八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)反比例函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納和典型例題2

1、反比例函數(shù)學(xué)問(wèn)點(diǎn)歸納和典型例題（一） 學(xué)問(wèn)結(jié)構(gòu)（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1懂得并把握反比例函數(shù)的概念，能依據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的條件確定反比例函數(shù)的解析式 yk （ k 為常數(shù)，），能判定一個(gè)給定函數(shù)是否為反比例函數(shù)x2能描點(diǎn)畫(huà)出反比例函數(shù)的圖象，會(huì)用代定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，進(jìn)一步懂得函數(shù)的三種表示方法，即列表法、解析式法和圖象法的各自特點(diǎn)3能依據(jù)圖象數(shù)形結(jié)合地分析并把握反比例函數(shù)yk （ k 為常數(shù)，）的函x數(shù)關(guān)系和性質(zhì)，能利用這些函數(shù)性質(zhì)分析和解決一些簡(jiǎn)潔的實(shí)際問(wèn)題4對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，能 “找出常量和變量，建立并表示函數(shù)模型，爭(zhēng)論函數(shù)模型，解決實(shí)際問(wèn)題 ”的過(guò)程，體會(huì)函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)

2、模型5進(jìn)一步懂得常量與變量的辨證關(guān)系和反映在函數(shù)概念中的運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)，進(jìn)一步熟悉數(shù)形結(jié)合的思想方法（三）重點(diǎn)難點(diǎn)1重點(diǎn)是反比例函數(shù)的概念的懂得和把握，反比例函數(shù)的圖象及其性質(zhì)的懂得、把握和運(yùn)用2難點(diǎn)是反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)的懂得和把握二、基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)（一）反比例函數(shù)的概念1 yk （）可以寫(xiě)成（）的形式，留意自變量x 的指數(shù)為，x在解決有關(guān)自變量指數(shù)問(wèn)題時(shí)應(yīng)特殊留意系數(shù)這一限制條件；2 yk （）也可以寫(xiě)成 xy=k 的形式，用它可以快速地求出反比例函數(shù)解x析式中的 k，從而得到反比例函數(shù)的解析式；3反比例函數(shù) yk 的自變量，故函數(shù)圖象與x 軸、 y 軸無(wú)交點(diǎn)x（二）反比例函數(shù)的圖象在用描點(diǎn)法

3、畫(huà)反比例函數(shù)yk 的圖象時(shí)，應(yīng)留意自變量 x 的取值不能為 0，x且 x 應(yīng)對(duì)稱(chēng)取點(diǎn)（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)） （三）反比例函數(shù)及其圖象的性質(zhì)1函數(shù)解析式：yk （）x2自變量的取值范疇：3圖象：（ 1）圖象的外形：雙曲線(xiàn)越大，圖象的彎曲度越小，曲線(xiàn)越平直越小，圖象的彎曲度越大（ 2）圖象的位置和性質(zhì)：與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，稱(chēng)兩條坐標(biāo)軸是雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)當(dāng)時(shí)，圖象的兩支分別位于一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi)， y 隨 x 的增大而減?。划?dāng)時(shí)，圖象的兩支分別位于二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi)， y 隨 x 的增大而增大（ 3）對(duì)稱(chēng)性：圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即如（a， b）在雙曲線(xiàn)的一支上，就（，）在雙曲線(xiàn)的另一支上圖象關(guān)于直線(xiàn)

4、對(duì)稱(chēng)，即如（ a，b）在雙曲線(xiàn)的一支上，就（，）和（，）在雙曲線(xiàn)的另一支上4 k 的幾何意義如圖 1，設(shè)點(diǎn) p（a， b）是雙曲線(xiàn) yk 上任意一點(diǎn)，作pa x 軸于 a 點(diǎn)，xpb y 軸于 b 點(diǎn)，就矩形 pboa的面積是 k （三角形 pao 和三角形 pbo 的面積都是1 k ）2如圖 2，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，p 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)q 也在雙曲線(xiàn)上，作 qc pa 的延長(zhǎng)線(xiàn)于 c，就有三角形 pqc 的面積為 2 k 圖1圖25說(shuō)明：（ 1）雙曲線(xiàn)的兩個(gè)分支是斷開(kāi)的，爭(zhēng)論反比例函數(shù)的增減性時(shí)，要將兩個(gè)分支分別爭(zhēng)論，不能一概而論（ 2）直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的關(guān)系：當(dāng)時(shí)，兩圖象沒(méi)有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩圖

5、象必有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)（ 3）反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系（四）實(shí)際問(wèn)題與反比例函數(shù)1求函數(shù)解析式的方法：（ 1）待定系數(shù)法；（2）依據(jù)實(shí)際意義列函數(shù)解析式2留意學(xué)科間學(xué)問(wèn)的綜合，但重點(diǎn)放在對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)的爭(zhēng)論上（五）充分利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題三、例題分析1反比例函數(shù)的概念（1）以下函數(shù)中， y 是 x 的反比例函數(shù)的是（）a y=3xby-3=2xc 3xy=1dy=x2（ 2）以下函數(shù)中， y 是 x 的反比例函數(shù)的是（）abcd 答案：（ 1）c；（ 2） a2圖象和性質(zhì)（ 1）已知函數(shù)是反比例函數(shù)，如它的圖象在其次、四象限內(nèi)，那么k=如 y 隨 x 的增大而減小，

6、那么k=（ 2）已知一次函數(shù)y=ax+b的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，就函數(shù)象位于第 象限yab 的圖 x（ 3）如反比例函數(shù)yk 經(jīng)過(guò)點(diǎn)（， 2），就一次函數(shù)的圖象肯定不x經(jīng)過(guò)第 象限（ 4）已知 a·b 0，點(diǎn) p（a，b）在反比例函數(shù) y不經(jīng)過(guò)的象限是（）a 的圖象上，就直線(xiàn)xa第一象限b其次象限c第三象限d第四象限（ 5）如 p（2，2）和 q（m ，）是反比例函數(shù) y函數(shù) y=kx+m的圖象經(jīng)過(guò)（）k 圖象上的兩點(diǎn)，就一次xa第一、二、三象限b第一、二、四象限c第一、三、四象限d其次、三、四象限（ 6）已知函數(shù)和 yk（ k0），它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的圖象大致是（ ）xabcd

7、答案：（ 1）1；（2）一、三；（ 3）四；（ 4）c；（5） c；（6）b 3函數(shù)的增減性（ 1）在反比例函數(shù) yk k<0的圖象上有兩點(diǎn)，且，x就的值為（）a 正數(shù)b負(fù)數(shù) c非正數(shù)d非負(fù)數(shù)（ 2）在函數(shù)（a 為常數(shù)）的圖象上有三個(gè)點(diǎn)，就函數(shù)值、的大小關(guān)系是（）abcd（ 3）以下四個(gè)函數(shù)中：；y 隨 x 的增大而減小的函數(shù)有（）a 0個(gè)b 1個(gè)c2個(gè)d 3個(gè)（ 4）已知反比例函數(shù)yk 的圖象與直線(xiàn) y=2x 和 y=x+1 的圖象過(guò)同一點(diǎn)，就當(dāng)xx 0時(shí)，這個(gè)反比例函數(shù)的函數(shù)值y 隨 x 的增大而（填“增大”或“減小”）答案：（1）a；（ 2）d；（ 3） b留意，（3）中只有是符合

8、題意的，而是在“每一個(gè)象限內(nèi) ”y 隨 x 的增大而減小（ 4）直線(xiàn) y=2x 和 y=x+1 的圖像過(guò)同一點(diǎn)就聯(lián)立方程組得y2xyx1解得 x=1y=2由于 y=k/x 也過(guò)這一點(diǎn)所以代入 y=k/x 得2=k/1k=2所以 y=2/x由于 2>0所以當(dāng) x>0時(shí)，這個(gè)反比例函數(shù)值y 隨 x 的增大而減小4解析式的確定（ 1）如與1 成反比例，與x1 成正比例，就 y 是 z 的（）za正比例函數(shù)b反比例函數(shù)c一次函數(shù)d不能確定（ 2）如正比例函數(shù) y=2x 與反比例函數(shù) yk 的圖象有一個(gè)交點(diǎn)為（2，m），就xm= ，k=，它們的另一個(gè)交點(diǎn)為 （ 3）已知反比例函數(shù) ym的圖象

9、經(jīng)過(guò)點(diǎn)，反比例函數(shù)2xym 的圖象在第 x二、四象限，求的值（ 4）已知一次函數(shù)y=x+m與反比例函數(shù) y內(nèi)的交點(diǎn)為 p（ x 0 ， 3）m1 （）的圖象在第一象限x求 x 0 的值；求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式（ 5）為了預(yù)防 “非典”，某學(xué)校對(duì)教室采納藥薰消毒法進(jìn)行消毒 已知藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量 y （毫克）與時(shí)間x （分鐘）成正比例，藥物燃燒完后， y 與 x 成反比例（如下列圖） ，現(xiàn)測(cè)得藥物8分鐘燃畢，此時(shí)室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為 6毫克 請(qǐng)依據(jù)題中所供應(yīng)的信息解答以下問(wèn)題：藥物燃燒時(shí) y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式為 ，自變量 x的取值范疇是 ；藥物燃燒后 y

10、 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式為 爭(zhēng)論說(shuō)明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時(shí)同學(xué)方可進(jìn)教室，那么從消毒開(kāi)頭，至少需要經(jīng)過(guò) 分鐘后，同學(xué)才能回到教室； 爭(zhēng)論說(shuō)明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且連續(xù)時(shí)間不低于10分鐘時(shí)，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？答案：（ 1）b；（2） 4，8，（，）；（ 3）依題意，且，解得（ 4）依題意，解得一次函數(shù)解析式為，反比例函數(shù)解析式為（ 5），； 30 ；消毒時(shí)間為（分鐘），所以消毒有效5面積運(yùn)算（ 1）如圖， 在函數(shù)y3 的圖象上有三個(gè)點(diǎn)a、b、c，過(guò)這三個(gè)點(diǎn)分別向x 軸、xy 軸作垂線(xiàn)，過(guò)每一點(diǎn)所作的兩條垂線(xiàn)段與x 軸、

11、y 軸圍成的矩形的面積分別為、，就（）abcd第（ 1）題圖第（ 2）題圖（ 2）如圖， a、b 是函數(shù)y1 的圖象上關(guān)于原點(diǎn)o 對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)， ac/y 軸，xbc/x軸， abc 的面積 s，就（ ）a s=1b 1s 2c s=2ds 2（ 3）如圖， rt aob 的頂點(diǎn) a 在雙曲線(xiàn) ym 上，且 saob=3 ，求 m 的值x（ 4）已知函數(shù)第（ 3）題圖第（ 4）題圖y4 的圖象和兩條直線(xiàn)y=x，y=2x 在第一象限內(nèi)分別相交于p1x和 p2 兩點(diǎn)，過(guò) p1分別作 x 軸、y 軸的垂線(xiàn) p1q1 ，p1r1 ，垂足分別為q1 ，r1 ，過(guò) p2 分別作 x 軸、y 軸的垂線(xiàn) p

12、2 q 2 ， p2 r 2，垂足分別為q 2， r 2 ，求矩形 o q 1p1 r 1 和 o q 2p2 r 2 的周長(zhǎng)，并比較它們的大小（ 5）如圖，正比例函數(shù)y=kx （k 0）和反比例函數(shù)y1 的圖象相交于a、cx兩點(diǎn)，過(guò) a 作 x 軸垂線(xiàn)交 x 軸于 b，連接 bc，如abc面積為 s，就s=第（ 5）題圖第（ 6）題圖（ 6）如圖在 rt abo中，頂點(diǎn) a 是雙曲線(xiàn)與直線(xiàn)在第四象限的交點(diǎn)， ab x 軸于 b 且 sabo=求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；求直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn)a、c 的坐標(biāo)和 aoc 的面積（ 7）如圖，已知正方形oabc的面積為 9，點(diǎn) o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)a、c

13、 分別在x 軸、y 軸上，點(diǎn) b 在函數(shù) yk （k0，x 0）的圖象上，點(diǎn) p （ m，n）x是函數(shù) yk （ k0，x 0）的圖象上任意一點(diǎn)，過(guò)p 分別作 x 軸、y 軸的x垂線(xiàn)，垂足為 e、f，設(shè)矩形 oepf 在正方形 oabc以外的部分的面積為s 求 b 點(diǎn)坐標(biāo)和 k 的值； 當(dāng)時(shí)，求點(diǎn) p 的坐標(biāo)； 寫(xiě)出 s 關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān)系式答案：（ 1）d；（ 2）c；（ 3）6；（ 4），矩形 o q 1p1 r 1 的周長(zhǎng)為 8， o q 2p2 r 2的周長(zhǎng)為，前者大（ 5） 1（ 6）雙曲線(xiàn)為，直線(xiàn)為直線(xiàn)與兩軸的交點(diǎn)分別為（0， 因此面積為 4；）和，0，且 a1，和 c（， 1）

14、，（ 7） b（ 3， 3），；時(shí)，e（6， 0），；6綜合應(yīng)用（ 1）如函數(shù) y=k1x （ k10）和函數(shù) yk（ k2 0）在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象沒(méi)有2x公共點(diǎn)，就 k1 和 k2（）a互為倒數(shù)b符號(hào)相同c肯定值相等d符號(hào)相反（ 2）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例數(shù)ya（，1）， b（1， n） 求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；m 的圖象交于 a、b 兩點(diǎn)：x 依據(jù)圖象寫(xiě)出訪一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x 的取值范疇（ 3）如下列圖， 已知一次函數(shù)（ k0）的圖象與 x軸、y 軸分別交于 a、b 兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)ym （ m0）的圖象在第一象限交于c 點(diǎn)， cd 垂x直于 x 軸，垂足為 d，如 oa=ob=od=1 求點(diǎn) a、b、d 的坐標(biāo)； 求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式（ 4）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)yk 的圖象交于第一象限c、xd 兩點(diǎn)，坐標(biāo)軸交于a、b 兩點(diǎn)，連結(jié) oc， od （o 是坐標(biāo)原點(diǎn)） 利用圖中條件，求反比例函數(shù)的解析式和m 的值； 雙曲線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)p，使得 p