《圓》全章復習與鞏固—知識講解

1、圓全章復習與鞏固一知識講解【學習目標】1 .理解圓及其有關概念，理解弧、弦、圓心角的關系，探索并了解點與圓、直線與圓、圓與圓的 位置關系，探索并掌握圓周角與圓心角的關系、直徑所對的圓周角的特征；2 . 了解切線的概念，探索并掌握切線與過切點的半徑之間的位置關系，能判定一條直線是否為圓 的切線，會過圓上一點畫圓的切線；3 . 了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過一點、兩點和不在同一直線上的三點作圓；4 . 了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會計算弧長及扇形的面積、 圓錐的側面積及全面積；5 .結合相關圖形性質(zhì)的探索和證明，進一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證

2、的 表達能力；通過這一章的學習，進一步培養(yǎng)綜合運用知識的能力，運用學過的知識解決問題的能力【知識網(wǎng)絡】H點和嘀金 網(wǎng)一的廷立)與有關的位置關新一在戰(zhàn)利第的血函的性找還)【要點梳理】要點一、圓的定義、性質(zhì)及與圓有關的角6 .圓的定義(1)線段OA繞著它的一個端點 O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點 A所形成的封閉曲線，叫做圓.(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合.要點詮釋：圓心確定圓的位置， 半徑確定圓的大??； 確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可;圓是一條封閉曲線.7 .圓的性質(zhì)(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心.在同圓

3、或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等 .(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸(3)垂徑定理及推論：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦平行弦夾的弧相等.要點詮釋：在垂經(jīng)定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧， 在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結論.(注意：“過圓心、平分弦”作為題設時，平分的

4、弦不能是直徑)3.兩圓的性質(zhì)(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線 (2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點 4.與圓有關的角(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角.圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角圓周角的性質(zhì)：圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等90。的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形圓內(nèi)接四邊形的對角互補；外角等于它的內(nèi)對角要點詮釋：(1)圓

5、周角必須滿足兩個條件：頂點在圓上；角的兩邊都和圓相交 (2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中要點二、與圓有關的位置關系1 .判定一個點P是否在。上設。的半徑為尸，OPW ,則有點p在oo外；減點p在oo上；dv/o 點p在oo內(nèi).要點詮釋：點和圓的位置關系和點到圓心的距離的數(shù)量關系是相對應的，即知道位置關系就可以確定數(shù)量關系；知 道數(shù)量關系也可以確定位置關系 .2 .判定幾個點 在同一個圓上的方法A p A 2> L An當4。= 4。=4。二立時，4 4A在0 o上.3 .直線和圓的位置關系設。O半徑為R,點O到直線？的距離為& .(1)直線/和。沒有公共點 0直線和圓

6、相離 cd > R .(2)直線/和。o有唯一公共點 =直線/和。相切a d = R .(3)直線/和。O有兩個公共點 =直線,和。相交od <R .4 .切線的判定、性質(zhì)(1)切線的判定：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線到圓心的距離圖等于圓的半徑的直線是圓的切線.(2)切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑.經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點經(jīng)過切點作切線的垂線經(jīng)過圓心.(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條 切線的夾角.5 .圓和圓的位置關系

7、設©5的半徑為R. “在 ><),圓心距= d .(1)和2沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部o理仆 0。士外離二:三一，.(2)和沒有公共點，且 OQ的每一個點都在 0烏內(nèi)部O ©% 0%內(nèi)含=d <R-r(3)。烏和。Q有唯一公共點，除這個點外，每個圓上的點都在另一個圓外部?？?，0 5外切.一二 一(4) 和QQ有唯一公共點，除這個點外，的每個點都在 oq內(nèi)部=©q, 內(nèi)切:-工.(5) OQ和GQ有兩個公共點 =,相交漢一1r工d <.Rtr .要點三、三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形1 .三角形的內(nèi)心、

8、外心、重心、垂心(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三條角平分線的交點，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它 到三角形三邊的距離相等，通常用“ I ”表示.(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三 角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂 點的距離相等，通常用 O表示.(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內(nèi)部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三邊高線的交點.要點詮釋：(1)任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；(2)

9、解決三角形內(nèi)心的有關問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積 的一半，即S=Ipr (S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：內(nèi)心(三角形 內(nèi)切圓的圓 心)二角形二條角平分線 的交點1(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB OC分別平分/ BAC / ABC /ACB (3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.2 .圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補，外角等于內(nèi)對角(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等要點四、圓中有關計算1.圓中有關計算圓的面積公式：

10、£ =交爐，周長C:.圓心角為耳匕半徑為R的弧長/二竺四.ISO圓心角為甩口，半徑為R,弧長為/的扇形的面積=竺£ = Lr .3602弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算圓柱的側面圖是一個矩形，底面半徑為R,母線長為I的圓柱的體積為州區(qū)。，側面積為2元比,全面積為二仁I 2工二.圓錐的側面展開圖為扇形，底面半徑為R,母線長為J ,高為人的圓錐的側面積為ttR1,全面積為天氏/ +弘直，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有曰熹二尸.要點詮釋： 對于扇形面積公式，關鍵要理解圓心角是1的扇形面積是圓面積的上，即3601口？亓爐KJT 於二；360360(2)在扇形面積

11、公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑 R扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.(3)扇形面積公式 與照二1/及，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式 S二;曲有點類似，可類比記憶；(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：5s11s.二吧= 乂巴的乂良=我.踽再癡 21802【典型例題】類型一、圓的基礎知識.如圖，已知。是以數(shù)軸的原點 。為圓心，半徑為1的圓，/ AOB=45，點P在數(shù)軸上運動，若過點P且與OA平行（或重合）的直線與。 O有公共點,設OP=x,則x的取值范圍是（x > 22A. -K x<1 B .72X < <2C. 0< X

12、< 22 D【答案】B；【解析】如圖，平移過P點的直線到P',使其與。O相切，設切點為Q連接OQ由切線的性質(zhì)，得/ OQP =90° , OA P' QOP Q=Z AOB=45 ,. .OQP為等腰直角三角形，在 RtOQP 中，OQ=1OP = 2 ,，當過點P且與OA平行的直線與。O有公共點時，0WOPC 的，當點P在x軸負半軸即點P向左側移動時，結果為 -J2 & OP<0.故答案為：-J2wOPC近.【點評】 本題考查了直線與圓的位置關系問題.關鍵是通過平移，確定直線與圓相切的情況，求出此時OP的值.舉一反三【變式】如圖，已知。是以數(shù)軸的

13、原點為圓心，半徑為 1的圓，/ AOB=45，點P在數(shù)軸上運動，若過點P且與OB平行的直線于。有公共點，設 P （x, 0）,則x的取值范圍是（）.A. -1Wxv0或 0vxwiB , 0<x<l C , - V2 wxv 0或 0vxw 忘 D . x>1Ayy【答案】O是以數(shù)軸的原點為圓心，半徑為 1的圓，/ AOB=45 ,過點P'且與OB平行的直線與。O相切時，假設切點為 D,，OD=D P=1,OP =也, 0VOPC 應,同理可得，當 OP與x軸負半軸相交時， 應WOk 0, -短 WOk 0,或 0VOPC 72 .故選C.類型二、弧、弦、圓心角、圓周

14、角的關系及垂徑定理2.如圖所示，已知在。 。中，AB是。的直徑，弦CGLAB于D, BF交CG于點E,求證：CBE.【答案與解析】證涉-：如圖（1）,連接BC/Xf是。上的點，且Cf Cb ,AB是。的直徑，弦 CGL AB,， Cb Gb .Cf ?C , Cf Gb ./C= / CBECE=BE證法二：如圖（2）,作ONL BF,垂足為N,連接OE AB 是。的直徑，且 AB±CGCB Bg .Cb Cf , Cf Bc ?G . BF=CG ONh OD/ONE= Z ODE= 90° , OE= OE ONhOD ON孽 ODENE = DE.1_1 BN BF,

15、 CD CG, 22BN=CD BN-EN=CD-ED，BE = CE證法三：如圖（3）,連接。似BF于點N.Cf Bc，.二 oc ±bf. AB 是。的直徑，CGL AB,?G ?C , Cf ?g ?C . ?F Cg , ON OD .OC = OB OC-ON=OB-OD 即 CNh BD.又/ CNE= / BD±90° , / CEN / BED CN監(jiān) BDECE = BE.【點評】上述各種證明方法，雖然思路各異，但都用到了垂徑定理及其推論.在平時多進行一題多解、 一題多證、一題多變的練習，這樣不但能提高分析問題的能力，而且還是溝通知識體系、學習

16、知識，使用知識的好方法.舉一反三：【變式】如圖所示，在。O內(nèi)有折線 OABC其中OA=8,AB=12,/A=/B=60°，則BC的長為（）A.C. 18D. 20【答案】 如圖，延長 AO交BC于點D,過O作OH BC于E.貝U三角形ABD為等邊三角形，DA=AB=BD=12 OD=AD-AO=4在 RtODE中，/ ODE=60 , / DOE=30 ,貝U DE=1 OD=2 BE=BD-DE=102OE垂直平分BC BC=2BE=20.故選D類型三、與圓有關的位置關系C3. 一個長方體的香煙盒里，裝滿大小均勻的20支香煙.打開煙盒的頂蓋后，二十支香煙排列成三行，如圖（1）所示.

17、經(jīng)測量，一支香煙的 直徑約為0.75cm,長約為8.4cm.（1）試計算煙盒頂蓋 ABCD勺面積（本小題計算結果不取近似值）；（2 ）制作這樣一個煙盒至少需要多少面積的紙張（不計重疊粘合的部分，計算結果 精確到 0.1cm , J3取 1.73）.【答案與解析】（1）如圖（2）,作 OE,C2C33,3 3 3.3 3AB 2 cm844四邊形ABCD勺面積是:(2)制作一個煙盒至少需要紙張:【點評】四邊形ABCM, AD長為7支香煙的直徑之和，易求；求 AB長，只要計算出如圖(2)中的QE 長即可.類型四、圓中有關的計算BD ,延長AE交BD的延長線于點4. (2015?丹東)如圖，AB是。

18、O的直徑，ED=BD,連接ED、M ,過點D作。O的切線交AB的延長線于點 C.(1)若OA=CD=2 亞 求陰影部分的面積；(2)求證：DE=DM .【答案與解析】解：如圖，連接OD, .CD是。切線， ODXCD, OA=CD=2 返 OA=OD , OD=CD=2 返.OCD為等腰直角三角形, ZDOC= ZC=45°,1- S 陰影=S/OCD - S 扇OBD=會2次X2后篦收360=4 一兀;(2)證明：如圖，連接 AD ,AB是。O直徑，ZADB= /ADM=90 °,又 |ed=bD,ED=BD , / MAD= / BAD ,在AMD和ABD中,ZADM=

19、ZADBAD 二 AD,ZHAD=ZBADAAMD AABD ,DM=BD ,DE=DM .【點評】本題考查的是切線的性質(zhì)、弦、弧之間的關系、扇形面積的計算，掌握切線的性質(zhì)定理和扇形的面積公式是解題的關鍵，注意輔助線的作法.舉一反三:O,連【變式】(2015?貴陽)如圖，OO是4ABC的外接圓，AB是。的直徑，F(xiàn)OXAB ,垂足為點 接AF并延長交OO于點D ,連接OD交BC于點E, / B=30 °, FO=2、/1 .(1)求AC的長度；(2)求圖中陰影部分的面積.(計算結果保留根號)【答案】解：（1） . OFXAB ,/ BOF=90 °, / B=30 °

20、;, FO=2百，OB=6 , AB=2OB=12 ,又AB為。O的直徑，ZACB=90 °,AC=AB=6 ;（2） 由（1）可知，AB=12 ,AO=6 ,即 AC=AO , 在 RtAACF 和 RtAAOF 中,（AF=AFt*C=AD RtAACF RtAAOF ,/ FAO=/FAC=30 °,Z DOB=60 °,過點D作DGAB于點G,OD=6 , DG=3'/3,SAACF+SAQFD=SAAOD=-；r><6X3J/3=9',/3 ,2|即陰影部分的面積是 9亞i.類型五、圓與其他知識的綜合運用【答案與解析】延長DB至點E,使BE= DC,連結AE.ABC是等邊三角形，/ACB= /ABC= 60° , AB= AC ./ ADB= Z ACB= 60° 四邊形ABDO圓內(nèi)接四邊形 ./ ABE= / ACD在 AEB和 ADC中， AE® ADC.AE= AD . / ADB= 60° .AED是等邊三角形.AD= DE= DB+ BE BE= DCDB+ DC= DA.【點評】