帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)地臨界問題地解題技巧

1、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題的解題技巧仁壽一中北校區(qū)高2012級(jí)物理組帶電粒子（質(zhì)量m、電量q確定）在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)， 涉及的可能變化的參量有入射點(diǎn)、入射速度大小、入射方向、出射點(diǎn)、出射方向、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小、磁場(chǎng)方向等，其中磁感應(yīng)強(qiáng)度大小與入射速度大小影響的都是軌道半徑的大小，可歸并為同一因素（以“入射速度大小”代表），磁場(chǎng)方向在一般問題中不改變，若改變，也只需將已討論情況按反方向偏轉(zhuǎn)再分析一下即可。在具體問題中，這五個(gè)參量一般都是已知兩個(gè)，剩下其他參量不確定（但知道變化范圍）或待定，按已知參數(shù)可將問題分為如下10類，并可歸并為6大類型。所有這些問題，其通用解法是：第一步，找準(zhǔn)軌跡圓圓

2、心可能的位置，第二步，按一定丿唄序.盡可能多地作不同圓心對(duì)應(yīng)的軌跡圓（一般至少 5畫個(gè)類型已知參量類型一入射點(diǎn)、入射方向；出射點(diǎn)、出射方向類型二入射點(diǎn)、速度大??；出射點(diǎn)、速度大小類型三入射點(diǎn)、出射點(diǎn)類型四入射方向、出射方向類型五入射方向、速度大?。怀錾浞较?、速度大??；類型六入射點(diǎn)、出射方向；出射點(diǎn)，入射方向軌跡圓），第三步，根據(jù)所作的圖和題設(shè)條件，找出臨界軌跡圓，從而抓住解題的關(guān)鍵點(diǎn)。類型一：已知入射點(diǎn)和入射速度方向，但入射速度大小不確定（即軌道半徑不確定）這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓圓心均在過入射點(diǎn)、垂直入射速度的同一條直線上。* X *【例1】如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的水平極板間有垂直于紙面向內(nèi)的

3、勻強(qiáng)磁 場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B,板間距離也為 L,板不帶電.現(xiàn)有質(zhì)量為 m、電荷 量為q的帶正電粒子（不計(jì)重力），從左邊極板間中點(diǎn)處垂直磁感線以速度v水平射入磁場(chǎng)，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法是BqLA 使粒子的速度 v<4mBqLC 使粒子的速度 v> m5BqLB.使粒子的速度 v> 4mBqL5BqLD 使粒子的速度<v<【分析】粒子初速度方向已知,故不同速度大小的粒子軌跡圓圓心均在垂直初速度的直線上（如4m4m，其中軌跡圓和圖甲），在該直線上取不同點(diǎn)為圓心，半徑由小取到大，作出一系列圓（如圖乙）為臨界軌跡圓。軌道半徑小于軌跡圓或大于軌跡圓的粒子，均可射

4、出磁場(chǎng)而不打在極板上。*Jr*Jr*JrL比圖甲【解答】AB圖乙L-2）2，得5Lri =4mv i5 BqL5BqL由ri = D ，得vi=，所以v>時(shí)粒子能從右邊穿出Bq4m4m粒子擦著上板從左邊穿出時(shí)，圓心在O '點(diǎn)，有Lr2 = _4mv2BqLBqL由2 =，得V2=，所以、v< 時(shí)粒子能從左邊穿出.Bq4m4m粒子擦著板從右邊穿出時(shí)，圓心在O 點(diǎn)，有 ri2= L2 + （門【易錯(cuò)提醒】容易漏選A，錯(cuò)在沒有將r先取較小值再連續(xù)增大，從而未分析出粒子還可以從磁場(chǎng)左邊界穿出的情況?！揪毩?xí)1】?jī)善矫鏌晒馄粱ハ啻怪狈胖?，在兩屏?nèi)分別取垂直于J yLX X X XV兩屏

5、交線的直線為 x軸和y軸，交點(diǎn)O為原點(diǎn)，如圖所示。在y>0 ,X Xlife*»X X! *0< x< a的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在y>0 , x>a的區(qū)域 X X IL”ic0有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。在O點(diǎn)處有一小孔，一束質(zhì)量為m、帶電量為q （q>0 ）的粒子沿x軸經(jīng)小孔射入磁場(chǎng)，最后打在豎直和水平熒光屏上，使熒光屏發(fā)亮。入射粒子的速度可取從零到某一最大值之間的各種數(shù)值已知速度最大的粒子在 0< x<a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與在 x> a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之比為 2 : 5，在磁場(chǎng)中運(yùn)

6、動(dòng)的總時(shí)間為7T/12，其中T為該粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的周期。試求兩個(gè)熒光屏上亮線的范圍（不計(jì)重力的影響）?！痉治觥苛Ｗ釉?<x<a的區(qū)域中的運(yùn)動(dòng)屬于初速度方向已知、大小不確定的情況，在垂直初速 度的直線（即y軸）上取不同點(diǎn)為圓心，半徑由小取到大，作出一系列圓（如圖甲），其中軌跡圓與直線x=a相切，為能打到y(tǒng)軸上的粒子中軌道半徑最大的；若粒子軌道半徑大于軌跡圓，粒子 將進(jìn)入x> a的區(qū)域，由對(duì)稱性可知，粒子在x> a的區(qū)域內(nèi)的軌跡圓圓心均在在 x=2 a直線上，在，其中軌跡圓為半徑x=2 a直線上取不同點(diǎn)為圓心，半徑由小取到大，可作出一系列圓（如

7、圖乙）最小的情況，軌跡圓為題目所要求的速度最大的粒子的軌跡。圖甲XyXXa2a圖乙【答案】豎直屏上發(fā)亮的范圍從0到2a，水平屏上發(fā)亮的范圍從2a2- 3a3mv【解答】粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑為：rqB速度小的粒子將在 x<a的區(qū)域走完半圓，射到豎直屏上。半圓的直徑在y軸上，半徑的范圍從0到a,屏上發(fā)亮的范圍從0到2a。軌道半徑大于a的粒子開始進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)，考慮r=a的極限情況，這種粒子在右側(cè)的圓軌跡與 x軸在D點(diǎn)相切（虛線），0D=2 a，這是水平屏上發(fā)亮范圍的左邊界。速度最大的粒子的軌跡如圖中實(shí)線所示，它由兩段圓弧組成，圓心分別為C和C' , C在y軸上,有

8、對(duì)稱性可知 C'在x=2 a直線上。t2為在x> a的區(qū)設(shè)ti為粒子在0< x< a的區(qū)域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間, 文檔域中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間,tl27T由題意可知 一,tit2t2512T -5T由此解得：titi612由式和對(duì)稱性可得OCM60°MC'P 360°5_150°12所以 NC'P1506090即弧長(zhǎng)NP為1/4圓周。因此,圓心C'在x設(shè)速度為最大值粒子的軌道半徑為軸上。MC 'N60°R,由直角VCOC'可得2Rsin602a R由圖可知OP=2a+R，因此水平熒光屏發(fā)亮范圍的右邊界的坐標(biāo)

9、【易錯(cuò)提醒】本題容易把握不住隱含條件一一所有在x> a的區(qū)域內(nèi)的軌跡圓圓心均在在x=2 a直線上，從而造成在 x>a的區(qū)域內(nèi)的作圖困難；另一方面，在 x>a的區(qū)域內(nèi)作軌跡圓時(shí)，半徑未從軌跡圓半徑開始取值，致使軌跡圓未作出，從而將水平熒光屏發(fā)亮范圍的左邊界坐標(biāo)確定為x= a。類型二：已知入射點(diǎn)和入射速度大小（即軌道半徑大?。肷渌俣确较虿淮_定這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓的圓心均在一個(gè)“圓心圓”上一一所謂“圓心圓”，是指以入射mv點(diǎn)為圓心，以r為半徑的圓。qBa【例2】如圖所示，在0 Wxwa、0Wy w 范圍內(nèi)有垂直手 xy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度2大小為B。坐標(biāo)原點(diǎn)

10、O處有一個(gè)粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xOy平面內(nèi)，與y軸正方向的夾角分布在 090°范圍內(nèi)。己知粒子在磁場(chǎng)中做圓周 運(yùn)動(dòng)的半徑介于 a/2到a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開 磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間恰好為粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分 之一。求最后離開磁場(chǎng)的粒子從粒子源射出時(shí)的(1) 速度的大??；(2) 速度方向與y軸正方向夾角的正弦?！痉治觥勘绢}給定的情形是粒子軌道半徑r大小確定但初速度方向不確定，所有粒子的軌跡圓都要經(jīng)過入射點(diǎn) 0,入射點(diǎn)0到任一圓心的距離均為 r，故所有軌跡圓的圓心均在一個(gè)“圓心圓” 以入射點(diǎn) 0為圓心、r

11、為半徑的圓周上(如圖甲)?？紤]到粒子是向右偏轉(zhuǎn)，我們從最左邊的軌 跡圓畫起一一取“圓心圓”上不同點(diǎn)為圓心、r為半徑作出一系列圓，如圖乙所示；其中，軌跡180 ° )弦長(zhǎng)越長(zhǎng)，圓心角對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)大于軌跡對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)一一半徑一定、圓心角都較小時(shí)(均小于越大，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)一一故軌跡對(duì)應(yīng)圓心角為90R （2【答案】v圖甲圖乙（2 于）詈,sin_6- 6=10【解答】設(shè)粒子的發(fā)射速度為v，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R根據(jù)牛頓第二定律和洛倫茲力得:2r v ” f mv qvB m , 解得：R RqB當(dāng)a/2< R< a時(shí)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)的粒子，其軌跡是圓心為C的圓弧

12、，圓弧與磁場(chǎng)的邊界相切，如圖所示，設(shè)該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t,依題意，t=T4時(shí)，/ OCA= n/2設(shè)最后離開磁場(chǎng)的粒子的發(fā)射方向與y軸正方向的夾角為a,由幾何關(guān)系得：aRsin R , Rsin a Rcos ,2且 sin2cos21.66 aqB .6-： 6解得：R (2)a, v (2), sin =22 m10【易錯(cuò)提醒】由于作圖不仔細(xì)而把握不住“軌跡對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)大于軌跡對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)一一半徑一定、圓心角都較小時(shí)(均小于180 °)弦長(zhǎng)越長(zhǎng)，圓心角越大，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)”，從而誤認(rèn)為軌跡對(duì)應(yīng)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)。這類題作圖要講一個(gè)小技巧一一按粒子偏轉(zhuǎn)方向移動(dòng)圓 心

13、作圖。X【練習(xí)2】如圖所示，在正方形區(qū)域abcd內(nèi)充滿方向垂直紙面向里的、 磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在t=0時(shí)刻，一位于ad邊中點(diǎn)O的粒子源 在abed平面內(nèi)發(fā)射出大量的同種帶電粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向與Od邊的夾角分布在0180 °范圍內(nèi)。已知沿Od方向發(fā)射的粒子 在t=t0時(shí)刻剛好從磁場(chǎng)邊界 cd上的p點(diǎn)離開磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑恰好等于正方 形邊長(zhǎng)L,粒子重力不計(jì)，求：(1) 粒子的比荷q/ m ；(2) 假設(shè)粒子源發(fā)射的粒子在 0180。范圍內(nèi)均勻分布，此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子數(shù)與粒子源 發(fā)射的總粒子數(shù)之比；(3) 從粒子發(fā)射到全部粒子離開磁場(chǎng)所用的

14、時(shí)間?！痉治觥恳訪為半徑、0點(diǎn)為圓心作“圓心圓”（如圖甲）；由于粒子逆時(shí)針偏轉(zhuǎn)，從最下面的軌跡開始畫起（軌跡），在“圓心圓”取不同點(diǎn)為圓心、以L為半徑作出一系列圓（如圖乙）；其中軌跡與軌跡對(duì)稱，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同；軌跡并不經(jīng)過c點(diǎn)，軌跡對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)短于軌跡對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)一一即沿軌跡運(yùn)動(dòng)的粒子最后離開磁場(chǎng)?！窘獯稹浚? ）初速度沿 Od方向發(fā)射的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖,其圓心為n由幾何關(guān)系有：Onp ,t0 6 12粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力提供根據(jù)牛頓第二定律得知口（討r，v乍得m臥（2）依題意，同一時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子到0點(diǎn)距離相等。在to時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子應(yīng)位于以0為圓心，Op為半徑的

15、弧 pw上。由圖知5pOw 6此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子數(shù)與總粒子數(shù)之比為5/6WY（3）在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的軌跡應(yīng)該與磁場(chǎng)邊界b點(diǎn)相交，設(shè)此粒子運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為B,則在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t rT12 arcsin 上4to所以從粒子發(fā)射到全部離開所用時(shí)間為t(2 arcsin)t0。4【易錯(cuò)提醒】本題因作圖不認(rèn)真易錯(cuò)誤地認(rèn)為軌跡經(jīng)過c點(diǎn)，認(rèn)為軌跡對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)等于軌跡對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)，于是將軌跡對(duì)應(yīng)粒子作為在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子進(jìn)行計(jì)算；雖然計(jì)算出來結(jié)果正確，但依據(jù)錯(cuò)誤。類型三：已知入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，但未知初速度大小（即未知半徑大?。┖头较?這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓圓心均在入射點(diǎn)和出射點(diǎn)

16、連線的中垂線上。【例3】如圖所示，無重力空間中有一恒定的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直于xOy平面向m、電荷量+ q外，大小為B，沿x軸放置一個(gè)垂直于 xOy平面的較大的熒光屏，P點(diǎn)位于熒光屏上，在 y軸上的P點(diǎn)處在亮線上，已知 OA = OP = 1,A點(diǎn)放置一放射源，可以不斷地沿平面內(nèi)的不同方向以大小不等的速度放射出質(zhì)量為 的同種粒子，這些粒子打到熒光屏上能在屏上形成一條亮線, 求:（1 ）若能打到P點(diǎn)，則粒子速度的最小值為多少？（2）若能打到P點(diǎn)，則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為多少？【分析】粒子既經(jīng)過 A點(diǎn)又經(jīng)過P點(diǎn)，因此AP連線為粒子軌跡圓的一條弦，圓心必在該弦的 中垂線OM上（如圖甲

17、）。在OM上取不同點(diǎn)為圓心、以圓心和 A點(diǎn)連線長(zhǎng)度為半徑由小到大作出 一系列圓（如圖乙），其中軌跡對(duì)應(yīng)半徑最小，而軌跡對(duì)應(yīng)粒子是Oi點(diǎn)上方軌道半徑最大的，由圖可知其對(duì)應(yīng)圓心角也最大。【答案】（1）v2m，（2）t 2qB【解答】（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，設(shè)粒子的速度大小為v時(shí)，其在磁場(chǎng)v2則由牛頓第二定律有：qBv = m R若粒子以最小的速度到達(dá) P點(diǎn)時(shí)，其軌跡一定疋s 近由幾何關(guān)系知：sap= J2l R= l2 2.2qBlv =2m（2）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)其軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期 T= 2nmqB則粒子的最小速度宀曰以AP為直徑的圓（如圖中圓 O

18、i所示）則粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t T m2 n qB由圖可知，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中圓H *O2所示中的運(yùn)動(dòng)半徑為 R此時(shí)粒子的初速度方向豎直向上，則由幾何關(guān)系有:則粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間：t 3nm2qB在平面右側(cè)的半空間存在一磁感強(qiáng)【練習(xí)3】圖中虛線MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向外，0是MN上的一點(diǎn)，從 0點(diǎn)可以向磁場(chǎng)區(qū)域發(fā)射電量為+ q，質(zhì)量為m，速率為v的粒子，粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度可在紙面內(nèi)各個(gè)方向，已知先后射入的兩個(gè)粒子恰好在磁場(chǎng)中給定的P點(diǎn)相遇.P到O的距離為L(zhǎng),不計(jì)重力及粒子間的相互作用（1）求所考察的粒子在磁場(chǎng)中

19、的軌道半徑（2）求這兩個(gè)粒子從 0點(diǎn)射入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔【分析】如圖甲，作 0P連線中垂線，然后在中垂線上取關(guān)于C對(duì)稱的兩點(diǎn)01、02為圓心過0、P作出兩個(gè)軌跡圓，如圖乙所示。保留相遇前軌跡如圖丙所示。mv丄 4m/LqB、【答案】（1 R ，（ 2） t arccos（ ）qBqB2mv【解答】（1）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R,由牛頓第二定律得2r vc mvqvB m ，則 R -RqB（2）如圖所示，以0P為弦可以畫兩個(gè)半徑相同的圓，分別表示在P點(diǎn)相遇的兩個(gè)粒子的軌跡。圓心分別為 0仆02,過0點(diǎn)的直徑分別為 001Q1、002Q2,在0點(diǎn)處兩個(gè)圓的切線分別表示兩個(gè)粒子的射入方

20、向，用 嬢示它們之間的夾角。由幾何關(guān)系可知，P01Q1P02Q2，從0點(diǎn)射入到相遇，粒子 1的路程為半個(gè)圓周加弧長(zhǎng)Q1P= R B,粒子2的路程為半個(gè)圓周減弧長(zhǎng) PQ2= R 0粒子1的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 ii粒子2運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t2兩粒子射入的時(shí)間間隔為因?yàn)?Rcos L2 2所以 2arccos丄 2R有上述算式可解得t1 R-T，其中T為圓周運(yùn)動(dòng)的周期。2 v1 RT2 vRt t1 t22-v4mLqBxarccos( ) qB2mv類型四：已知初、末速度的方向（所在直線），但未知初速度大 ?。次粗壍腊霃酱笮。┻@類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓的圓心均在初、末速度延長(zhǎng)線形 成的角的角平分線上?！?/p>

21、例4】在xOy平面上的某圓形區(qū)域內(nèi)， 存在一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)， 磁 感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.一個(gè)質(zhì)量為m、帶電量為+ q的帶電粒子，由原點(diǎn)O開始沿x正方 向運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入該磁場(chǎng)區(qū)域后又射出該磁場(chǎng)；后來，粒子經(jīng)過y軸上的P點(diǎn)，此時(shí)速度方向與y軸的夾角為30 ° （如圖所示），已知P到O的距離為L(zhǎng),不計(jì)重力的影響。（1 ）若磁場(chǎng)區(qū)域的大小可根據(jù)需要而改變，試求粒子速度的最大可能值；（2）若粒子速度大小為v qBL，試求該圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。6m【分析】;P圖乙初、末速度所在直線必定與粒子的軌跡圓相切，軌跡圓圓心到兩條直線的距離（即軌道半徑）相等，因此，圓心必位于初、末速度延長(zhǎng)線形成的角的

22、角平分線QC上（如圖甲）；在角平分線QC上取不同的點(diǎn)為圓心，由小到大作出一系列軌跡圓（如圖乙），其中以C點(diǎn)為圓心軌跡是可能的軌跡圓中半徑最大的，其對(duì)應(yīng)的粒子速度也最大?！窘獯稹窟^P點(diǎn)作末速度所在直線， 交x軸于Q點(diǎn)，經(jīng)分析可知，粒子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡的圓心必在OPQ的角平分線QC上，如圖甲所示。設(shè)粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r,則由牛頓2第二定律，有 qvB m rmvqB由此可知粒子速度越大,其軌道半徑越大,由圖乙可知，速度最大的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心是y軸上的C點(diǎn)。（1）如圖丙所示，速度最大時(shí)粒子的軌跡圓過0點(diǎn)、且與PQ相切于A點(diǎn)。圖丁由幾何關(guān)系有OQ Ltan30 ，

23、 » OQ tan30 ，可得ri L13由、求得 v qBL3mqBLL（2 ）將v代入式，可得r2 ,粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡是6m6如圖丁所示的軌跡圓，該軌跡圓與x軸相切于D點(diǎn)、與PQ相切于E點(diǎn)。連接DE,由幾何關(guān)系可知 DE ,3r2由于D點(diǎn)、E點(diǎn)必須在磁場(chǎng)內(nèi)，即線段 DE在磁場(chǎng)內(nèi)，故可知磁場(chǎng)面積最小時(shí)必定是以 DE為直徑（如圖丁中所示）。即面積1I /V' 小II |!IIi|*iilI最小的磁場(chǎng)半徑為 R DE22V3 2n_2則磁場(chǎng)的最小面積為 s nRn L）1248【練習(xí)4】如圖所示，xOy平面內(nèi)存在著沿 y軸正方向的勻 強(qiáng)電場(chǎng).一個(gè)質(zhì)量為 m，帶電荷量為+ q的粒子

24、從坐標(biāo)原點(diǎn) O以 速度V0沿x軸正方向開始運(yùn)動(dòng).當(dāng)它經(jīng)過圖中虛線上的M（2- ,；3a, a）點(diǎn)時(shí)，撤去電場(chǎng)，粒子繼續(xù)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后進(jìn)入一個(gè)矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域（圖中未畫出），又從虛線上的某一位置 N處沿y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)并再次經(jīng)過 M點(diǎn).已知磁場(chǎng)方向垂直 xOy平面（紙面）向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B,不計(jì)粒子的 重力，試求：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小；（2）N點(diǎn)的坐標(biāo)；矩形磁場(chǎng)的最小面積.【分析】粒子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)后進(jìn)入MN右側(cè)，初速度方向已知，另一方面，粒子末速度由N指向M。初速度、末速度所在直線交于點(diǎn)M，過M點(diǎn)作 NMP角平分線 MO'，粒子軌跡圓的圓心必在直線MO'上。取其上一點(diǎn) O&

25、#39;為圓心作出軌跡圓（如圖所示）【答案】2mvo6qaXn2 3a SminL24m2v02b2【解答】粒子從O到M做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為 t,則有 2 3aVgtVytan2mvo6qa設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)到M証 v。3癥3Vyv0由題意知，粒子從運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為 R,則點(diǎn)時(shí)速度為V,與x方向的夾角為，則2恵v3P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，從2vqvB m一rN點(diǎn)離開磁場(chǎng)，粒子在磁場(chǎng)中以點(diǎn)為圓心做勻速圓周解得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為mv2、3mv0由幾何關(guān)系知,PMN所以N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為qB30當(dāng)矩形磁場(chǎng)為圖示虛線矩形時(shí)的面積最小。4、3mv3qBl2r所以矩形磁場(chǎng)的最小面積為Smin3qB2mv0aqB則矩形的兩個(gè)

26、邊長(zhǎng)分別為、3m%qB2 211 4m v。L1 L2 2 2q bRsin橫坐標(biāo)為Xn類型五：已知初速度的大小（即已知軌道半徑大?。┖头较颍肷潼c(diǎn)不確定這類問題的特點(diǎn)是：所有軌跡圓的圓心均在將入射點(diǎn)組成的邊界沿垂直入射速度方向平移一個(gè) 半徑距離的曲線上。【例5】如圖所示，長(zhǎng)方形 abed的長(zhǎng)ad=0.6 m，寬ab =0.3 m，0、e分別是ad、be的中點(diǎn),以e為圓心eb為半徑的圓弧和以 0為圓心0d為半徑的圓弧組成的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（eb邊界上無磁場(chǎng)）磁感應(yīng)強(qiáng)度 B=0.25T。一群不計(jì)重力、質(zhì)量m=3 xio-7kg、電荷量q=+2 x10-3C的帶正電粒子以速度 v=

27、5 X02m/s沿垂直ad方向且垂直于磁場(chǎng)射入磁場(chǎng)區(qū)域，則下列判斷 正確的是（）A. 從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在Oa邊B. 從aO邊射入的粒子，出射點(diǎn)全部分布在ab邊C. 從Od邊射入的粒子，出射點(diǎn)分布在ab邊D. 從ad邊射人的粒子，出射點(diǎn)全部通過b點(diǎn)【分析】所有進(jìn)入磁場(chǎng)的粒子的入射點(diǎn)均在dOb線上，將該曲線垂直速度向上平移一個(gè)半徑mvr后得到曲線 Oaf，此即所有粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心所在曲線，在該曲線上從下到上qBmv取點(diǎn)作為圓心、r為半徑作一系列軌跡圓，其中為從d點(diǎn)射入粒子的軌跡（圓心在 O點(diǎn)），qB為從O點(diǎn)射入粒子的軌跡（圓心在 a點(diǎn)）,為從a點(diǎn)射入粒子的軌跡，從 d、O之間入射粒子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過1/4圓周后沿