高等數(shù)學知識在生物化學工程中的應用舉例

1、高等數(shù)學知識在生物化學工程中的應用舉例高等數(shù)學是生命科學學院校開設的重要基礎課程，數(shù)學方法為生物化學的深入研究發(fā)展提供了強有力的工具。下面僅舉一些用高等數(shù)學基礎知識解決生物化學工程中的一些實際問題的例子，旨在啟發(fā)學生怎樣正確理解和鞏固加深所學的知識，并且強化應用數(shù)學解決實際問題的意識。例1 在化工原理中常用的柏努利方程式中的應用化工生產(chǎn)過程中常于密閉管道內(nèi)輸送液體，使液體流動的主要因素有（1）流體本身的位差；（2）兩截面間的壓強差；（3）輸送機械向流體外作的外功。流動系統(tǒng)的能量衡量常用柏努利方程式，下面來介紹柏努利方程式。定態(tài)流動時液體的機械能衡量式為 （1）該式隊可壓縮液體和不可壓縮液體均適

2、用。對不可壓縮液體，（1）式中項應視過程性質（等溫、絕熱或多變過程）按熱力學原則處理，對不可壓縮液體，其比容或者密度為常數(shù)，故，代入（1）式有：或 （2）（2）式稱為柏努利方程式。需要注明的是，為動能，為位能，為靜態(tài)能，為有效能，為能量損耗，為高度差。例2 混合氣體粘度的計算常溫下混合氣體的計算式為 （3）其中為常溫下混合氣體的粘合度（Pa.s）；為純組分i的摩爾分率；為混合氣體的溫度下，純組分i的粘度（Pa.s）；為組分i的分子量（Kg/kmol）。例如：空氣組分約為（均為體積積分率），試利用的粘度數(shù)量，計算常溫下時空氣的粘度？解：常溫下空氣可視為理想氣體，故各組分的體積積分率等于摩爾分率，

3、的分子量分別為32，28及39.9，經(jīng)查表知道常溫下時各組分的粘度為代入（3）式計算空氣的粘度，即例3. 在細胞生長計算中的應用隨著細胞的生成繁殖，培養(yǎng)基中的營養(yǎng)物質被消耗，一些有害的代謝產(chǎn)物在培養(yǎng)液中累積起來，細胞的生長速度開始下降，最終細胞濃度不再增加，進入靜止期，在靜止期細胞的濃度達到最大值。如果細胞的生長速率的下降是由于營養(yǎng)物質的消耗造成的，可以通過以下的分析來統(tǒng)計分批培養(yǎng)可能達到的最大細胞濃度。設限制性基質為A，其濃度為a，且A的消耗速度與細胞濃度成正比： （4）（4）式中為常數(shù)，假定接種后培養(yǎng)液中細胞濃度為，且立即進入指數(shù)生長階段，且一直保持到靜止期，則 （5） 其中為分批培養(yǎng)達到

4、的最大細胞濃度，即A完全耗盡時細胞濃度，由（3）式和（4）式可得整理得 也就是說分批培養(yǎng)過程中獲得的最大細胞濃度與限制性基質的廚師濃度存在著線性關系。如果細胞及生長速度的下降是由于有害物質的積累，可以認為1-f(有害物質濃度)為方便起見，假定細胞生長速率與有害物質濃度有線性關系 （5） 其中k, b為常數(shù)，為有害物質濃度。由于有害物質有細胞產(chǎn)生，可以認為 t=0時，=0 （6） 式中q為常數(shù)，由（6）式可得，代入（5）式有： 因此有效生長速度為 隨著時間急劇下降，當時，細胞的生長停止。例4 細胞團內(nèi)的氧傳遞細胞集成團時，氧在細胞團中邊擴散邊備細胞消耗，為方便起見，把細胞團看作一個均勻的耗氧球體

5、，設它的半徑為R，密度為，取其半徑為r，厚度為dr的一層球殼進行穩(wěn)態(tài)時的物料衡量其中D為氧在細胞內(nèi)的擴散系數(shù)，C為半徑r處的氧濃度，將上式整理，可得到當時，因此 （7）細胞的比耗氧速率與耗氧濃度的關系適用米氏方程式中為最大耗氧速率，為米氏常數(shù)，代入（7）式中，有 （8）邊界條件為 r=R時， R=0時，取代入（8）式，有 （9）其中。邊界條件則改為 x=1時，y=1 x=0時，。設細胞團的表現(xiàn)比耗氧速率為，整理得 ，（9）式可寫作 ，因此有若取細胞團表面的比耗氧速率作為比較，則細胞元的耗氧有效因子為，a則反映了細胞團中最大反應速率與最大傳輸速率之比，反應速率越大，傳遞速率越小，細胞團內(nèi)部缺氧就

6、越重，有效因子也就越低。例5 在中心導體模型中的應用長柱狀細胞，如神經(jīng)軸突和肌纖維細胞，其長度尺寸遠大于細胞直徑，電流橫跨細胞膜的電阻往往比朱莊方向流經(jīng)一段細胞內(nèi)介質所代表的中心電阻高出很多，從而細胞流內(nèi)流動的電流在溢出膜以前在柱軸方向內(nèi)部導體中流過相當長距離，這種中心導體概念成為用電纜理論分析長纖維狀細胞中電流、電位分布的基礎。若設為單位長膜電阻，為單位長膜電容，分別為胞內(nèi)、外液單位長介質電阻。令胞內(nèi)、外電位分別為，于是膜兩側電位差。經(jīng)推導可得： 令 則得到標準的電纜方程形式： 若細胞膜處于電絕緣狀態(tài)，單位長度膜面積上的電流，即=0，上式成為一階常微分方程：解得：，其中為t=0時的值。顯然時

7、間常數(shù)表征均勻膜電位差的自然衰減性質。對非均勻性質莫而言，的被動衰減較為復雜，僅是一個主要衰減因子。當輸入為直流穩(wěn)態(tài)電壓時，上式簡化為。如果在x=0處維持，其余地方均不加任何電壓，即處為有限值，則方程的解為。描述了中心導體中電壓穩(wěn)態(tài)分布將隨距離而自然衰減。對于到的雙無限長電纜，x=0處維持穩(wěn)定值要求外加電流加倍。無限與半無限長電纜上的穩(wěn)態(tài)分布，為實驗確定細胞參數(shù)提供了依據(jù)。例6 在動力學猝滅與靜態(tài)猝死中的應用激發(fā)態(tài)分子或熒光團由于加入像I與等猝死劑，彼此發(fā)生碰撞而造成熒光的猝死，又叫做動力學猝死或動態(tài)猝滅。這種猝死服從Stern-Volmer方程。此方程從熒光量子效率或從激發(fā)衰變率都可導出。若

8、r為衰變率，則其與有猝滅劑時的總衰變率的比值即或者寫成 (10)式中分別為沒有和有猝死時的熒光，Q為猝滅劑的濃度，為雙分子猝死常數(shù)，是熒光團在無猝滅劑時的熒光壽命，就是Stern-Volmer猝滅常數(shù)，這說明熒光團的壽命愈長，它與猝滅劑碰撞的幾率。此幾率則決定于它們的擴散速率、分子大小與濃度等：D為熒光團與猝滅劑擴散系數(shù)之和，a為分子半徑之和，A為亞氏常數(shù)，測定可以給出擴散系數(shù)的情況。測定最好用熒光壽命而不用熒光強度，因為后者可能被其他因素干擾，其中一種就是下面要敘述的靜態(tài)猝滅。碰撞猝滅可使激發(fā)態(tài)去布局(depopulation)，若激發(fā)態(tài)在有和無猝滅劑時的壽命分別為，則因此， (11)此式與

9、(10)式相似。它說明動態(tài)猝死的一個重要特性，即熒光強度的降低與熒光壽命的減少是等價的。因為的測定較方便，通常還是常用此參量。又因為的猝滅劑濃度呈線性關系，所以對Q左圖可得到一條直線，其斜率就等于或，從而可得到猝滅常數(shù)的數(shù)值。Stern-Volmer的線性關系只適用于溶液中只有一類熒光團的情況，并且它們對猝滅劑易感性是相同的。若細筒中含有兩類熒光團，并且其中只有一類對猝滅劑易感，則用Stern-Volmer方程得到的是像X軸彎曲的曲線。靜態(tài)猝死是熒光團與猝滅劑在基態(tài)時就形成的不發(fā)熒光的絡合物，當此絡合物種熒光團吸收光能激發(fā)時，即刻回到基態(tài)而不發(fā)光，所以此時熒光強度與猝滅劑濃度的關系可從絡合物形

10、成時的絡合常數(shù)（）推導出來。靜態(tài)猝滅的方程式與動態(tài)猝滅相似，只是在此以代替，則有若在一溶液中同時存在靜態(tài)和動態(tài)猝死，這時S-V曲線就是向Y軸彎曲的曲線。因為發(fā)光的分數(shù)是未絡合的部分(f)以及未被碰撞猝滅的部分兩者的乘積，因此而，則： 這個修改過的Stern-Volmer方程是Q的二次方程 令 則 用對Q作圖亦可得到一條直線，此直線的截距為，斜率為。至于動態(tài)部分則可用來測定，即。例7 在三維重建中的應用目前用于研究三維重建的生物原料有單科蛋白、噬菌體、單純皰疹病毒核衣殼和膜蛋白結晶體，從二維投影到三維重構的方法很多，但最適于TEM的方法是傅里葉變換，下面分別介紹： (1) 傅里葉變換若函數(shù)f(x

11、)滿足傅氏積分定理的要求，則在其連續(xù)處有若令 頻域則 空域（時域）則和f(x)可通過積分相互表達，稱為傅里葉變換對。若擴展到三維，和f(x,y,z)也一樣是傅里葉變換對。三維重構的目的是要得到f(x,y,z)，如能得到，則可通過傅氏變換的到f(x,y,z)。電鏡的二維圖像相當于s(x,y)通過傅氏變換得到，如果能在和之間建立聯(lián)系，則問題得到解決。(2) 中央界面定理(central slice theorem)一個無力二維投影的傅里葉變換嚴格等于該物體的三維傅里葉變換中與投影方向垂直的通過原點的截面（中央界面）。這個定理告訴我們，二維投影的傅里葉變換是三維傅里葉變換的一個特例?？删唧w為，假設物

12、體二維投影以下面的函數(shù)表示：令其二傅里葉變換為，則有令樣品二維像f(x,y,z)的三維傅里葉變換為，則有當時，得到軸的傅里葉空間中間界面。根據(jù)上等式可得到所以=。這就證明了物體在z方向的投影的二維傅里葉變換與其三維像f(x,y,z)的三維傅里葉變換在時的截面相等。如果我們能得到各個方向投影的一系列，就可以整合出F。再利用傅里葉變換的反變換，就可以從頻率域回到空間域重建出樣品的三維圖像以上是重建的基本理論。(3) 三維重建的步驟首先要確定三維重建需要收集的中央截面數(shù)，從一系列傾角觀察面進行收集。如Henderson等對6R分子進行0.7nm分辨率的三維重購時就從傾角范圍內(nèi)記錄了18張樣品照片，1

13、5張電子衍射圖。通常獲得一個分辨率為的結構所需要的最少觀察面數(shù)N由下式給出：式中D為樣品的線度。如前所述，在電子衍射圖中，由于透過樣品的電子束直接落在照相底片上，不受電鏡分辨率的約束，因此根據(jù)規(guī)則的電子衍射花樣，可精確計算出結構因子的振幅，而從高分辨電子顯微鏡的密度分布可容易計算出相位。為了從照片中抽取出結構信息，需要進行傅里葉變換。實驗中是將電鏡照片通過光學衍射儀完成如下公式：的傅里葉變換，產(chǎn)生明顯的晶體衍射圖，即從像平面返回到衍射平面，由此得到相應的像素（點陣），再利用光密度掃描儀掃描，即得到密度的傅里葉變換。最終把電鏡圖像轉化成數(shù)字信號。 綜合從電子衍生圖得到的傅里葉項振幅和從電鏡顯微像得到的相位，再經(jīng)傅里葉合成得到晶體的一個晶電子密度圖。 由電子光學線性成像原理可知，電子波經(jīng)過薄晶樣品以后，攜帶了樣品沿電子束方向投影信息，衍射到達物鏡的后焦面，這個過程在數(shù)學上等于進行了一次傅里葉變換，也就是說在TEM物鏡后焦面上得到的電子衍射像就是前述的，只要改變樣品的傾角就可以得到一系列的。根據(jù)中央界面定理就可以得到，再通過傅里葉的反變換則得到f(x,y,z)。例8 在振動光譜中的應用一般說來，蛋白質