高考數(shù)學(xué)（理）二輪專題練習(xí)【專題2】（2）函數(shù)的應(yīng)用（含答案）

1、第2講函數(shù)的應(yīng)用考情解讀1.函數(shù)零點所在區(qū)間、零點個數(shù)及參數(shù)的取值范圍是高考的常見題型，主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn).2.函數(shù)的實際應(yīng)用以二次函數(shù)、分段函數(shù)模型為載體，主要考查函數(shù)的最值問題1函數(shù)的零點與方程的根(1)函數(shù)的零點對于函數(shù)f(x)，我們把使f(x)0的實數(shù)x叫做函數(shù)f(x)的零點(2)函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系函數(shù)F(x)f(x)g(x)的零點就是方程f(x)g(x)的根，即函數(shù)yf(x)的圖象與函數(shù)yg(x)的圖象交點的橫坐標(3)零點存在性定理如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，

2、b)內(nèi)有零點，即存在c(a，b)使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根注意以下兩點：滿足條件的零點可能不唯一；不滿足條件時，也可能有零點(4)二分法求函數(shù)零點的近似值，二分法求方程的近似解2函數(shù)模型解決函數(shù)模型的實際應(yīng)用題，首先考慮題目考查的函數(shù)模型，并要注意定義域其解題步驟是(1)閱讀理解，審清題意：分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題；(2)數(shù)學(xué)建模：弄清題目中的已知條件和數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式；(3)解函數(shù)模型：利用數(shù)學(xué)方法得出函數(shù)模型的數(shù)學(xué)結(jié)果；(4)實際問題作答：將數(shù)學(xué)問題的結(jié)果轉(zhuǎn)化成實際問題作出解答.熱點一函數(shù)的零點例1(1)函數(shù)f(x)ln(x1)的零點所在

3、的區(qū)間是()- 1 - / 20A(，1) B(1，e1)C(e1,2) D(2，e)(2)(2014·遼寧)已知f(x)為偶函數(shù)，當x0時，f(x)則不等式f(x1)的解集為()A，B，C，D，思維升華(1)根據(jù)二分法原理，逐個判斷；(2)畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想解決答案(1)C(2)A解析(1)因為f()ln4<0，f(1)ln 22<0，f(e1)1<0，f(2)ln 31>0，故零點在區(qū)間(e1,2)內(nèi)(2)先畫出y軸右邊的圖象，如圖所示f(x)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，可畫出y軸左邊的圖象，再畫直線y.設(shè)與曲線交于點A，B，C，D，先分別求出

4、A，B兩點的橫坐標令cos x，x0，x，x.令2x1，x，xA，xB.根據(jù)對稱性可知直線y與曲線另外兩個交點的橫坐標為xC，xD.f(x1)，則在直線y上及其下方的圖象滿足，x1或x1，x或x.思維升華函數(shù)零點(即方程的根)的確定問題，常見的有函數(shù)零點值大致存在區(qū)間的確定；零點個數(shù)的確定；兩函數(shù)圖象交點的橫坐標或有幾個交點的確定解決這類問題的常用方法有解方程法、利用零點存在的判定或數(shù)形結(jié)合法，尤其是方程兩端對應(yīng)的函數(shù)類型不同的方程多以數(shù)形結(jié)合求解(1)已知函數(shù)f(x)()xcos x，則f(x)在0,2上的零點個數(shù)是()A1 B2C3 D4(2)已知a是函數(shù)f(x)2xlogx的零點，若0&

5、lt;x0<a，則f(x0)的值滿足()Af(x0)0 Bf(x0)>0Cf(x0)<0 Df(x0)的符號不確定答案(1)C(2)C解析(1)f(x)在0,2上的零點個數(shù)就是函數(shù)y()x和ycos x的圖象在0,2上的交點個數(shù)，而函數(shù)y()x和ycos x的圖象在0,2上的交點有3個，故選C.(2)f(x)2xlogx在(0，)上是增函數(shù)，又a是函數(shù)f(x)2xlogx的零點，即f(a)0，當0<x0<a時，f(x0)<0.熱點二函數(shù)的零點與參數(shù)的范圍例2對任意實數(shù)a，b定義運算“”：ab設(shè)f(x)(x21)(4x)，若函數(shù)yf(x)k的圖象與x軸恰有三個

6、不同交點，則k的取值范圍是()A(2,1) B0,1C2,0) D2,1)思維啟迪先確定函數(shù)f(x)的解析式，再利用數(shù)形結(jié)合思想求k的范圍答案D解析解不等式：x21(4x)1，得：x2或x3，所以，f(x)函數(shù)yf(x)k的圖象與x軸恰有三個不同交點轉(zhuǎn)化為函數(shù)yf(x)的圖象和直線yk恰有三個不同交點如圖，所以1<k2，故2k<1.思維升華已知函數(shù)的零點個數(shù)求解參數(shù)范圍，可以利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象交點個數(shù)；也可以利用函數(shù)方程思想，構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程或不等式進行求解定義在R上的函數(shù)f(x)ax3bx2cx(a0)的單調(diào)增區(qū)間為(1,1)，若方程3a(f(x)22bf(x)c0恰

7、有6個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍是_答案a<解析函數(shù)f(x)ax3bx2cx(a0)的單調(diào)增區(qū)間為(1,1)，1和1是f(x)0的根，f(x)3ax22bxc，b0，c3a，f(x)ax33ax，3a(f(x)22bf(x)c0，3a(f(x)23a0，f2(x)1，f(x)±1，即，a<.熱點三函數(shù)的實際應(yīng)用問題例3省環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境放射性污染情況進行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f(x)與時刻x(時)的關(guān)系為f(x)|a|2a，x0,24，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a0，若用每天f(x)的最大值為當天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作M(a)(

8、1)令t，x0,24，求t的取值范圍；(2)省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標？思維啟迪(1)分x0和x0兩種情況，當x0時變形使用基本不等式求解(2)利用換元法把函數(shù)f(x)轉(zhuǎn)化成g(t)|ta|2a，再把函數(shù)g(t)寫成分段函數(shù)后求M(a)解(1)當x0時，t0；當0<x24時，x2(當x1時取等號)，t(0，即t的取值范圍是0，(2)當a0，時，記g(t)|ta|2a，則g(t)g(t)在0，a上單調(diào)遞減，在(a，上單調(diào)遞增，且g(0)3a，g()a，g(0)g()2(a)故M(a)即M(a)當0a時，M(a)a<2顯然

9、成立；由得<a，當且僅當0a時，M(a)2.故當0a時不超標，當<a時超標思維升華(1)關(guān)于解決函數(shù)的實際應(yīng)用問題，首先要耐心、細心地審清題意，弄清各量之間的關(guān)系，再建立函數(shù)關(guān)系式，然后借助函數(shù)的知識求解，解答后再回到實際問題中去(2)對函數(shù)模型求最值的常用方法：單調(diào)性法、基本不等式法及導(dǎo)數(shù)法已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1千件需另投入2.7萬元設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R(x)萬元，且R(x)(1)寫出年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；(2)年產(chǎn)量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的

10、年利潤最大？(注：年利潤年銷售收入年總成本)解(1)當0<x10時，WxR(x)(102.7x)8.1x10；當x>10時，WxR(x)(102.7x)982.7x.W(2)當0<x10時，由W8.10，得x9，且當x(0,9)時，W>0；當x(9,10)時，W<0，當x9時，W取得最大值，且Wmax8.1×9·931038.6.當x>10時，W9898238，當且僅當2.7x，即x時，W38，故當x時，W取最大值38.綜合知：當x9時，W取最大值38.6萬元，故當年產(chǎn)量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大1函數(shù)與方程(

11、1)函數(shù)f(x)有零點方程f(x)0有根函數(shù)f(x)的圖象與x軸有交點(2)函數(shù)f(x)的零點存在性定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c(a，b)，使f(c)0.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上是一個單調(diào)函數(shù)，那么當f(a)·f(b)<0時，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一的零點，即存在唯一的c(a，b)，使f(c)0.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)·f(b

12、)>0，那么，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)不一定沒有零點2函數(shù)綜合題的求解往往應(yīng)用多種知識和技能因此，必須全面掌握有關(guān)的函數(shù)知識，并且嚴謹審題，弄清題目的已知條件，尤其要挖掘題目中的隱含條件要認真分析，處理好各種關(guān)系，把握問題的主線，運用相關(guān)的知識和方法逐步化歸為基本問題來解決3應(yīng)用函數(shù)模型解決實際問題的一般程序與函數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，經(jīng)常涉及到物價、路程、產(chǎn)值、環(huán)保等實際問題，也可涉及角度、面積、體積、造價的最優(yōu)化問題解答這類問題的關(guān)鍵是確切的建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識加以綜合解答.真題感悟1(2014·重慶)已知函數(shù)f(x)且g(x)f(x

13、)mxm在(1,1內(nèi)有且僅有兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是()A.B.C.D.答案A解析作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，其中A(1,1)，B(0，2)因為直線ymxmm(x1)恒過定點C(1,0)，故當直線ym(x1)在AC位置時，m，可知當直線ym(x1)在x軸和AC之間運動時兩圖象有兩個不同的交點(直線ym(x1)可與AC重合但不能與x軸重合)，此時0<m，g(x)有兩個不同的零點當直線ym(x1)過點B時，m2；當直線ym(x1)與曲線f(x)相切時，聯(lián)立得mx2(2m3)xm20，由(2m3)24m(m2)0，解得m，可知當ym(x1)在切線和BC之間運動時兩圖象有兩個不同

14、的交點(直線ym(x1)可與BC重合但不能與切線重合)，此時<m2，g(x)有兩個不同的零點綜上，m的取值范圍為(，2(0，故選A.2(2014·北京)加工爆米花時，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”在特定條件下，可食用率p與加工時間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系pat2btc(a、b、c是常數(shù))，如圖記錄了三次實驗的數(shù)據(jù)根據(jù)上述函數(shù)模型和實驗數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時間為()A3.50分鐘 B3.75分鐘C4.00分鐘 D4.25分鐘答案B解析根據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立方程組得消去c化簡

15、得解得所以p0.2t21.5t2.0(t2t)2(t)2，所以當t3.75時，p取得最大值，即最佳加工時間為3.75分鐘押題精練1已知函數(shù)f(x)則函數(shù)yff(x)1的零點有_個答案4解析當f(x)0時，x1或x1，故ff(x)10時，f(x)11或1.當f(x)11，即f(x)2時，解得x3或x；當f(x)11，即f(x)0時，解得x1或x1.故函數(shù)yff(x)1有四個不同的零點2函數(shù)f(x)xexa有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(，0)解析令f(x)(x1)ex0，得x1，則當x(，1)時，f(x)<0，當x(1，)時，f(x)>0，f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，在(1

16、，)上單調(diào)遞增，要使f(x)有兩個零點，則極小值f(1)<0，即e1a<0，a>，又x時，f(x)>0，則a<0，a(，0)3某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關(guān)系為yx218x25(xN*)則當每臺機器運轉(zhuǎn)_年時，年平均利潤最大，最大值是_萬元答案58解析由題意知每臺機器運轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為18(x)，而x>0，故1828，當且僅當x5時，年平均利潤最大，最大值為8萬元(推薦時間：60分鐘)一、選擇題1函數(shù)f(x)log2x的零點所在的區(qū)間為()A(0，) B(，1)C(1

17、,2) D(2,3)答案C解析函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，且函數(shù)f(x)在(0，)上為增函數(shù)f()log2123<0，f(1)log2101<0，f(2)log221>0，f(3)log23>1>0，即f(1)·f(2)<0，函數(shù)f(x)log2x的零點在區(qū)間(1,2)內(nèi)2函數(shù)f(x)ln，下列區(qū)間中，可能存在零點的是()A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(1,2)與(2,3)答案B解析f(x)lnln(x1)，函數(shù)f(x)的定義域為(1，)，且為遞減函數(shù)，當1<x<2時，ln(x1)<0，>0，所以f(x)&g

18、t;0，故函數(shù)在(1,2)上沒有零點；f(2)ln 11>0，f(3)ln 2，因為22.828，所以>e，故ln e<ln ，即1<ln 8，所以2<ln 8，即f(3)<0，f(4)ln 3ln 3<0.故f(x)在(2,3)存在零點3f(x)2sin xx1的零點個數(shù)為()A4 B5C6 D7答案B解析2sin xx10，2sin xx1，圖象如圖所示，由圖象看出y2sin x與yx1有5個交點，f(x)2sin xx1的零點個數(shù)為5.4設(shè)函數(shù)f(x)若方程f(x)m有三個不同的實根，則實數(shù)m的取值范圍為()A，1 B，1C(，0) D(，0答案

19、C解析作出函數(shù)yf(x)的圖象，如圖所示當x>0時，f(x)x2x(x)2，所以要使函數(shù)f(x)m有三個不同的零點，則<m<0，即m的取值范圍為(，0)5(2013·江西)如圖，半徑為1的半圓O與等邊三角形ABC夾在兩平行線l1，l2之間，ll1，l與半圓相交于F、G兩點，與三角形ABC兩邊相交于E、D兩點設(shè)弧的長為x(0<x<)，yEBBCCD，若l從l1平行移動到l2，則函數(shù)yf(x)的圖象大致是()答案D解析如圖所示，連接OF，OG，過點O作OMFG，過點A作AHBC，交DE于點N.因為弧的長度為x，所以FOGx，則ANOMcos ，所以cos ，

20、則AEcos ，EBcos .yEBBCCDcos cos 2(0<x<)6已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)且f(x2)f(x)，g(x)，則方程f(x)g(x)在區(qū)間5,1上的所有實根之和為()A5 B6C7 D8答案C解析由題意知g(x)2，函數(shù)f(x)的周期為2，則函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間5,1上的圖象如圖所示：由圖形可知函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間5,1上的交點為A，B，C，易知點B的橫坐標為3，若設(shè)C的橫坐標為t(0<t<1)，則點A的橫坐標為4t，所以方程f(x)g(x)在區(qū)間5,1上的所有實根之和為3(4t)t7.二、填空題7若函數(shù)f(x)有

21、兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是_答案(0,1解析當x>0時，由f(x)ln x0，得x1.因為函數(shù)f(x)有兩個不同的零點，則當x0時，函數(shù)f(x)2xa有一個零點，令f(x)0得a2x，因為0<2x201，所以0<a1，所以實數(shù)a的取值范圍是0<a1.8(2014·課標全國)設(shè)函數(shù)f(x)則使得f(x)2成立的x的取值范圍是_答案(，8解析當x<1時，x1<0，ex1<e012，當x<1時滿足f(x)2. 當x1時，2，x238,1x8.綜上可知x(，89已知函數(shù)f(x)m|x|有三個零點，則實數(shù)m的取值范圍為_答案m>1

22、解析函數(shù)f(x)有三個零點等價于方程m|x|有且僅有三個實根m|x|x|(x2)，作函數(shù)y|x|(x2)的圖象，如圖所示，由圖象可知m應(yīng)滿足：0<<1，故m>1.10我們把形如y(a>0，b>0)的函數(shù)因其圖象類似于漢字中的“囧”字，故生動地稱為“囧函數(shù)”，若當a1，b1時的“囧函數(shù)”與函數(shù)ylg|x|的交點個數(shù)為n，則n_.答案4解析由題意知，當a1，b1時，y在同一坐標系中畫出“囧函數(shù)”與函數(shù)ylg|x|的圖象如圖所示，易知它們有4個交點三、解答題11設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxb1(a0)(1)當a1，b2時，求函數(shù)f(x)的零點；(2)若對任意bR，函數(shù)f(x)恒有兩個不同零點，求實數(shù)a的取值范圍解(1)當a1，b2時，f(x)x22x3，令f(x)0，得x3或x1.函數(shù)f(x)的零點為3和1.(2)依題意，f(x)ax2bxb10有兩個不同實根b24a(b1)>0恒成立，即對于任意bR，b24ab4a>0恒成立，所以有(4a)24(4a)<0a2a<0，所以0<a<1.因此實數(shù)a的取值范圍是(0,1)12隨著機構(gòu)改革工作的深入進行，各單位要減員增效，有一家公司現(xiàn)有職員2a人(140<2a<420，且a為偶數(shù))，每人每