(gè)圖形全等分割：（1）首先要觀察分析該圖形，發(fā)現(xiàn)圖形的構(gòu)成特點(diǎn)；（2）其次要大膽嘗試，敢于動(dòng)手，必要時(shí)可采用計(jì)算、交流、討論等方法完成。七、全等三角形1、能夠重合的兩個(gè)三角形是全等三角形，用符號“”連接，讀作“全等于”。2、用“”連接的兩個(gè)全等三角形，表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上。3、全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等。這是今后證明邊、角相等的重要依據(jù)。4、兩個(gè)全等三角形，準(zhǔn)確判定對應(yīng)邊

28、、對應(yīng)角，即找準(zhǔn)對應(yīng)頂點(diǎn)是關(guān)鍵。八、全等三角形的判定1、三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫為“邊邊邊”或“sss ” 。2、兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫為“角邊角”或“asa ” 。3、兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫為“角角邊”或“aas ” 。4、兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡寫為“邊角邊”或“sas ” 。5、注意以下內(nèi)容（1）三角形全等的判定條件中必須是三個(gè)元素，并且一定有一組邊對應(yīng)相等。（2）三邊對應(yīng)相等，兩邊及夾角對應(yīng)相等，一邊及任意兩角對應(yīng)相等，這樣的兩個(gè)三角形全等。（3）兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等不能判定兩三角形全等。6、熟練

29、運(yùn)用以下內(nèi)容（1）熟練運(yùn)用三角形判定條件，是解決此類題的關(guān)鍵。（2）已知“ ss ” ，可考慮a：第三邊，即“sss ” ；b：夾角，即“ sas ” 。10 （3）已知“ sa ” ，可考慮a：另一角，即“aas ”或“ asa ” ；b ：夾角的另一邊，即“sas ” 。（4）已知“ aa ” ，可考慮a：任意一邊，即“aas ”或“ asa ” 。7、三角形的穩(wěn)定性：根據(jù)三角形全等的判定方法（sss ）可知，只要三角形三邊的長度確定了，這個(gè)三角形的形狀和大小就完全確定了，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。九、作三角形1、作圖題的一般步驟：（1）已知，即將條件具體化；（2）求作，即具體敘

30、述所作圖形應(yīng)滿足的條件；（3）分析，即尋找作圖方法的途徑（通常是畫出草圖）；（4）作法，即根據(jù)分析所得的作圖方法，作出正式圖形，并依次敘述作圖過程；（5）證明，即驗(yàn)證所作圖形的正確性（通常省略不寫）。2、熟練以下三種三角形的作法及依據(jù)。（1）已知三角形的兩邊及其夾角，作三角形。（2）已知三角形的兩角及其夾邊，作三角形。（3）已知三角形的三邊，作三角形。十、利用三角形全等測距離1、利用三角形全等測距離，實(shí)際上是利用已有的全等三角形，或構(gòu)造出全等三角形，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)（對應(yīng)邊相等） ，把較難測量或無法測量的距離轉(zhuǎn)化成已知線段或較容易測量的線段的長度，從而得到被測距離。2、運(yùn)用全等三角形解決實(shí)

31、際問題的步驟：（1）先明確實(shí)際問題應(yīng)該用哪些幾何知道解決；（2）根據(jù)實(shí)際問題抽象出幾何圖形；（3）結(jié)合圖形和題意分析已知條件；（4）找到解決問題的途徑。十一、直角三角形全等的條件1、在直角三角形中，斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“hl” 。2、 “hl ”是直角三角形特有的判定條件，對非直角三角形是不成立的；3、書寫時(shí)要規(guī)范，即在三角形前面必須加上“rt”字樣。十二、分析 - 綜合法1、我們在平時(shí)解幾何題時(shí)，采用的解題方法通常有兩種，綜合法與分析法。2、綜合法：從問題的條件出發(fā)，通過分析條件，依據(jù)所學(xué)知識，逐步探索，直到得出問題的結(jié)論。3、分析法：從問題

32、的結(jié)論出發(fā)，不斷尋找使結(jié)論成立的條件，直至已知條件。4、在具體解題中，通常是兩種方法結(jié)合起來使用，既運(yùn)用綜合法，又運(yùn)用分析法。第五章生活中的軸對稱軸對稱圖形軸對稱分類軸對稱角平分線軸對稱實(shí)例線段的垂直平分線等腰三角形等邊三角形生活中的軸對稱軸對稱的性質(zhì)軸對稱的性質(zhì)鏡面對稱的性質(zhì)11 圖案設(shè)計(jì)軸對稱的應(yīng)用鑲邊與剪紙一、軸對稱圖形1、如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。2、理解軸對稱圖形要抓住以下幾點(diǎn)：（1）指一個(gè)圖形；（2）存在一條直線（對稱軸）；（3）圖形被直線分成的兩部分互相重合；（4）軸對稱圖形的對稱軸有的只有一條，有的

33、則存在多條；（5）線段、角、長方形、正方形、菱形、等腰三角形、圓都是軸對稱圖形；二、軸對稱1、對于兩個(gè)圖形，如果沿一條直線對折后，它們能互相重合，那么稱這兩個(gè)圖形成軸對稱，這條直線就是對稱軸。可以說成：這兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱。2、理解軸對稱應(yīng)注意：（1）有兩個(gè)圖形；（2）沿某一條直線對折后能夠完全重合；（3）軸對稱的兩個(gè)圖形一定是全等形，但兩個(gè)全等的圖形不一定是軸對稱圖形；（4）對稱軸是直線而不是線段；軸對稱圖形軸對稱區(qū)別是一個(gè)圖形自身的對稱特性是兩個(gè)圖形之間的對稱關(guān)系對稱軸可能不止一條對稱軸只有一條共同點(diǎn)沿某條直線對折后都能夠互相重合如果軸對稱的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對稱

34、圖形；如果把軸對稱圖形分成兩部分（兩個(gè)圖形），那么這兩部分關(guān)于這條對稱軸成軸對稱。三、角平分線的性質(zhì)1、角平分線所在的直線是該角的對稱軸。2、性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。四、線段的垂直平分線1、垂直于一條線段并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，又叫線段的中垂線。2、性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等。五、等腰三角形1、有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；2、相等的兩條邊叫做腰；另一邊叫做底邊；3、兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角；4、三條邊都相等的三角形也是等腰三角形。5、等腰三角形是軸對稱圖形，有一條對稱軸（等邊三角形除外），其底邊上

35、的高或頂角的平分線，或底邊上的中線所在的直線都是它的對稱軸。6、等腰三角形的三條重要線段不是它的對稱軸，它們所在的直線才是等腰三角形的對稱軸。7、等腰三角形底邊上的高，底邊上的中線，頂角的平分線互相重合，簡稱為“三線合一”。8、 “三線合一”是等腰三角形所特有的性質(zhì)，一般三角形不具備這一重要性質(zhì)。9、 “三線合一”是等腰三角形特有的性質(zhì)，是指其頂角平分線，底邊上的高和中線，這三線，并非其他。12 10、等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡寫成“等邊對等角”。11、判定一個(gè)三角形是等腰三角形常用的兩種方法：（1）兩條邊相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它們所對的邊也相等相等

36、，簡寫為“等角對等邊”。六、等邊三角形1、等邊三角形是指三邊都相等的三角形，又稱正三角形，是最特殊的三角形。2、等邊三角形是底與腰相等的等腰三角形，所以等邊三角形具備等腰三角形的所有性質(zhì)。3、等邊三角形有三條對稱軸，三角形的高、角平分線和中線所在的直線都是它的對稱軸。4、等邊三角形的三邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都是600。圖形定義性質(zhì)等腰三角形有 兩 邊相 等 的三角形1、兩腰相等，兩底角相等。2、頂角 =1800-2 底角。底角=（1800- 頂角） /2 。3、頂角的平分線、底邊上的中線和高“三線合一”。4、軸對稱圖形，有一條對稱軸。等 邊 三角形（又叫 正 三角形）三 邊 都相 等 的三角形1、

37、 三邊都相等， 三內(nèi)角相等， 且每個(gè)內(nèi)角都等于600。2、具有等腰三角形的所有性質(zhì)。3、軸對稱圖形，有三條對稱軸。七、軸對稱的性質(zhì)1、兩個(gè)圖形沿一條直線對折后，能夠重合的點(diǎn)稱為對應(yīng)點(diǎn)（對稱點(diǎn)），能夠重合的線段稱為對應(yīng)線段，能夠重合的角稱為對應(yīng)角。2、關(guān)于某條直線對稱的兩個(gè)圖形是全等圖形。3、如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分。4、如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對應(yīng)線段、對應(yīng)角都相等。5、類似地，軸對稱圖形的性質(zhì)有：（1）軸對稱圖形對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分。（2）軸對稱圖形的對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等。（3）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)可求作軸對稱圖形的對應(yīng)點(diǎn)、對應(yīng)

38、線段或?qū)?yīng)角，并由此能補(bǔ)全軸對稱圖形。八、圖案設(shè)計(jì)1、作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱后的圖形，實(shí)際上是軸對稱圖形的性質(zhì)的靈活運(yùn)用。2、作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱后的圖形的步驟: （1）首先要確定一個(gè)簡單平面圖形上的幾個(gè)特殊點(diǎn)；（2）然后利用軸對稱的性質(zhì)，作出其相應(yīng)的對稱點(diǎn)（對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分）。（3）分別連接其對稱點(diǎn)，則可得其對稱圖形。3、表達(dá)方式（以點(diǎn)m為例） ：（1）過點(diǎn) m作對稱軸l的垂線，垂足為a；（2）延長 ma到 m到，使 ma=ma ，則點(diǎn) m就是點(diǎn) m關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)。（3）在復(fù)雜的作圖中，也可以敘述為：作出點(diǎn)m關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)m. 13 4、在運(yùn)用軸對稱設(shè)計(jì)圖案

39、時(shí)，就注意以下幾點(diǎn)：（1）要有明確的設(shè)計(jì)意圖；（2）創(chuàng)意要新穎獨(dú)特；（3）設(shè)計(jì)出的圖案要符合要求；（4）能清楚地表達(dá)自己的設(shè)計(jì)意圖和制作過程。5、圖案的設(shè)計(jì)除采用對稱的手段外，通常還綜合采用旋轉(zhuǎn)、倒置、重復(fù)等手段和形式。6、設(shè)計(jì)的圖案要美觀、大方，積極向上，反映時(shí)代特色。九、鏡面對稱1、鏡面對稱的有關(guān)性質(zhì)：（1）任何一個(gè)平面圖形（物體）在鏡子中的像與它是可以重合的。因此，一個(gè)軸對稱圖形在鏡子中的像仍是軸對稱圖形。（2）若一個(gè)平面圖形正對鏡面，則其左（右）側(cè)在鏡中的像是其右（左）側(cè)；（3）若一個(gè)平面圖形（物體）垂直于鏡面擺放，則靠近鏡面的部分，其像也靠近鏡面；2、關(guān)于數(shù)字0、1、3、 8在鏡面中像的兩個(gè)結(jié)論：（1）如果寫數(shù)字的紙條垂直于鏡面擺放，則紙條上寫的0、1、 3、8 所成的像與原來的數(shù)字完全一樣。（2）如果紙條正對鏡面擺放，則紙條上寫的0、1、8 這三個(gè)數(shù)字在鏡中的像和原來的數(shù)字完全一樣。3、像與物體到鏡面的距離相等。4、像與物體的對應(yīng)點(diǎn)連線被鏡面垂直平分。5、由鏡中的時(shí)間來判斷真實(shí)時(shí)間是近幾年來中考的一個(gè)熱點(diǎn)。時(shí)間的表示有用一般數(shù)字表示的，也有直接用鐘表來表示的。在判斷時(shí)，大家要注意靈活利用鏡面對稱的知識來加以解決。第六章概率必然事件事件不可能事件不確定事件概率等可能性游戲的公平性概率的定義