高等代數(shù)中的反例分析

1、幾何畫板在數(shù)學中的指導作用The Guidance Function of the Geometers Sketchpad in Mathematics 姓 名： 熊 玲 玲 單 位：青山湖區(qū)湖坊鎮(zhèn)李巷小學郵 編： 330029 IV幾何畫板在數(shù)學中的指導作用 熊 玲 玲【內(nèi)容提要】相對于傳統(tǒng)的數(shù)學教學，運用幾何畫板輔助教學，無論是教學模式或是教學效果，都具有很好的指導作用。本文通過對幾何畫板輔助教學優(yōu)勢的介紹，闡述幾何畫板在數(shù)學教學中的應用，同時也提出幾何畫板在數(shù)學教學中存在的問題及其解決方法，這樣使得幾何畫板能夠更好地發(fā)揮其指導作用?！娟P鍵詞】幾何畫板 教學模式 指導作用the Guida

2、nce Function of the Geometers Sketchpad in Mathematics Xiong Lingling【informative abstract synopsis】 Compared with the traditional mathematics teaching, using the geometer's sketchpad auxiliary teaching，whether teaching mode or teaching effect, it has very good guidance function. In this paper，t

3、he author discusses the geometer's sketchpad auxiliary teaching advantages，and also introduces the geometer's sketchpad application of mathematics teaching. In this paper，the author suggests the problems of the geometer's sketchpad mathematics teaching and how to solved them. At last, th

4、e author hopes the geometer's sketchpad can exert its guiding function.【Key words】the geometer's sketchpad teaching mode guidance function目錄1 引言12 幾何畫板的產(chǎn)生背景13 幾何畫板教學與傳統(tǒng)教學的區(qū)別2 3.1 現(xiàn)代數(shù)學課堂教育的情況2 3.2幾何畫板教學在數(shù)學課堂教學的情況34 幾何畫板與現(xiàn)代數(shù)學課堂教學相結(jié)合45 幾何畫板教學的優(yōu)勢55.1幾何畫板方便靈活性55.2 運用幾何畫板解決常見數(shù)學問題76 幾何畫板教學在數(shù)學教學的問題及

5、解決方法87結(jié)束語10參考文獻 111 引言 教育軟件幾何畫板以其學習入門容易和操作簡單的優(yōu)點及其強大的圖形和圖象功能、方便的動畫功能被國內(nèi)許多數(shù)學教師看好，并已成為制作數(shù)學課件的主要創(chuàng)作平臺之一。幾何畫板它以點、線、圓為基本元素，通過對這些基本元素的變換、構(gòu)造、測算、計算、動畫和跟蹤軌跡等方式，能顯示或構(gòu)造出較為復雜的圖形。正是因為幾何畫板的這些特性，相對于其他的幾何教學模式，幾何畫板充分發(fā)揮了將抽象的問題劃具體的優(yōu)勢。運用幾何畫板進行輔助教學，無論是對學生或者是教師，都產(chǎn)生了極大的影響。對學生而言，在傳統(tǒng)的幾何教學中，只憑教師口頭的說教和黑板上呆板的板書是很難體現(xiàn)出情境創(chuàng)設中的懸疑和疑慮效

6、果，也就是說不可能產(chǎn)生強烈的轟動效果和視覺反差，不能給學生留下難忘印象而引起學生的注意 1 。幾何畫板這個軟件則正好給我們提供了這樣的一個平臺，它不僅可以準確地繪制出任意的幾何圖形，而且還可以根據(jù)數(shù)據(jù)的改變，讓學生可以有一個動態(tài)的美的過程，這樣的教學及其容易激發(fā)學生的求知欲望 2 。對教師來說，借助幾何畫板進行教學，不僅僅可以提高教師教學效率，增加課堂教學容量，還可以促使教師以清楚簡便的形式進行教學，大大提高課堂教學效果。所以說使用幾何畫板進行數(shù)學教學，教師可以將抽象的問題具體化，以感性的信息呈現(xiàn)，使學生留下更為深刻的印象，這樣既能激發(fā)學生的求知欲望又培養(yǎng)了學生的興趣，大大的提高了課堂效率。2

7、幾何畫板的產(chǎn)生背景隨著現(xiàn)代科學技術的發(fā)展，計算機已進入我國的教育領域，并逐漸走進課堂 3 。在此過程中教學內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、學生的學習方式、教師的教學方式和師生互動的方式都恰當而有用的使用信息技術，這樣，不僅提高教育教學質(zhì)量，提高課堂教學效果，提高學生學習興趣和參與意識，還激發(fā)學生創(chuàng)新思維 4 。對于數(shù)學學科來說主要是抽象思維和理論思維，這是事實; 但從人類數(shù)學思維系統(tǒng)的發(fā)展來說，形象思維是最早出現(xiàn)的 ，并在數(shù)學研究和教學中都起著重要的作用 5 。不難想象，一個沒有得到形象思維培養(yǎng)的人會有很高的抽象思維、理論思維的能力。同樣，一個學生如果根本不具備數(shù)學想象力，要把數(shù)學學好那也是不可能的。所以教師

8、們選用了幾何畫板進行數(shù)學教學，通過具體的感性的信息呈現(xiàn)，能給學生留下更為深刻的印象，使學生不是把數(shù)學作為單純的知識去理解它，而是能夠更有實感的去把握它。 應用幾何畫板輔助教學，既可以感知知識的形成過程，又能激發(fā)學生的學習興趣 6 。當然，這要從學生的現(xiàn)實教學水平出發(fā)，使學生在直觀與抽象的結(jié)合過程中，像數(shù)學家那樣猜測和想象，然后借助教育技術的力量再進行檢驗和證實。這相對于傳統(tǒng)的教具的應用，借助教育技術可以使整個教學“活”起來，可以更好的向?qū)W生提供直觀、多彩、生動的形象，可以使學生多種感官同時受到刺激，激發(fā)學生學習的積極性。3幾何畫板教學與傳統(tǒng)教學的區(qū)別31傳統(tǒng)數(shù)學課堂教育的情況在傳統(tǒng)的數(shù)學課堂教

9、育中，存在著這樣一些情況:（一）課堂是老師的，學生只是“聽眾” 在傳統(tǒng)的數(shù)學教學課堂里教師的主角意識濃厚，表演欲望過于強烈。老師往往把教學過程看成是學生配合教師完成教案的過程，一定程度上忽視了學生作為學習主體的存在，忽視了學生是重要的課程資源，由于教師課前忽視了對學生情況的分析，所設定的教學起點，與實際的教學起點有時不相吻合。好多教師視教材為金科玉律，不敢越雷池一步，把毫無遺漏、毫不越位地傳授教材內(nèi)容視為課堂教學目的，使教材成為禁錮學生自由創(chuàng)造、大膽創(chuàng)新的枷鎖 7 。 （二）老師課堂教學模式固定，一切跟著教案走  傳統(tǒng)的課堂教學中教師的“教”是照本宣科，教師只把學生當作接受知識的容器

10、，由于受教學活動計劃性、預設性的影響，學生和教師的活動總是受教案的束縛，教師不敢越出“教案”半步。教師的教和學生的學在課堂上最理想的進程是完成教案。教師總是希望學生能夠按照自己課前設計好的教學方案去展開教學活動，當學生的思路與教案不吻合時，教師往往會千方百計地把學生的思路“拉”回來。教師期望的是學生按教案設想作出回答，努力引導學生得出事前預定的答案。在整個教學過程中看不到教師的隨機應變，看不到對學生思維出現(xiàn)阻礙時的點撥。整個教學關系就是：我講，你聽；我問，你答；我寫，你抄；我給，你收。學生的學習始終處于被動應付狀態(tài)。學生缺少自主探索、合作交流、獨立獲取知識的機會，很少有機會表達自己的理解和意見

11、，致使課堂氣氛沉悶、封閉。 （三）注重結(jié)果，缺乏探究精神傳統(tǒng)的課堂教學是一種以知識為本位的教學，這種教學在強化知識的同時，為了完成認知目標，而抹殺學生的創(chuàng)造性，忽視學生的情感。 “重結(jié)果輕過程”是當今課堂教學中一個十分突出的問題，也是一個十分明顯的教學弊端。所謂重結(jié)果就是教師在教學中只重視知識的結(jié)論、教學的結(jié)果，忽略知識的來龍去脈，有意無意壓縮了學生對新知識學習的思維過程。教師在預設教學過程時考慮最多的就是應該如何將知識講清楚、講明白、講透徹。多少年來，課堂教學所追求的是循著課前精心設計的教學程序，采用一連串的追問，牽著學生亦步亦趨地接受一個又一個結(jié)論。在問題的設計上，往往過細、過窄、缺乏思考

12、價值，當學生對問題的回答正是所期望得到的答案時，教師便會立即抓住，如獲至寶地加以肯定或贊揚。于是，對某個問題的討論也就此畫上了句號。即便教師提出的問題具有一定的思維空間，但常常又不能給學生充足的思考時間，這無疑在客觀上阻礙了學生思維獨立性與創(chuàng)造性的培養(yǎng)與發(fā)展，致使學生在思考問題方面存在著比較嚴重的模仿性和依賴性。學生沒有能夠切身體會到學習知識的過程，沒有從學習新的知識里得到樂趣。 32幾何畫板教學在數(shù)學課堂教學的情況（一）有利于設置良好的教學情境在教學中創(chuàng)設一個良好的教學情境是相當重要的，數(shù)學教學也是如此。運用幾何畫板進行教學，使學生由過去枯燥乏味的“聽數(shù)學”轉(zhuǎn)變?yōu)檎嬲摹白鰯?shù)學”，從而實現(xiàn)由

13、“要我學”到“我要學”的過渡。借助于幾何畫板，我們不但可以把很多數(shù)學概念的形成過程充分地“暴露”出來，隨時看到各種情形下的數(shù)量關系的變化，而且還可以把“形”和“數(shù)”的潛在關系及其變化動態(tài)的顯現(xiàn)在屏幕上，甚至可以根據(jù)需要對這個過程進行控制，學生也通過觀察的過程、制作的過程、比較的過程，產(chǎn)生他的經(jīng)驗體系，形成他的認知結(jié)構(gòu)，從而更好地完成整個認知過程。（二）有利于體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想把數(shù)形結(jié)合的思想貫徹于數(shù)學學習過程的始終是學好數(shù)學的關鍵之一。幾何畫板能夠簡單快捷地畫出各種幾何圖形，而且其中的測算功能迅速地測量出圖形的長度、角度、面積等，并能進行各種復雜的計算。利用圖形的運動和顯示出來的數(shù)據(jù)，則能充分

14、有效地把圖形與數(shù)值結(jié)合起來，體現(xiàn)了幾何畫板在數(shù)形結(jié)合上的優(yōu)勢，這是以往其它任何教學方式所無法達到的境地。4 幾何畫板教學與現(xiàn)代數(shù)學課堂教學相結(jié)合（一）運用幾何畫板講授抽象數(shù)學概念針對現(xiàn)如今的生的實際學習情況，課本的有些概念對生來說，可能是還不理解的，尤其是些抽象的概念，比如說“軸對稱”概念?？赡軅鹘y(tǒng)的教學模式是教師在黑板上畫出兩個全等的圖形，在這兩個全等的圖形的正中央畫一條直線，再告訴學生們，這樣的圖形，我們叫做軸對稱圖形。這樣的講解方式，讓學生們很不好接受，甚至可能會弄錯。但利用幾何畫板進行教學，可能會讓學生更好接受這個概念。我們可以先畫好一條直線，在直線的一側(cè)任意的畫出一個圖形，利用幾何畫

15、板中的反射，就可以做出軸對稱圖形。甚至可以快速的改變形狀，畫出多個軸對稱圖形來（見圖一）。這樣的教學模式，學生們一點不覺得枯燥，他們在老師的指導和啟發(fā)下，始終興趣盎然地在認真觀察、主動思考，并逐一找出了對稱點與對稱軸、對稱線與對稱軸之間的關系，并很自然地發(fā)現(xiàn)了軸對稱的三個基礎性質(zhì)和理解了相應的定理8。（圖一）（二）運用幾何畫板做“數(shù)學實驗”幾何畫板可以為做“數(shù)學實驗”提供理想環(huán)境。用畫板幾分鐘就能實現(xiàn)動畫效果，還能動態(tài)測量線段的長度和角的大小，通過拖動鼠標可輕而易舉地改變圖形的形狀，因此完全可以利用畫板讓學生做“數(shù)學實驗”。例如，為了讓學生較深刻地理解兩個直角三角形全等的條件，可以讓學生利用幾

16、何畫板做一次這樣的數(shù)學實驗：在該試驗中，學生可通過任意改變線段的長短和通過鼠標拖動端點來觀察兩個三角形的形態(tài)變化，讓學生可以直觀而自然地概括出直角三角形全等的判定公理（見圖二）9。這樣學生對該定理的理解與掌握要比傳統(tǒng)教學深刻的多。(圖二)5 幾何畫板教學的優(yōu)勢51幾何畫板的方便靈活性（一）簡便快捷的畫出所需的標準圖形幾何畫板是以點、線、圓為基本元素，來構(gòu)造圖形，即提供了計算機上的尺規(guī)作圖，因此能畫任意一種幾何圖形，而且能夠準確的表現(xiàn)幾何對象。并且?guī)缀萎嫲宀粌H僅是畫出平面幾何圖形，空間立體幾何也可以（見圖三）。（圖三）（二）圖形變換功能幾何畫板提供了平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、反射等圖形變換功能，這些功能

17、便于與我們學習一些抽象的概念及其有幫助，如軸對稱的概念，全等的概念以及相似的概念等（見圖四）。（圖四）（三）準確迅速的計算出長度、弧長、角度、面積等幾何畫板有測量和計算功能，能夠?qū)λ龀龅膶ο筮M行度量，如線段的長度、弧長、角度、面積等（見圖五），還能夠?qū)y量的值進行計算，包括四則運算、函數(shù)運算，并把結(jié)構(gòu)動態(tài)的顯示在屏幕上。當用鼠標拖動任意一個對象使其變動時，顯示出這些幾何對象大小的量也隨之改變。（圖五）（四）跟蹤圖像的痕跡我們可以運用動態(tài)控制含若干個參數(shù)的函數(shù)圖像，隨著參數(shù)值的變化，圖像的形狀也跟著變動，進而追蹤圖像上的一個點或者一條線畫出相對應函數(shù)圖像。并且，可以改變函數(shù)的表達式，得出一系列

18、有關痕跡的問題（見圖六）。（圖六）幾何畫板有強大的教學功能，能很好的和數(shù)學教學相結(jié)合。在利用幾何畫板探索數(shù)學奧秘的過程中，數(shù)形結(jié)合使人恍然大悟，發(fā)現(xiàn)規(guī)律讓人欣喜莫名，數(shù)理綜合更叫人耳目一新，師生們從內(nèi)心的創(chuàng)造和體驗中領悟到數(shù)學的真諦。52 運用幾何畫板解決常見數(shù)學問題（一）畫圖類問題如何在短時間內(nèi)畫出標準的圖形，是幾何教學的一個難點。以往，教師們通過粉筆和三角板來畫相應的圖形，為了畫好圖形，花費了不少課堂時間。但是運用幾何畫板就可以很好的解決這個問題。例如，畫一個指數(shù)函數(shù)圖像，我們只需要點點鼠標就可以了，并且通過拖動鼠標還可以改變其大小和位置關系（見圖七）。（圖七）（二）函數(shù)類問題對于整個，大

19、部分的學生都會覺得函數(shù)是個難點。對于以往的數(shù)學課堂教學，很難將抽象的函數(shù)問題給具體化，使得整個課堂枯燥無味，難以將學生的積極性給調(diào)動起來。運用幾何畫板，可以用讓學生自己動手，親自來發(fā)現(xiàn)函數(shù)中相關概念以及性質(zhì)。例如，里的二次函數(shù)中的問題，對于(其中a0)，要掌握系數(shù)a，b，c與二次函數(shù)的關系，應用幾何畫板，只需要將a，b，c的系數(shù)進行更改，根據(jù)圖像的變化，就可以總結(jié)出相應的規(guī)律（見圖八）9。（圖八）（三）空間幾何類問題在空間幾何問題中，常常需要我們求類似于異面直線平行或垂直、二面角等的問題，往往由于學生們無法想象，故而不好求解。借用幾何畫板就可以很好的將難于想象的二面角直接畫出來。幾何畫板可以通

20、過旋轉(zhuǎn)圖像，使得所需求的二面角簡單明了（見圖九求二面角CEFC）。（圖九）6 幾何畫板在數(shù)學教學的問題及解決方法通過幾何畫板輔助教學將計算機技術融合到數(shù)學教學中，成為教學的有機組成部分，這樣要求教師不僅要熟練掌握技術手段，了解計算機進入數(shù)學教學的優(yōu)勢和局限性，更重要的是要深刻了解教育的本質(zhì)，了解本學科教學的教學目的，了解教學中的重、難點所在，了解傳統(tǒng)教學的優(yōu)點和局限性，了解所授課班級的學生綜合素質(zhì)，結(jié)合技術所提供的能力選擇最佳組合，更好地進行教學活動。 那么，在運用幾何畫板進行教學的時候，會存在怎樣的問題呢10？（一）過分花哨的動畫分散了學生的注意力在教學中，有的教師過多追求數(shù)學課件的趣味性、

21、新穎性，而忽略了教學本身的功能11。幾何畫板固然有強大信息處理功能，但學生的接受能力是有限的，尤其是數(shù)學課，需要學生進行思維活動，若同時呈現(xiàn)信息過多，會分散學生的注意力。運用幾何畫板進行輔助教學，可能會使課件制作得太過華麗，令人眼花繚亂：時而制作一些動畫，時而演示運動軌跡，使數(shù)學課成了圖形功能展覽，這樣不僅不能增強教學效果，反而干擾了課堂教學。因此數(shù)學教學部應該過分追求畫面的美觀和所謂的技術含量，而忽略了教學質(zhì)量的提高。解決方法：教師在課堂上的主導地位仍是不可替代的。事實上，由于運用幾何畫板，使得了傳統(tǒng)教學中一些機械工作，如一些畫圖的步驟省略了，使教師有更充分的時間和精力去做別的工作，投入到引

22、導學生的思維中去。在課件的創(chuàng)作中，教師要注意實用性與趣味性的結(jié)合，堅持教學效果優(yōu)先的原則，重視教學質(zhì)量的提高。（二）過多的演示削弱了學生動手操作的能力，剝奪了學生抽象思維的過程目前一些教師應用教育技術輔助教學就是在電腦前點點鼠標，甚至連板書也由電腦完全代替，這樣脫離實際的教學是沒有生命力的，還有些教師強調(diào)了教師傳授為主導，片面追求課堂容量，僅僅利用了幾何畫板快速出題，快速解答，快速評價反饋的功能。更有甚者，教師替代學生解答，把本來應該學生自己親自動手的練習內(nèi)容，制成課件，用于演示播放。在提高效率的同時，減少了學生自主的活動，壓抑了學生的解體靈感。解決方法：教師必須充分考慮學生的需要和接受能力，

23、作為教師，應該對課件的內(nèi)容加以精選，在課件保持新穎性的同時有意加強學生抽象思維的訓練。一般來說，教材中難以用言語表達的，學生缺少感性認識而難以領悟的，其他媒體無法呈現(xiàn)的，介入幾何畫板就能起到很好的作用。就高中數(shù)學教材來說，代數(shù)中的函數(shù)圖像，三角函數(shù)，特別是正余弦函數(shù)的圖像變換，復數(shù)運算的幾何意義，立體幾何問題，解析幾何問題等等，這些內(nèi)容都比較的抽象，對于生理解起來比方便，但運用幾何畫板就可以大大的解決這方面的問題，完全可以將這些抽象的知識具體化。（三）對于容量較大的課時，學生短時間接受的效果明顯，然而形成書面的知識太少，不利于復習和鞏固。這點在高階段教學特別是在復習課中尤為明顯，高階段教學內(nèi)容多，每節(jié)課的知識容量都很大，應用教育技術輔助教學效果在短時間內(nèi)比較明顯，學生接受情況良好，然而學生能形成的書面知識比較少，隨著時間的流逝，很多原本掌握的知識也隨之流失了。解決方法：利用教育技術輔助教學應遵循因材施教的原則，該用則用。數(shù)學例題的講解，教師不可能知道所有學生的想法和做法，單靠多媒體顯然是遠遠不夠的，因此有些必要的分析和歸納過程和運算推理過程還應通過板書充分地暴露給學生。使計算機在課堂教學中真正體現(xiàn)輔助的作用，