數(shù)列期末專題復(fù)習(xí)

1、優(yōu)秀教案歡迎下載必修 5 第二章數(shù)列復(fù)習(xí)專題一、知識(shí)綱要(1) 數(shù)列的概念，通項(xiàng)公式，數(shù)列的分類，從函數(shù)的觀點(diǎn)看數(shù)列(2) 等差、等比數(shù)列的定義 (3) 等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 (4) 等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)(5) 等差、等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式及其推導(dǎo)方法二、方法總結(jié)1數(shù)列是特殊的函數(shù)，有些題目可結(jié)合函數(shù)知識(shí)去解決，體現(xiàn)了函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合的思想2等差、等比數(shù)列中，a1 、 an 、 n 、 d (q) 、 Sn “知三求二”，體現(xiàn)了方程 ( 組) 的思想、整體思想，有時(shí)用到換元法3求等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和時(shí)要考慮公比是否等于1，公比是字母時(shí)要進(jìn)行討論，體現(xiàn)了分類討論的思想4數(shù)列求和的基本方法

2、有：公式法，倒序相加法，錯(cuò)位相減法，拆項(xiàng)法，裂項(xiàng)法，累加法，等價(jià)轉(zhuǎn)化等三、知識(shí)內(nèi)容：1. 數(shù)列數(shù)列的通項(xiàng)公式： ana1S1 (n1)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和： Sna1 a2 a3anSnSn 1 (n2)2. 等差數(shù)列等差數(shù)列的定義：等差數(shù) 列的判 定方法 :（ 1）定義法：對于數(shù)列an，若 an 1and ( 常數(shù) ) ，則數(shù)列an是等 差數(shù) 列。（ 2）等差中項(xiàng)：對于數(shù)列an ，若2an1anan 2 ，則數(shù)列an是等差數(shù)列。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：n 的一次函數(shù)。說明：該公式整理后是關(guān)于等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和：Snn(a1an ) Snn(n1)d2na12說明：對于公式整理后是關(guān)于n 的沒有

3、常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)。等差中項(xiàng)：等差數(shù)列的性質(zhì)：3. 等比數(shù)列等比數(shù)列的概念：等比中項(xiàng)：等比數(shù)列的判定方法：（ 1）定義法：對于數(shù)列anan1q(q0) ，則數(shù)列an 是等比數(shù)列。，若a n（ 2）等比中項(xiàng)：對于數(shù)列an ，若 an an 2an21 ，則數(shù)列an是等比數(shù)列。等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果等比數(shù)列an 的首項(xiàng)是 a1 ，公比是 q ，則等比數(shù)列的通項(xiàng)為an a1qn1。等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和：1a1 (1qn )( q1)2a1an q3 當(dāng)q 1時(shí)，Snna1 Snq Sn1(q 1)1q等比數(shù)列的性質(zhì)：四、數(shù)列求和的常用方法（一）倒序相加法：將一個(gè)數(shù)列倒過來排序（倒序），當(dāng)它與原數(shù)列相

4、加時(shí)，若有因式可提，并且剩余的項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和。如等差數(shù)列的求和公式n(a1a n )Sn的推導(dǎo)。2（二）錯(cuò)位相減法：這是推導(dǎo)等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列 an bn 的前 n 項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。例 1求數(shù)列 n2 n 的前 n 項(xiàng)和 Sn 。優(yōu)秀教案歡迎下載（三）分組求和法所謂分組求和法，即將一個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列求和。例 2 已知數(shù)列 an 滿足 ann (1) n 1 ，求其前 n項(xiàng)和 Sn 。2（四）公式法（恒等式法）：利用已知的求和公式來求和，如等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式

5、，再如1 2 3nn(n1)、 122232n 21 n( n 1)(2n 1) 等公式。26例 3求數(shù)列 1 n , 2( n1) , 3(n2), n 1的和。（五）拆項(xiàng)（裂項(xiàng)）相消法：若數(shù)列 an 能裂項(xiàng)成 anf (n1) f (n) ，即所裂兩項(xiàng)具有傳遞性（即關(guān)于n 的相鄰項(xiàng)，使展開后中間項(xiàng)能全部消去） 。例 4已知數(shù)列 a n 滿 足 an1，求數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Snn( n1)（六）通項(xiàng)化歸法：即把數(shù)列的通項(xiàng)公式先求出來，再利用數(shù)列的特點(diǎn)求和。例 5求數(shù)列 1, 1,1,1的前 n 項(xiàng)和 S12123123nn（七）并項(xiàng)法求和：在數(shù)列求和中，若出現(xiàn)相鄰兩項(xiàng)（或有一定規(guī)律

6、的兩項(xiàng)）和為常數(shù)時(shí)，可用并項(xiàng)法，但要注意n 的奇偶性。例 6已知數(shù)列 an( 1) n (2n 1) ，求數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 S100（八）奇偶分析項(xiàng)：當(dāng)數(shù)列中的項(xiàng)有符號(hào)限制時(shí)，應(yīng)分n 為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論。例 7若 an( 1) n 1 ( 4n 3) ，求數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和（九）利用周期性求和： 若數(shù)列 a n ，都有 an Tan（其中 nN 0, N 0 為給定的自然數(shù)， T0 ），則稱數(shù)列 an 為周期數(shù)列，其中T 為其周期。例 8已知正數(shù)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，且對于任意的 nN，有 Sn1( an 1) 24（1）求證 an 為等差數(shù)列；（ 2）求

7、an 的通項(xiàng)公式；（ 3）設(shè) b n1，求 b n 的前 n 項(xiàng)和 Tn 。anan1優(yōu)秀教案歡迎下載數(shù)列復(fù)習(xí)一、填空題1.在等差數(shù)列 an中，若 a4 + a6 + a8 + a10 + a12 =120，則 2 a10 - a12 =_2. 已知等差數(shù)列an 的公差為 2,若 a1 ,a3 , a4 成等比數(shù)列 , 則 a 2 =_3.設(shè) Sn 是等差數(shù)列a55,則S9_an 的前 n 項(xiàng)和，若9S5a34依次排列的4 個(gè)數(shù)，其和為13，第 4 個(gè)數(shù)是第2 個(gè)數(shù)的 3 倍，前 3 個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，這四個(gè)數(shù)分別為 _5.正項(xiàng)等比數(shù)列 an與等差數(shù)列 bn滿足 a1b1 ,

8、 a7 b7 且 a1a7 ，則 a4 _ b4 (填 >、<、 =之一 )6.已知等比數(shù)列 an 及等差數(shù)列 bn ，其中 b10 ，公差 d0將這兩個(gè)數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)相加，得一新數(shù)列1， 1，2， ，則這個(gè)新數(shù)列的前10 項(xiàng)之和為 _.7.給定正數(shù)p,q,a,b,c，其中p q，若p,a,q 成等比數(shù)列，p,b,c,q 成等差數(shù)列 , 則一元二次程bx22ax+c=0_實(shí)數(shù)根 (填 “有 ”或 “無 ”之一 )8.已知數(shù)列anan，其中 a、 b、c 均為正數(shù)，那么an _ an 1 (填 >、<、 =之一 )的通項(xiàng)公式為 a n =bnc9.設(shè)數(shù)列 an 滿足 a1=

9、6，a2=4 ，a3=3，且數(shù)列10.已知 a，b， a+b 成等差數(shù)列， a， b，ab an+1 an（ n N 成等比數(shù)列，且* ）是等差數(shù)列， 則數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為_.0<log m(ab)<1 ，則 m 的取值范圍是_11.設(shè)n是首項(xiàng)是1的正項(xiàng)數(shù)列,且 (n1)a2na 2 aa00(n1.2,3,則_. a n 1nn 1n), an12 已知 an=9n (n1)(n N *), 則數(shù)列 an 的最大項(xiàng)為第 _項(xiàng) .10n13.在數(shù)列 an 中，已知 a1=1,an =an1+an 2+a2+a1.(n N * ,n 2),這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是 _.14.已知

10、an2 ( 31 ) n ，把數(shù)列an 的各項(xiàng)排成三角形狀；a1a2a3a4a 5a6a 7a8記 A （ m,n）表示第 m 行，第 n 列的項(xiàng)，則 A （ 10， 8）=.二 解答題15.是否存在互不相等的三個(gè)數(shù)，使它們同時(shí)滿足三個(gè)條件： a+b+c=6,a、 b、 c 成等差數(shù)列 ,將 a、b、 c 適當(dāng)排列后，能構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列.優(yōu)秀教案歡迎下載16.已知數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Sn 滿足： Sn1 4an 2(n N* )， a1 1(1) 設(shè) bn an+1 2 an，求證：數(shù)列 bn為等比數(shù)列；an(2) 設(shè) cn 2n，求證： cn是等差數(shù)列；（ 3）求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式及

11、前n 項(xiàng)和的公式17. 已知數(shù)列 an為公差大于 0 的等差數(shù)列， Sn 為其前 n 項(xiàng)和，且 a1a6=21, S6=66,的通項(xiàng)公式。 （ 2）若數(shù)列 b滿足 bnxan 3，求 b 的前 n 項(xiàng)和 Tn。（ 3）若數(shù)列(1) 求數(shù)列 annn cn是等差數(shù)列，且 cn=Sn，求常數(shù) p。np18某地現(xiàn)有居民住房面積為a m2，其中需要拆除的舊房面積占了一半當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門決定每年以當(dāng)年年初住房面積的10%的住房增長率建設(shè)新住房，同時(shí)每年拆除xm2 的舊住房，又知該地區(qū)人口年增長率為4.9 （ 1）如果 10 年后該地的人均住房面積正好比目前翻一番，那么每年應(yīng)拆除的舊住房面積x 是多少？（ 2

12、）依照 (1)拆房速度，再過多少年能拆除所有需要拆除的舊住房？下列數(shù)據(jù)供學(xué)生計(jì)算時(shí)參考：1.199=2.381.0049 =1.041.110=2.61.004910=1.051.111=2.851.004911=1.0619.已知 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn,且 an+Sn=4.(1) 求證：數(shù)列 an 是等比數(shù)列；（ 2）是否存在正整數(shù)k,使 Sk 12 >2 成立 .sk220.設(shè)數(shù)列an前項(xiàng)和為 sn ,且 (3 m)sn 2man m 3( nN ), ,其中 m 為常數(shù) ,m 3.(1)求證 :是等比數(shù)列 （; 2）若數(shù)列 an的公比 q=f(m), 數(shù)列 bn滿足 b1

13、a1,bn3f (bn 1 )( n N , n 2),2(2)求證 :1為等差數(shù)列 ,并求 bn .bn優(yōu)秀教案歡迎下載數(shù)列答案一、填空題1.在等差數(shù)列 an中，若 a4 + a6 + a8 + a10 + a12 =120，則 2 a10 - a12 =_24_2. 已知等差數(shù)列an 的公差為 2,若 a1 ,a3 , a4 成等比數(shù)列 , 則 a 2 =63.設(shè) Sn 是等差數(shù)列a55,則S9_1_an 的前 n 項(xiàng)和，若9S5a34依次排列的4 個(gè)數(shù)，其和為13，第 4 個(gè)數(shù)是第2 個(gè)數(shù)的 3 倍，前 3 個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，這四個(gè)數(shù)分別為1， 2， 4， 65.正項(xiàng)等

14、比數(shù)列 an與等差數(shù)列 bn滿足 a1b1 , a7b7 且 a1a7 ，則 a4 _<_ b4 (填 >、<、 =之一 )6.已知等比數(shù)列 an 及等差數(shù)列 bn ，其中 b10 ，公差 d0將這兩個(gè)數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)相加，得一新數(shù)列1， 1， 2， ，則這個(gè)新數(shù)列的前 10 項(xiàng)之和為 _978_ .7.給定正數(shù) p,q,a,b,c，其中 p q，若 p,a,q 成等比數(shù)列， p,b,c,q 成等差數(shù)列 , 則一元二次程 bx22ax+c=0_無 _實(shí)數(shù)根 (填 “有 ”或 “無 ”之一 )an，其中 a、 b、c 均為正數(shù)，那么 an _<_ an 1 (填 >、&

15、lt;、 =之一 )8.已知數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 a n =bnc9.設(shè)數(shù)列 an 滿足 a1=6， a2=4 ， a3=3，且數(shù)列 an+1 an （ n N * ）是等差數(shù)列，則數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為ann27n 18 (n N * ) .210.已知 a，b，a+b 成等差數(shù)列， a，b，ab 成等比數(shù)列， 且 0<log m(ab)<1 ，則 m 的取值范圍是_( ,8)_11.設(shè)n是首項(xiàng)是1的正項(xiàng)數(shù)列,且 (n 1)a2na 2aan00(n1.2,3,則它的通項(xiàng)公式an a n 1nn 1),_1_.n12 已知 an=9n (n1)10n(n N *), 則數(shù)列

16、 an 的最大項(xiàng)為第 _8 或 9_項(xiàng) .13.在數(shù)列 an 中，已知 a1=1,an =an1+an 2+a2+a1.(n N * ,n 2),這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是1(n)an1) .2 n 2(n214.已知 an2 ( 31 ) n ，把數(shù)列an的各項(xiàng)排成三角形狀；a1a2a3a4a 5a6a 7a8優(yōu)秀教案歡迎下載記 A （ m,n）表示第 m 行，第 n 列的項(xiàng)，則 A （ 10， 8）= 2( 31 )89.二 解答題15.是否存在互不相等的三個(gè)數(shù)，使它們同時(shí)滿足三個(gè)條件a+b+c=6, a、 b、c 成等差數(shù)列 ,將 a、 b、 c適當(dāng)排列后，能構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列.解：假設(shè)存在這樣

17、的三個(gè)數(shù)， a、b、c 成等差數(shù)列， 2b=a+c，又 a+b+c=6, b=2.，設(shè) a=2 d,b=2,c=2+d.若 2 為等比中項(xiàng)，則22=（ 2+d)(2 d)， d=0, 則 a=b=c,不符合題意 .若 2+d 為等比中項(xiàng)，則(2+ d)2=2(2 d),解得 d=0( 舍去）或 d= 6.， a=8,b=2,c= 4.若 2 d 為等比中項(xiàng)，則 (2 d)2=2(2+ d),解得 d=0( 舍去）或 d=6， a= 4,b=2,c=8綜上所述，存在這樣的三個(gè)不相等數(shù)，同時(shí)滿足3 個(gè)條件，它們是8， 2， 4 或 4，2，8.16.已知數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Sn 滿足： Sn

18、1 4an 2(n N* )， a1 1(1)設(shè) bn an+1 2 an，求證：數(shù)列 bn為等比數(shù)列；an(2)設(shè) cn n，求證： cn是等差數(shù)列；2（ 3）求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和的公式證明 (1)Sn 1 4an2,Sn2 4 an 1 2，相減得 an 2 4 an 1 4 an，所以 an 22 an 1 2(an 1 2an)又 bn an1 2 an，所以 bn 1 2bn.又 S2 a1 a24a1 2，a1 1，所以 a2 5，b1 3，所以 bn0，bn+1bn 3×2n 1bn=2所以 bn是以 3 為首項(xiàng)， 2 為公比的等比數(shù)列an 1 2an3

19、×2n 1n-1ancan 1anbn31，(2)3×2因?yàn)?c n n，c 由（ 1）知 bnn2，所以 cn+1n2n 12 2n12n12n141 2所以 cn是以 1為首項(xiàng)， 3為公差的等差數(shù)列24（ 3）解：由（2）可知 cn13 ( n1)3 n1 cn ann，2444nnnn31n-2*當(dāng) n2時(shí)，nn-1n-1而11也適2a=2c=2(4n-4)=(3 n-1) 2(nN)S =4 a+2=(3n-4) 2+2S =a =1合此公式故所求的數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和公式為 Sn=(3n-4) 2n-1+2 17. 已知數(shù)列 an為公差大于 0 的等差數(shù)列， S

20、n 為其前 n 項(xiàng)和，且 a1a6=21, S6=66,的通項(xiàng)公式。 （ 2）若數(shù)列 b 滿足 bnxan 3，求 b 的前 n 項(xiàng)和 Tn。（ 3）若數(shù)列(1) 求數(shù)列 annn cn是等差數(shù)列，且Sn，求常數(shù) p。cn=np解 (1)S 66( a 1a 6 )66,a 1a 622, a 1a 6212故 a 1， a 6 是方程x 222 x210的兩根，a 11, a 621 , a 6a 15 d ,d4, 則 a n4 n3（ 2）bnxan 3x4 n優(yōu)秀教案歡迎下載10 : 當(dāng) x0時(shí)， Tnb1b2bn020 : 當(dāng) x 1時(shí)， Tnb1b2bn n0, x0Tnn, x1

21、x4( n 1)x41x4， x 0,130 : 當(dāng) x0,1,時(shí)， Tnb1b2bnx 4( n 1)x41x4（ 3） Snn ( n1)2S2 n 2nn 142 nn , C nn；2n pnpC n 是等差數(shù)列，C1C 32C 2 , 解得 p0,或-1218 某地今年年初有居民住房面積為a m2，其中需要拆除的舊房面積占了一半當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門決定每年以當(dāng)年年初住房面積的 10%的住房增長率建設(shè)新住房，同時(shí)每年拆除xm2 的舊住房，又知該地區(qū)人口年增長率為 4.9 （ 1）如果 10年后該地的人均住房面積正好比目前翻一番，那么每年應(yīng)拆除的舊住房面積x 是多少？（ 2）依照 (1)拆房速度

22、，再過多少年能拆除所有需要拆除的舊住房？下列數(shù)據(jù)供學(xué)生計(jì)算時(shí)參考：1.19=2.381.00499=1.041.110=2.61.004910=1.05111.0049111.1=2.85=1.0610解：（ 1）設(shè)今年人口為b 人，則10 年后人口為 b(1 4.9 ) 1.05b由題設(shè)可知， 1 年后的住房面積為a(1 10%) x 1.1a x；2 年后的住房面積為(1.1a x)(12210%) x 1.1 a 1.1xx 1.1a (1.1 1)x；3 年后的住房面積為(1.12a (1.11)x)(1 10%) x 1.13a 1.12x1.1x x10 年后的住房面積為：2.6a16xa由 2·解得1.05bb1.13a (1.12 1.11)x；109 1.11)x1.1a (1.11 1.110 2.6ax 2.6a 16x11.11x 32a（ 2）由（ 1）可得： 10 年后所剩余的舊房面積為1a 10x3a全部拆除舊住房還需31216a÷ a 61632答