曲面方程的概念22738

1、水桶的表面、臺燈的罩子面等水桶的表面、臺燈的罩子面等曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面方程的定義：曲面方程的定義：如如果果曲曲面面s與與三三元元方方程程0),( zyxf有有下下述述關(guān)關(guān)系系：（1 1） 曲面曲面s上任一點的坐標(biāo)都滿足方程；上任一點的坐標(biāo)都滿足方程；（2 2）不在曲面）不在曲面s上的點的坐標(biāo)都不滿足方程；上的點的坐標(biāo)都不滿足方程；那那么么，方方程程0),( zyxf就就叫叫做做曲曲面面s的的方方程程，而而曲曲面面s就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形曲面的實例：曲面的實例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念第五節(jié)第五節(jié) 曲面及其方

2、程曲面及其方程以下給出幾例常見的曲面以下給出幾例常見的曲面.例例 1 1 建建立立球球心心在在點點),(0000zyxm、半半徑徑為為r的的球球面面方方程程.解解設(shè)設(shè)),(zyxm是球面上任一點，是球面上任一點，rmm |0根據(jù)題意有根據(jù)題意有 rzzyyxx 202020 2202020rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點時方程為特殊地：球心在原點時方程為2222rzyx 例例 2 2 求求與與原原點點o及及)4 , 3 , 2(0m的的距距離離之之比比為為2:1的的點點的的全全體體所所組組成成的的曲曲面面方方程程.解解設(shè)設(shè)),(zyxm是曲面上任一點，是曲面上任一點，,2

3、1|0 mmmo根據(jù)題意有根據(jù)題意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程為所求方程為例例 3 3 已知已知)3 , 2 , 1(a，)4 , 1, 2( b，求線段，求線段ab的的垂直平分面的方程垂直平分面的方程.設(shè)設(shè)),(zyxm是是所所求求平平面面上上任任一一點點，根據(jù)題意有根據(jù)題意有|,|mbma 222321 zyx ,412222 zyx化簡得所求方程化簡得所求方程. 07262 zyx解解zxyo例例4 4 方程方程 的圖形是怎樣的？的圖形是怎樣的？1)2()1(22 yxz根據(jù)題意有根據(jù)題意有1 z用用平平面面cz 去去截截圖圖形形

4、得得圓圓：)1(1)2()1(22 ccyx 當(dāng)當(dāng)平平面面cz 上上下下移移動動時時，得得到到一一系系列列圓圓圓心在圓心在), 2 , 1(c，半徑為，半徑為c 1半徑隨半徑隨c的增大而增大的增大而增大.圖形上不封頂，下封底圖形上不封頂，下封底解解c以上幾例表明研究空間曲面有以上幾例表明研究空間曲面有兩個基本問題兩個基本問題：（2 2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀（1 1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一

5、周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸播放播放xozy0),( zyf), 0(111zym m是旋轉(zhuǎn)曲面上任意一點是旋轉(zhuǎn)曲面上任意一點設(shè)設(shè)),(zyxm1)1(zz （2）點點m到到z軸軸的的距距離離|122yyxd 如圖如圖將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd , 0,22 zyxf得方程得方程同同理理：yoz坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zxyf同理：同理：xoz坐標(biāo)面上的已知曲線坐標(biāo)面上的已知曲線0),( z

6、xf繞繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程為為 . 0,22 zyxf例例5 5 直直線線l繞繞另另一一條條與與l相相交交的的直直線線旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周，所所得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面叫叫圓圓錐錐面面兩兩直直線線的的交交點點叫叫圓圓錐錐面面的的頂頂點點，兩兩直直線線的的夾夾角角 20叫叫圓圓錐錐面面的的半半頂頂角角試試建建立立頂頂點點在在坐坐標(biāo)標(biāo)原原點點，旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸為為z軸軸，半半頂頂角角為為 的的圓圓錐錐面面方方程程 xozy解解 yoz面面上上直直線線方方程程為為 cotyz ), 0(111zym ),(zyxm圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz oxzy 例例6 6 將下

7、列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程（1）雙雙曲曲線線12222 czax分分別別繞繞x軸軸和和z軸軸；繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czyax122222 czayx旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面（ 2） 橢橢 圓圓 012222xczay繞繞y軸軸 和和z軸軸 ；繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面播放播放定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線

8、 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.cl柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxf，在在空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中 表表 示示母母線線平平行行于于z軸軸的的 柱柱面面，其其準(zhǔn)準(zhǔn)線線為為xoy面面上上曲曲線線c.（其他類推）（其他類推）實實 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 / 軸軸x12222 byax雙曲柱面雙曲柱面 / 軸

9、軸zpzx22 拋物柱面拋物柱面 / 軸軸y曲面方程的概念曲面方程的概念旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母線、準(zhǔn)線母線、準(zhǔn)線). 0),( zyxf四、小結(jié)四、小結(jié)思考題思考題 指出下列方程在平面解析幾何中和空指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？間解析幾何中分別表示什么圖形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy思考題解答思考題解答平面解析幾何中平面解析幾何中空間解析幾何中空間解析幾何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y軸軸的的直直線線平平行行于于yoz面面的的平平面面圓圓心心在在)0 , 0(，半半徑徑為為2的

10、的圓圓以以z軸為中心軸的圓柱面軸為中心軸的圓柱面斜率為斜率為1的直線的直線平平行行于于z軸軸的的平平面面方程方程一、一、 填空題：填空題：1 1、 與與z軸和點軸和點)1,3,1( a等距離的點的軌跡方程是等距離的點的軌跡方程是_；2 2、 以點以點)1,2,2( o為球心，且通過坐標(biāo)原點的球面為球心，且通過坐標(biāo)原點的球面方程是方程是_；3 3、 球面：球面：07442222 zyxzyx的球心是的球心是點點_，半徑，半徑 r _ _；4 4、 設(shè)曲面方程設(shè)曲面方程22ax+ +22by+ +22cz=1=1，當(dāng)，當(dāng)ba 時，曲面可由時，曲面可由xoz面上以曲線面上以曲線_繞繞_軸旋軸旋轉(zhuǎn)面成

11、，或由轉(zhuǎn)面成，或由yoz面上以曲線面上以曲線_ 繞繞_軸旋轉(zhuǎn)面成軸旋轉(zhuǎn)面成 ; ;練練 習(xí)習(xí) 題題5 5、 若柱面的母線平行于某條坐標(biāo)軸，則柱面方程的特若柱面的母線平行于某條坐標(biāo)軸，則柱面方程的特點是點是_；6 6、 曲面曲面1422 zyx是由是由_繞繞_軸放軸放置一周所形成的；置一周所形成的；7 7、 曲面曲面222)(yxaz 是由是由_繞繞_軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的；軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的；8 8、 方程方程2 x在平面解析幾何中表示在平面解析幾何中表示_在空在空間解析幾何中表示間解析幾何中表示_；9 9、 方 程方 程422 yx在 平 面 解 析 幾 何 中 表 示在 平 面 解 析 幾 何

12、 中 表 示_ ， 在 空 間 解 析 幾 何 中 表 示， 在 空 間 解 析 幾 何 中 表 示_._.二二、 畫畫出出下下列列各各方方程程所所表表示示的的曲曲面面：1 1、222)2()2(ayax ；2 2、14922 zx ；3 3、22xz . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、0112622 zyxz； 2 2、0244222 zyxzyx；3 3、(1,-2,2),4(1,-2,2),4； 4 4、, 1, 1, 1222222222222ybyaxzczbyzczax yczby, 12222 ； 5 5、不含與該坐標(biāo)軸同名的變量；、不含與該坐標(biāo)軸同名的變量； 6 6、x

13、oy面上的雙曲線面上的雙曲線yyx, 1422 ； 7 7、面面yoz上的直線上的直線 zayz, ； 8 8、平、平y(tǒng)行于行于軸的一條直線軸的一條直線, ,與與面面yoz面平行的平面；面平行的平面； 9 9、圓心在原點、圓心在原點, ,半徑為半徑為 2 2 的圓的圓, ,軸為軸為軸軸z, ,半徑為半徑為 2 2 的圓柱面的圓柱面. .二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以

14、一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸

15、軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面.

16、.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周

17、所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定

18、直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.cl定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.cl定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動

19、的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.cl定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.cl定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面.

20、.cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.cl定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.cl定義定義三、柱面三、柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 移動的直線移動的直線 所形成的曲面稱為柱面所形成的曲面稱為柱面. .cl這條定曲線這條定曲線 叫柱面的叫柱面的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，動直線，動直線 叫叫柱面的柱面的母線母線.cl定義定義三、柱面三、柱面觀察柱